Kubischer Spline (eingespannt) < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Sina.S |
| Aufgabe | Berechnen Sie zu den Daten
[mm] x_i [/mm] -1 0 1
[mm] y_i [/mm] -2 0 -1
den kubischen Spline s, der die Randbedingungen
s'(-1) = 4 und
s'(1) = -5
erfüllt.
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Ich sitze seit knapp 2 Stunden an dieser Aufgabe fest und komme nicht über den Ansatz hinaus.
Da [mm] s_0 [/mm] = [mm] b_0 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] = [mm] b_2, [/mm] komme ich via LGS auf folgendes:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * { 4 [mm] \\ s_1 \\ [/mm] -5 } = { 4 [mm] \\ b_1 \\ [/mm] -5 }
[mm] b_1 [/mm] = [mm] (y_2-y_1)/h [/mm] - [mm] (y_1-y_0)/h [/mm] = -3
Und nun hänge ich hier fest.
Anderer Versuch:
[mm] s_1(x_0) [/mm] = [mm] -a_1 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] - [mm] c_1 [/mm] + [mm] d_1 [/mm] = 2
[mm] s_1(x_1) [/mm] = [mm] 0a_1 [/mm] + [mm] 0b_1 [/mm] + [mm] 0c_1 [/mm] + [mm] d_1 [/mm] = 0 => [mm] d_1 [/mm] = 0
[mm] s_2(x_1) [/mm] = [mm] 0a_2 [/mm] + [mm] 0b_2 [/mm] + [mm] 0c_2 [/mm] + [mm] d_2 [/mm] = 0 => [mm] d_2 [/mm] = 0
[mm] s_2(x_2) [/mm] = [mm] a_2 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] c_2 [/mm] + [mm] d_2 [/mm] = 1
[mm] s'_1(x_0) [/mm] = 4
[mm] s'_2(x_1) [/mm] = [mm] -3a_1 [/mm] + [mm] 2b_1 [/mm] - [mm] c_1 [/mm] = 0
[mm] s'_3(x_2) [/mm] = -5
[mm] s''_2(x_1) [/mm] = [mm] -6a_1 [/mm] + [mm] 2b_1 [/mm] = 0
Auch hier komme ich nicht weiter - und weiss schon gar nicht, ob mein Weg richtig ist.
Ich brauche eure Hilfe, oder aber auch nur einen Denkanstoss.
s wird später meiner Meinung nach unterteilt in ein Polynom dritten Grades für -1 [mm] \le [/mm] x < 0 und 0 [mm] \le [/mm] x < 1, aber wie soll ich dahin kommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sina,
für diesen kubischen Spline s brauchen wir zwei
kubische Funktionen, eine (nach deiner Bezeich-
nungsweise [mm] s_1) [/mm] für das Intervall [-1;0]
und die andere [mm] (s_2) [/mm] für das Intervall [0;1].
Jede davon enthält zunächst 4 Parameter. Also
haben wir 8 Unbekannte. Um diese eindeutig
festzulegen, brauchen wir auch genau 8 Gleichungen.
Einige davon sind offensichtlich:
(1) $\ [mm] s_1(-1)=-2$
[/mm]
(2) $\ [mm] s_1(0)=0$
[/mm]
(3) $\ [mm] s_2(0)=0$
[/mm]
(4) $\ [mm] s_2(1)=-1$
[/mm]
(5) $\ [mm] s_1'(-1)=4$
[/mm]
(6) $\ [mm] s_2'(1)=-5$
[/mm]
Die letzten beiden Bedingungen sind wohl:
(7) $\ [mm] s_1'(0)=s_2'(0)$ [/mm] (kein Knick bei x=0 !)
(8) $\ [mm] s_1''(0)=s_2''(0)$ [/mm] (gleiche Krümmung bei x=0)
Nach meiner Ansicht handelt es sich nicht um
einen "eingespannten" Spline, denn dazu würde ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
man zusätzlich fordern, dass [mm] s_1''(-1)=0 [/mm] und [mm] s_2''(1)=0.
