Kürzeste Entfernung eines pkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mi 25.04.2007 | | Autor: | megahead |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die kürzeste Entfernung des Punktes (4;2) zur Kurve [mm] y^2 [/mm] = 8x. |
He ho,
ich komme mit dieser kleinen Aufgbe nicht zurecht.
mich verwirrt vorallem das [mm] y^2.
[/mm]
Ich hoffe mir kann hier einer weter helfen.
danke schon mal
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Hallo megahead!
Für den Abstand zweier Punkte $P \ [mm] \left( \ x_P \ ; \ y_P \ \right)$ [/mm] und $Q \ [mm] \left( \ x_Q \ ; \ y_Q \ \right)$ [/mm] gilt gemäß Satz des Pythagoras:
[mm] $d_{PQ} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2 \ }$
[/mm]
Dabei gilt nun für Deine Aufgabe [mm] $x_P [/mm] \ = \ 4$ und [mm] $y_P [/mm] \ = \ 2$ sowie [mm] $x_Q [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y^2}{8}$ [/mm] .
Dies nun in o.g. Formel einsetzen und die Extremwertberechnung nach $y_$ führen.
Zur Vereinfachung kannst Du aber auch die Ersatzfunktion [mm] $\left[d_{PQ}(y)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{y^2}{8}-4\right)^2+\left(y-2\right)^2$ [/mm] betrachten.
Denn so vereinfacht sich die Ableitung(en) drastisch ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
zur Kontrolle:
der gesuchte Punkt auf der Kurve müsste sein: (2;4)
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 25.04.2007 | | Autor: | megahead |
hmm, die Ableitung bekomm ich da nicht hin.
[mm] \left[d_{PQ}(y)\right]^2 [/mm] = [mm] \left(\bruch{y^2}{8}-4\right)^2+\left(y-2\right)^2 [/mm]
muß ich hier die Qutientenregel anwenden? Oder bin ich jetzt total auf dem Holzweg?
Danke schon mal...
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Hallo,
> hmm, die Ableitung bekomm ich da nicht hin.
> [mm]\left[d_{PQ}(y)\right]^2[/mm] =
> [mm]\left(\bruch{y^2}{8}-4\right)^2+\left(y-2\right)^2[/mm]
> muß ich hier die Qutientenregel anwenden? Oder bin ich
> jetzt total auf dem Holzweg?
ja.. hier gibts doch gar keinen Quotienten..
Du hast die Summe 2er verketteter Funktionen....also musste hier zweimal die Kettenregel anwenden.
[mm] \left[d_{PQ}(y)\right]^2=\left(\bruch{y^2}{8}-4\right)^2+\left(y-2\right)^2=d(y)
[/mm]
[mm] d'(y)=2*\left(\bruch{y^2}{8}-4\right)*\bruch{y}{4}+2*(y-2)*1
[/mm]
[mm] \gdw d'(y)=\bruch{y^3}{16}-2y+2y-4
[/mm]
[mm] \gdw d'(y)=\bruch{y^3}{16}-4
[/mm]
So jetzt'weiter die Extremstellenuntersuchung
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Fr 04.05.2007 | | Autor: | megahead |
Hi, danke erstmal für die netten Antworten.
Ich habe die Ableitungen auch jetzt hinbekommen
[mm] d'(y)=\bruch{y^3}{16}-4 [/mm]
hier muß ich doch jetzt noch die Wurzel wegen dem Pythagoras ziehen?!
[mm] d'(y)=\bruch{y^2}{4}-2 [/mm]
Jetzt hab ich mir gedacht das ich diese Funktion null setzen muß, um die Extremstelle zu bekommen?!
Da hab ich dann [mm] y=\wurzel{8} [/mm] raus. Ist dies schon der Abstand
oder verzapf ich hier wider nur Quark?
mfg
megahead
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Hallo,
[mm] d_P_Q(y)=\wurzel{(\bruch{(y)^{2}}{8}-4)^{2}+(y-2)^{2}}
[/mm]
jetzt löse alle Binome unter der Wurzel auf, fasse zusammen, schreibe die Wurzel als [mm] (....)^{-\bruch{1}{2}}, [/mm] diesen Ausdruck mit der Kettenregel ableiten, äußere Ableitung mal innere Ableitung, jetzt hast du ja schon [mm] 0=\bruch{y^{3}}{16}-4
[/mm]
[mm] 4=\bruch{y^{3}}{16}
[/mm]
[mm] y^{3}=64
[/mm]
y=4
jetzt hast du noch
[mm] y^{2}=8x
[/mm]
[mm] 4^{2}=8x
[/mm]
x=2
somit lautet dein Punkt (2; 4)
Steffi
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