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Krümmung und Extremstellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Krümmung und Extremstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 So 07.08.2011
Autor: monstre123

Aufgabe
Gegeben sei die Kurve [mm] X:\IR\to\IR^{3} [/mm] ,

X(t)=(t-sin(t) , 1-cos(t) , [mm] 4sin(\bruch{t}{2})). [/mm]

Finden Sie die Punkte, wo die Krümmung von X minimal und maximal ist.

Hallo,

so hier mein Vorgehen:

Formel für die Krümmung und Tangentialvektor: [mm] k(t)=\bruch{||T'(t)||}{||X'(t)||} [/mm] ,   [mm] T(t)=\bruch{X'(t)}{||X'(t)||} [/mm]

X(t)=(t-sin(t) , 1-cos(t) , [mm] 4sin(\bruch{t}{2}) [/mm] )

X'(t)=(1-cos(t) , sin(t)  , [mm] 2cos(\bruch{t}{2}) [/mm] )

[mm] ||X'(t)||=\wurzel{(1-cos(t))^{2} , sin^{2}(t) , 4cos^{2}(\bruch{t}{2})} [/mm]

Kann man irgendwie noch ||X'(t)|| weiter zusammenfassen?

        
Bezug
Krümmung und Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 So 07.08.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Gegeben sei die Kurve [mm]X:\IR\to\IR^{3}[/mm] ,
>
> X(t)=(t-sin(t) , 1-cos(t) , [mm]4sin(\bruch{t}{2})).[/mm]
>  
> Finden Sie die Punkte, wo die Krümmung von X minimal und
> maximal ist.
>  Hallo,
>  
> so hier mein Vorgehen:
>  
> Formel für die Krümmung und Tangentialvektor:
> [mm]k(t)=\bruch{||T'(t)||}{||X'(t)||}[/mm] ,  
> [mm]T(t)=\bruch{X'(t)}{||X'(t)||}[/mm]

ich würde hier vielleicht lieber diese Formel nehmen:
[mm] $\kappa [/mm] = [mm] \frac{\|\vec{r}\,'(t) \times \vec{r}\,''(t)\|}{\|\vec{r}\,'(t)\|^3}$ [/mm]

>  
> X(t)=(t-sin(t) , 1-cos(t) , [mm]4sin(\bruch{t}{2})[/mm] )
>  
> X'(t)=(1-cos(t) , sin(t)  , [mm]2cos(\bruch{t}{2})[/mm] )
>  
> [mm]||X'(t)||=\wurzel{(1-cos(t))^{2} , sin^{2}(t) , 4cos^{2}(\bruch{t}{2})}[/mm]
>  
> Kann man irgendwie noch ||X'(t)|| weiter zusammenfassen?

Schau Dir nochmal genau an, was Du da hingeschrieben hast.

Gruß,

notinX

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