[/mm]
Um diese zwei zusätzlichen Bedingungen noch zu
erfüllen, müsste man aber zwei Polynome 4. Grades
nehmen und nicht zwei kubische Polynome.
EDIT: Es ist doch ein eingespannter Spline.
Die Gleichungen (5) und (6) (zusammen
mit (1) und (4)) besagen dies.
Gruß ! al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Sina.S |
Laut Skript können die beiden fehlenden Freiheitsgrade auf verschiedene Arten erreicht werden:
(a) Natürlicher Spline: [mm]s''(a) = s''(b) = 0[/mm]
(b) Eingespannter Spline: [mm]s'(a) = v_0[/mm] und [mm]s'(b) = v_n[/mm] vorgegeben
(c) Periodischer Spline: [mm]s'(a) = s'(b)[/mm] und [mm]s''(a) = s''(b)[/mm]
Hier ist meines Erachtens (b) der Fall. Kann ich denn die Gleichungen (7) und (8) frei wählen nach bester Lust und Laune?
Ich hielt [mm]s''_1(-1)=0[/mm] und [mm]s''_2(1)=0[/mm] für plausibel, da ich hier durch die Aufgabenstellung dann auch schon die Werte der beiden Ableitungen (beide = 0) kennen würde.
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Hallo Sina.S,
> Laut Skript können die beiden fehlenden Freiheitsgrade auf
> verschiedene Arten erreicht werden:
>
> (a) Natürlicher Spline: [mm]s''(a) = s''(b) = 0[/mm]
> (b)
> Eingespannter Spline: [mm]s'(a) = v_0[/mm] und [mm]s'(b) = v_n[/mm]
> vorgegeben
> (c) Periodischer Spline: [mm]s'(a) = s'(b)[/mm] und [mm]s''(a) = s''(b)[/mm]
>
> Hier ist meines Erachtens (b) der Fall. Kann ich denn die
Ja, das ist laut ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia so.
> Gleichungen (7) und (8) frei wählen nach bester Lust und
> Laune?
Nein, die Gleichungen (1)-(4), (7) und (8) sind laut Wikipedia vorgegeben.
Die Gleichungen (5) und (6) sind hingegen frei wählbar.
>
> Ich hielt [mm]s''_1(-1)=0[/mm] und [mm]s''_2(1)=0[/mm] für plausibel, da ich
> hier durch die Aufgabenstellung dann auch schon die Werte
> der beiden Ableitungen (beide = 0) kennen würde.
>
Gruß
MathePower
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> Laut Skript können die beiden fehlenden Freiheitsgrade auf
> verschiedene Arten erreicht werden:
Ich nehme an, dass du mit a und b den linken und
den rechten Rand des gesamten Spline-Intervalls
meinst. In unserem Beispiel wäre also a=-1 und b=1 ?
> (a) Natürlicher Spline: s''(a) = s''(b) = 0
Da ist mir nicht recht klar, was mit "natürlich" gemeint
sein soll.
> (b) Eingespannter Spline: s'(a) = [mm]v_0,[/mm] s'(b) = [mm]v_n[/mm]
> vorgegeben
Das ist ja ohnehin durch die Bedingungen festgelegt.
> (c) Periodischer Spline: s'(a) = s'(b) und s''(a) = s''(b)
Davon war hier sicher nicht die Rede, denn für eine
stetige periodische Funktion müsste ausserdem
s(a)=s(b) sein, was hier offensichtlich nicht der Fall ist.
> Hier ist meines Erachtens (b) der Fall. Kann ich denn die
> Gleichungen (7) und (8) frei wählen nach bester Lust und
> Laune?
Ein Spline wäre ein schlechter Spline, wenn er an
seinen inneren Nahtstellen Sprünge, Knicke oder
abrupte Krümmungsänderungen aufwiese.
