Kubische Splines < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Hallo,
ich möchte folgende Wertetabelle mit kubischen Splines berechnen:
(0;0), (2;2), (4;1) |
Nun habe ich ja zwei Polynome, [mm] p_{0,2} [/mm] und [mm] p_{2,4}
[/mm]
So wie ich es verstanden habe muss ich als erstes das LGS A*x=b lösen, um auf meine [mm] a_{2}^{i} [/mm] zu kommen und dannach mit den Gleichungen:
[mm] a_{0}^{i}=y_{i}
[/mm]
[mm] a_{1}^{i}=\bruch{y_{i}-y_{i-1}}{h_{i}}+\bruch{h_{i}}{3} [/mm] * [mm] (2*a_{2}^{i}+a_{2}^{i-1})
[/mm]
[mm] a_{3}^{i}=\bruch{a_{2}^{i}-a_{2}^{i-1}}{3*h_{i}}
[/mm]
wobei [mm] h_{i}=x_{i}-x_{i-1}
[/mm]
zum LGS:
Als A hab ich das selbe wie hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm
x wäre: [mm] \vektor{a_{2}^{1} \\ ... \\ a_{2}^{n-1}}
[/mm]
b wäre: [mm] \vektor{... \\ ... \\ 3*( \bruch{y_{n}-y_{n-1}}{h_{n}} - \bruch{y_{n-1}-y_{n-2}}{h_{n-1}})}
[/mm]
Nun weiß ich aber nicht, wie ich mein A aufstellen kann, denn ich hab ja nur x0, x1 und x2.
Könnt ihr mir dabei vllt helfen ?
DANKE
|
|
| |
|
> Hallo,
> ich möchte folgende Wertetabelle mit kubischen Splines
> berechnen:
> (0;0), (2;2), (4;1)
> Nun habe ich ja zwei Polynome, [mm]p_{0,2}[/mm] und [mm]p_{2,4}[/mm]
Hallo,
mit den ganzen Indizes ist mir das zu wüst...
Ich würde mich hier mal auf das besinnen, worum es geht bei den kubischen Splines.
Du hast hier drei Punkte. Du möchtest jeweils durch (0;0), (2;2) und (2;2), (4;1) kubischen Parabeln p und q legen.
Diese Parabeln sollen bestimmte Eigenschaften haben:
1. Es sollen (0;0), (2;2) auf p liegen und (2;2), (4;1) auf q.
2. An der Nahtstelle (2;2) sollen die ersten und zweiten Ableitungen von p und q übereinstimmen.
Daraus kannst Du ein LGS mit 6 Variablen gewinnen:
sei [mm] p=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] und [mm] q=ex^3+fx^2+gx+h
[/mm]
Es ist [mm] p'=3ax^2+2bx+c, \quad [/mm] p''=6ax+2b , [mm] q'=3ex^2+2fx+g, [/mm] q''=6ex+2f.
Du erhältst aus den Anfangs- und Endpunkten der Parabelstücke:
0=p(0)=d
2=p(2)=8a+4b+2c+d
2=q(2)=...
1=q(4)=...
Aus der Forderung nach Übereinstimmung der Ableitungen bekommst Du zusätzlich:
12a+4b+c=12e+4f+g
12a+2b=12e+2f.
Löst Du nun dieses Gleichungssystem, so erhältst Du die Koeffizienten der beiden Polynome.
Die Lösung ist nicht eindeutig, weil keine Bedingungen für die Ableitungen an den Endpunktenmitgeteilt sind.
Beim natürlichen Spline hätte man zusätzlich in den Randpunkten: 2. Ableitung =0.
Gruß v. Angela
> So wie ich es verstanden habe muss ich als erstes das LGS
> A*x=b lösen, um auf meine [mm]a_{2}^{i}[/mm] zu kommen und dannach
> mit den Gleichungen:
> [mm]a_{0}^{i}=y_{i}[/mm]
> [mm]a_{1}^{i}=\bruch{y_{i}-y_{i-1}}{h_{i}}+\bruch{h_{i}}{3}[/mm] *
> [mm](2*a_{2}^{i}+a_{2}^{i-1})[/mm]
> [mm]a_{3}^{i}=\bruch{a_{2}^{i}-a_{2}^{i-1}}{3*h_{i}}[/mm]
>
> wobei [mm]h_{i}=x_{i}-x_{i-1}[/mm]
>
> zum LGS:
> Als A hab ich das selbe wie hier:
> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm
>
> x wäre: [mm]\vektor{a_{2}^{1} \\ ... \\ a_{2}^{n-1}}[/mm]
>
> b wäre: [mm]\vektor{... \\ ... \\ 3*( \bruch{y_{n}-y_{n-1}}{h_{n}} - \bruch{y_{n-1}-y_{n-2}}{h_{n-1}})}[/mm]
>
> Nun weiß ich aber nicht, wie ich mein A aufstellen kann,
> denn ich hab ja nur x0, x1 und x2.
>
> Könnt ihr mir dabei vllt helfen ?
>
> DANKE
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:46 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Tobus |
Hallo,
vielen Dank schonmal für die Antwort.
Ich habe da noch eine Grundlegende Frage, oaben kubische Polynome nicht immer die höchste Potenz 3, also [mm] x^{3}+... [/mm] ? Bei ihnen wäre das nur quadratisch.
DANKE
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> vielen Dank schonmal für die Antwort.
> Ich habe da noch eine Grundlegende Frage, oaben kubische
> Polynome nicht immer die höchste Potenz 3, also [mm]x^{3}+...[/mm] ?
> Bei ihnen wäre das nur quadratisch.
Hallo,
oh weh!
Natürlich sind die kubisch.
Das kommt, weil ich etwas vertrottelt bin... Ich mache mich unverzüglich ans Korrigieren.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Tobus |
Hallo Angela,
vielen Dank schonmal für deine Hilfe. Aus den 6 Bedingungen mit 8 Variablen folgt dann folgendes LGS:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 61 & 16 & 4 & 1 \\ 12 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 12 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \\ h}= \vektor{0 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 12e+4f+g \\ 12e+2f}
[/mm]
Das muss ich nun lösen und habe dann die Koeffizienten ? Richtig ?
|
|
|
| |
|
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6\red{4}& 16 & 4 & 1 \\ 12 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 12 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> * [mm]\vektor{a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \\ h}= \vektor{0 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 12e+4f+g \\ 12e+2f}[/mm]
>
Hallo,
arbeite die beiden Gleichungen
12a+4b+c=12e+4f+g
12a+2b=12e+2f.
auch noch komplett in die Koeffizientenmatrix ein, damit Du rechts wirklich nur noch Zahlen stehen hast und keine Variablen:
12a+4b+c=12e+4f+g
12a+2b=12e+2f.
<==>
12a+4b+c-12e-4f-g=0
12a+2b-12e-2f=0.
Es sind also die beiden letzten Zeilen zu verändern.
Ich glaube, ich habe es schon irgendwo erwähnt: wenn nichts anders dasteht, soll man i.d.R. natürliche randbedingungnen nehmen, also: 2.Ableitungen an den Enden =0.
Ich vermute, daß auch Ihr das tun sollt, aber das kannst nur Du, der Du die genaue Aufgabe und die Gepflogenheiten bei Euch kennt, wissen.
Das Gleichungssystem ist anschließend zu lösen, Du kannst es mit dem Gaußverfahren tun, also Zeilenstufenform usw.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Tobus |
SUPER vielen Dank.
Nun weiß ich endlich wie das mit den Splines funktioniert !! ;)
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich hab' hier mal etwas zur kubischen Splines geschrieben, vielleicht nützt es auch Dir.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
