Kürzen der abgeleiteten Fkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:05 Di 22.02.2011 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | | Bestimmen der Koeffizienten [mm] a_0, a_1, a_2 [/mm] des Taylorpolynoms (ohne Restglied) um den Punkt [mm] x_0=0 [/mm] von f(x)= [mm] e^{sinx} [/mm] |
Hallo,
ich habe die erste und die zweite Ableitung ausgerechnet. Diese wird jetzt immer größer. Meine Frage daher: Gibt es an irgendeiner Stelle noch die Möglichkeit zu kürzen?
Hier meine Lösung:
f(x)= [mm] e^{sinx}
[/mm]
[mm] \Rightarrrow f'(x)=cosx*e^{sinx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Nutzen der Produktregel mit y'=u'v+uv' (u=cosx und [mm] v=e^{sinx})
[/mm]
[mm] f''(x)=(-sinx)*(e^{sinx})+(cosx)*(cosx*e^{sinx}) [/mm] = [mm] -sinx*e^{sinx}+cos^2x*e^{sinx}=e^{sinx}(cos^2x-sinx)
[/mm]
Die nächste Ableitung wird ja dann noch länger. Oder gibt es vielleicht einen Trick bei der Sache? :)
lg
Klemme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:19 Di 22.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Klemme,
man kann zwar nicht vereinfachen, aber du hast trotzdem Glück  Du brauchst doch nur die ersten drei Koeffinzienten zu berechnen und die sind
[mm] a_0=f(x_0),
[/mm]
[mm] a_1=\bruch{f'(x_0)}{1!} [/mm] und
[mm] a_2=\bruch{f''(x_0)}{2!}.
[/mm]
Es ist also gar keine höhere Ableitung nötig.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:43 Di 22.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Ach ja stimmt, der erste Koeffizient ist ja [mm] f(x_0). [/mm] Danke ^^
lg
Klemme
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