[mm] s_1(0)=s_2(0) [/mm] ist ohnehin gefordert; [mm] s_1'(0)=s_2'(0) [/mm] muss
nach meiner Ansicht sicher gefordert werden, und wenn
möglich auch [mm] s_1''(0)=s_2''(0), [/mm] um eben abrupte
Änderung der Krümmung zu vermeiden (in einem
Bahngeleise würden sprunghafte Änderungen der
zweiten Ableitung z.B. bewirken, dass die Fahrgäste
bei der Durchfahrt durch eine solche Stelle umfallen
oder auf der Sitzbank nach links oder rechts sausen würden ...)
> Ich hielt s''_1(-1)=0 und s''_2(1)=0 für plausibel, da ich
> hier durch die Aufgabenstellung dann auch schon die Werte
> der beiden Ableitungen (beide = 0) kennen würde.
Welche Ableitungen meinst du damit genau ?
Gruß al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Sina.S |
Sorry, die Mitteilung sollte eine Frage sein.
Laut Skript können die beiden fehlenden Freiheitsgrade auf verschiedene Arten erreicht werden:
(a) Natürlicher Spline: [mm]s''(a) = s''(b) = 0[/mm]
(b) Eingespannter Spline: [mm]s'(a) = v_0[/mm] und [mm]s'(b) = v_n[/mm] vorgegeben
(c) Periodischer Spline: [mm]s'(a) = s'(b)[/mm] und [mm]s''(a) = s''(b)[/mm]
Hier ist meines Erachtens (b) der Fall. Kann ich denn die Gleichungen (7) und (8) frei wählen nach bester Lust und Laune?
Ich hielt [mm]s''_1(-1)=0[/mm] und [mm]s''_2(1)=0[/mm] für plausibel, da ich hier durch die Aufgabenstellung dann auch schon die Werte der beiden Ableitungen (beide = 0) kennen würde.
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Hallo Sina.S,
> Sorry, die Mitteilung sollte eine Frage sein.
> Laut Skript können die beiden fehlenden Freiheitsgrade auf
> verschiedene Arten erreicht werden:
>
> (a) Natürlicher Spline: [mm]s''(a) = s''(b) = 0[/mm]
> (b)
> Eingespannter Spline: [mm]s'(a) = v_0[/mm] und [mm]s'(b) = v_n[/mm]
> vorgegeben
> (c) Periodischer Spline: [mm]s'(a) = s'(b)[/mm] und [mm]s''(a) = s''(b)[/mm]
>
> Hier ist meines Erachtens (b) der Fall. Kann ich denn die
> Gleichungen (7) und (8) frei wählen nach bester Lust und
> Laune?
>
> Ich hielt [mm]s''_1(-1)=0[/mm] und [mm]s''_2(1)=0[/mm] für plausibel, da ich
> hier durch die Aufgabenstellung dann auch schon die Werte
> der beiden Ableitungen (beide = 0) kennen würde.
Siehe meine Antwort.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Sina.S |
Danke für die Hilfe.
Das bedeutet, dass ich folgende Gleichungen habe?
Gesucht:
[mm]s_1(x) = a_1 x^3 + b_1 x^2 + c_1 x + d_1[/mm]
[mm]s_2(x) = a_2 x^3 + b_2 x^2 + c_2 x + d_2[/mm]
(1) [mm]s_1(-1) = -a_1 + b_1 - c_1 + d_1 = -2 [/mm]
(2) [mm]s_1(0) = d_1 = 0 [/mm]
(3) [mm]s_2(0) = d_2 = 0 [/mm]
(4) [mm]s_2(1) = a_2 + b_2 + c_2 + d_2 = -1 [/mm]
(5) [mm]s'_1(-1) = -3a_1 + 2b_1 - c_1 = 4 [/mm]
(6) [mm]s'_2(1) = 3a_2 + 2b_2 + c_2 = -5 [/mm]
(7) [mm]s'_1(0) - s'_2(0) = -c_1 - c_2 = 0 [/mm]
(8) [mm]s''_1(0) - s''_2(0) = 2b_1 - 2b_2 = 0 [/mm]
Ich habe dies gerade einmal in Maple getippt und leider keine Lösung erhalten...wo liegt der Fehler noch?
