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| Aufgabe | K: [mm] x^2+y^2+z^2=36
[/mm]
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hallo an alle.
die frage lautet wie bekomme ich die form in die normale kugelgleichung? also [mm] (x-m)^2=r^2 [/mm] ??
danke im voraus
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> K: [mm]x^2+y^2+z^2=36[/mm]
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> hallo an alle.
> die frage lautet wie bekomme ich die form in die normale
> kugelgleichung? also [mm](x-m)^2=r^2[/mm] ??
> danke im voraus
Ich bin mir nicht sicher, aber(x - [mm] m)^{2} =r^{2} [/mm] ist doch gar keine Kugelgleichung, oder?
Das war Unsinn von mir...^^
Also, du hast recht... Das ist eine mögliche Kugelgleichung... Es gibt zwei verschiedene:
1.) Koordinatengleichung: [mm] (x_{1} [/mm] - [mm] m_{1})^{2} [/mm] + [mm] (x_{2} [/mm] - [mm] m_{2})^{2} [/mm] + [mm] (x_{3} [/mm] - [mm] m_{3})^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
2.) Vektorengleichung: [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{m})^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
Bei deiner Aufgabe hast du also die Koordinatengleichung gegeben (das "m" kommt nicht vor, weil der Mittelpunkt der Ursprung ist), und sollst diese in die Vektorengleichung umformen...
Und da der Mittelpunkt der Ursprung ist (also m1=m2=m3=0), ist es hier sehr leicht:
Dann kann man einfach schreiben:
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] =36 [mm] \gdw \vektor{x \\ y \\ z}^{2}=r^{2}=36
[/mm]
Ausführlicher, oder ist so ok?
Gruß, Fabian
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doch.. wobei m und x vektoren sind..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Do 15.06.2006 | | Autor: | Funky24 |
hi...
also ich kenn auch nur :
(x-c)²+(y-d)²=r²
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hm??? also wir haben ne kugelgleichung wie folgt definiert:
[mm] r^2=( \vec{x}- \vec{m})^2
[/mm]
oder bin ich jetzt vollkommen bescheuert??
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@Daywalker,
ich verstehe die Frage nicht!
Deine Formel ist eine dreidimensionale mit x , y und z. Was ist gesucht, der Flächeninhalt, das Volumen? Gehe ich recht in der Annahme beim Wurzelziehen von 36 erhälst du für die Gleichung K: x+y+z= 6.
Gruß
Die schwangere Paepstin.
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also ich suche die schnittpunkte zwischen einer geraden g und der kugel
und ich hab im inet gefunden wie das geht.. aber dafür brauch ich irgendwie erst diese normalform..
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Aha, eine Aufgabenstellung...^^ Werde mich ma dransetzen, vielleciht kriege ich ja was raus. Muss mich auch erst wieder dranerinnern, wie das noch mal ging...;) Wäre gut, zu wissen, was für ein Wissensstand du hast... Nicht dass ich irgendwelche Maethoden benutzen, die noch cnith gelernt hast etc...
Gruß, fabian
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> @Daywalker,
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> ich verstehe die Frage nicht!
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> Deine Formel ist eine dreidimensionale mit x , y und z. Was
> ist gesucht, der Flächeninhalt, das Volumen?
>
Hi
Es ist kein Flächeninhalt, Volumen oder so gesucht. Es ist eine Kugelgleichung, d.h. wenn du für x, y, z Werte einsetzt ist das Bild eine Kugel. da gleiche gibt es auch noch mit Kreis usw.
> Gehe ich recht in der Annahme beim Wurzelziehen von 36 erhälst du für > die Gleichung K: x+y+z= 6.
Die Wurzel von 36, also 6 gibt den Radius dieses Kreises an. Allgemein gitl natürlich NICHT: [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = [mm] r^{2} \gdw [/mm] x +y +z =r
So zieht man ja nciht die Wurzel, wie man leicht durch Zahleneinsetzen merken wird...
Gruß, fabian
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hm ich verwirre grad jeden XD sry..
also ich hab die gerade g: x = (6/6/6) + t (-5/-5/-2)
und ich soll die schnittpunkte, falls es welche gibt berechnen..
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> Kreisgleichung: [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = 36
> die aufgabe geht weiter..die gerade g war eine geraden schar denn die > funktion lautete:
> ga:x= (6/6/6) + t(a/-10-a/-2) nun sollen wir ein a finden damit die gerade > die kugel berührt..