Danke schon einmal für eure Hilfe. Ohne euch würde ich weiterhin wild und wirr Gleichungen "aussuchen".
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> Danke für die Hilfe.
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> Das bedeutet, dass ich folgende Gleichungen habe?
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> Gesucht:
> [mm]s_1(x) = a_1 x^3 + b_1 x^2 + c_1 x + d_1[/mm]
> [mm]s_2(x) = a_2 x^3 + b_2 x^2 + c_2 x + d_2[/mm]
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> (1) [mm]s_1(-1) = -a_1 + b_1 - c_1 + d_1 = -2[/mm]
> (2) [mm]s_1(0) = d_1 = 0[/mm]
>
> (3) [mm]s_2(0) = d_2 = 0[/mm]
> (4) [mm]s_2(1) = a_2 + b_2 + c_2 + d_2 = -1[/mm]
>
> (5) [mm]s'_1(-1) = -3a_1 + 2b_1 - c_1 = 4[/mm]
> (6) [mm]s'_2(1) = 3a_2 + 2b_2 + c_2 = -5[/mm]
>
> (7) [mm]s'_1(0) - s'_2(0) = -c_1 - c_2 = 0[/mm]
ich glaub', da ist ein Vorzeichenfehler !
> (8) [mm]s''_1(0) - s''_2(0) = 2b_1 - 2b_2 = 0[/mm]
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> Ich habe dies gerade einmal in Maple getippt und leider
> keine Lösung erhalten...wo liegt der Fehler noch?
>
> Danke schon einmal für eure Hilfe. Ohne euch würde ich
> weiterhin wild und wirr Gleichungen "aussuchen".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Sina.S |
Argh...wie ein kleines Minus doch die ganze Freude verderben kann...
Gut, als Ergebnisse bekomme ich:
[mm]s_1(x) = -5x^3-4x^2+3x[/mm]
[mm]s_2(x) = -4x^2+3x[/mm]
In der Probe stimmen diese beiden Ergebnisse schon einmal.
Leider wollte ich in der Zwischenzeit mein Ergebnis mit folgendem Programm testen: http://www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/didaktikseminar/Gruppe3/html/download.html
Dort bekomme ich als Ergebnis folgendes heraus:
[mm]s_1(x) = x^3+x[/mm]
[mm]s_2(x) = -2x^3+x[/mm]
Und sollte mein [mm]s_2(x)[/mm] nicht sowieso ein Polynom dritten Grades sein?
Eine verzweifelte Sina, die den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sieht.
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Hallo Sina.S,
> Argh...wie ein kleines Minus doch die ganze Freude
> verderben kann...
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> Gut, als Ergebnisse bekomme ich:
> [mm]s_1(x) = -5x^3-4x^2+3x[/mm]
> [mm]s_2(x) = -4x^2+3x[/mm]
>
> In der Probe stimmen diese beiden Ergebnisse schon einmal.
>
> Leider wollte ich in der Zwischenzeit mein Ergebnis mit
> folgendem Programm testen:
> http://www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/didaktikseminar/Gruppe3/html/download.html
>
> Dort bekomme ich als Ergebnis folgendes heraus:
> [mm]s_1(x) = x^3+x[/mm]
> [mm]s_2(x) = -2x^3+x[/mm]
>
> Und sollte mein [mm]s_2(x)[/mm] nicht sowieso ein Polynom dritten
> Grades sein?
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> Eine verzweifelte Sina, die den Wald vor lauter Bäumen
> nicht mehr sieht.
Gleichung (5) muß lauten: [mm]3a_{1}-2b_{1}+c_{1}=4[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Sina.S |
Danke. :)
Und wieder waren es die Vorzeichen. Nun kommt auch das richtige Ergebnis raus.
Vielen, lieben Dank für eure Hilfe. Ihr habt mir sehr geholfen.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
al-Chw.