Also hier jetzt wie angekündigt die Lösung zu dieser Aufgabe:
(Rechenweg auf jeden Fall richtig, nur vielleicht wieder Flüchtugkeitsfehler drin, auch wenn ich keinen gefunden habe)
Der Ansatz ist an sich nicht viel anders, als in der Aufgabe davor. Wir machen uns wieder zu nutze, dass beide Eigescnaften (also Kugelgleichung und Geradengleichung zeitgleich geklten müssen).
Also: Aus der Geradengleichung erhalten wir für (x,y,z):
x = 6 + t a
y = 6 + t (-10 - a) = 6 - t (10 + a)
z = 6 - 2 t
Dies ssetzt du wieder in die Kugelgleichung ein, und multiplizierst erstmal alles mit Binomischen Formeln etc aus.
Dann erhälst du:
[mm] t^{2} [/mm] (104 + 20 a + 2 [mm] a^{2} [/mm] ) - 144 t + 72 = 0
JEtzt wird es ein bisschen unübersichtlich, lässt sich glaube ich, aber leider nicht vermeiden...: Klammer die (104 + 20 a + 2 [mm] a^{2} [/mm] ) aus, damit die quadr. Gleichung in der Normalform steht.
Dann erhälst du folgendes:
(104 + 20 a + 2 [mm] a^{2} [/mm] ) ( [mm] t^{2} [/mm] - [mm] \bruch{144t}{(104 + 20 a + 2 a^{2} )} [/mm] + [mm] \bruch{72}{(104 + 20 a + 2 a^{2} )} [/mm] ) = 0
Jetzt musst du diese gleichung auflösen, wie du es auch shcon gelernt hast, z.b. mit quadratischer Ergänzung, p/q-formel klappt natürlich auch. Ich benutze immer lieber quadr. Ergänzung, dann brauch eich mir nciht so eine dumme Formel merken...;)
Dann kommt heraus:
(104 + 20 a + 2 [mm] a^{2} [/mm] ) ( (t - [mm] \bruch{72}{(104 + 20 a + 2 a^{2} )})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{72}{(104 + 20 a + 2 a^{2} )})^{2} [/mm] + [mm] \bruch{72}{(104 + 20 a + 2 a^{2} )} [/mm] ) = 0
Und jetzt musst du dir darüber Gedanken machen, wann eine quadr. Gleichung nur eine Lösung hat ( wir wollen ja nur den Fall haben, dass es eine Lösung für "t" gibt, damit wir ein "a" suchen können, so dass die GEraden die Kugel nur berührt). Bei der quadratischen Ergänzung ist es so, dass dieser Ausdruck - [mm] (\bruch{72}{(104 + 20 a + 2 a^{2} )})^{2} [/mm] + [mm] \bruch{72}{(104 + 20 a + 2 a^{2} )} [/mm] gleich null sein muss, damit es nur eine Lösung für "t" gibt.
D.h. du musst nur noch diesen Asudruck gleich null setzen, und nach "a" auflösen... Kannst es ja mal versuchen; ich habe 2 Lösungen für a raus:
a= -2 und a= -8
D.h. es gibt zwei Geraden aus der Geradenschar, die jeweils die Kugel berühren...
Wenn du den BErührpunkt haben willst, musst du einfach in unsere quadratische Gleichung für "a" -2 oder -8 einsetzen, damit du den jeweiligen BErührpunkt leicht ausrechnen kannst...
Falls du zu den Lösungsweg noch fragen hast, nur zu... Wahrscheinlich habe ich so oder so wieder einen Flüchtigkeitsfehler reingemacht, aber wie gesagt: Technik ist richtig...;)
Gruß, Fabian
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so also da ich den TR benutzen darf und nicht per hand rechnen muss komme ich auf 2 ergebnisse: t=2/3 und t=2
die aufgabe geht weiter..die gerade g war eine geraden schar denn die funktion lautete:
ga:x= (6/6/6) + t(a/-10-a/-2) nun sollen wir ein a finden damit die gerade die kugel berührt..
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Ich hab die Rechung jeztt shcon durch. Ich schreibe das mo mittag oder so hier noch rein, okay? muss heute abend noch weg, sorry... schönen Abend noch
Gruß, Fabian
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hm ne brauchst du nicht.. danke.. is für morgen
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Völlig richtig ...
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