Kugel, Ebene, Tangentialebene < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | die Ebene E :2x+y+2z+6=0 schneidet die Kugel K: [mm] (x-(-2/1/-1))^2=9 [/mm] in einem Kreis k
Zeige, dass k mit der z-Achse genau einen Punkt B gemeinsam hat.
Ermittle eine Gleichung der Tangentialebene an die Kugel K in B.
Auf dem Kreis k liegen die Berührpunkte aller Tangenten, die man von einem Punkt R aus an die Kugel K legen kann. Berechne die Koordinaten von R |
Ich habe keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll. Kann mir jemand ein paar Ideen geben. Ich weiß nur , dass ich die Lotgerade iwie m´ bekomme und über Pythagoras R* also [mm] MM´^2*r´^2=r^2
[/mm]
Aber wie ich zu der Kreisgleichung komme , die Tangentialebene berechne und wie ich auf r komme , weiß ich nicht.
Danke schon mal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo jessi2112,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> die Ebene E :2x+y+2z+6=0 schneidet die Kugel K:
> [mm](x-(-2/1/-1))^2=9[/mm] in einem Kreis k
> Zeige, dass k mit der z-Achse genau einen Punkt B
> gemeinsam hat.
> Ermittle eine Gleichung der Tangentialebene an die Kugel K
> in B.
> Auf dem Kreis k liegen die Berührpunkte aller Tangenten,
> die man von einem Punkt R aus an die Kugel K legen kann.
> Berechne die Koordinaten von R
> Ich habe keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll. Kann mir
> jemand ein paar Ideen geben. Ich weiß nur , dass ich die
> Lotgerade iwie m´ bekomme und über Pythagoras R* also
> [mm]MM´^2*r´^2=r^2[/mm]
> Aber wie ich zu der Kreisgleichung komme , die
> Tangentialebene berechne und wie ich auf r komme , weiß
> ich nicht.
Zunächst kannst Du den Mittelpunkt des Schnittkreises ermittteln.
Dazu erstelle eine Gerade die durch den Mittelpunkt der Kugel geht
und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene hat:
[mm]g: \vec{x}=\pmat{-2 \\ 1 \\ -1}+t*\pmat{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
Schneide diese Gerade g mit der Ebene E.
Aus dem Abstand des Schnittpunktes zum Mittelpunkt der Kugel
und dem Radius der Kugel kannst Du den Radius des Schnittkreises
berechnen.
> Danke schon mal im Vorraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Do 23.01.2014 | | Autor: | weduwe |
das geht noch etwas einfacher
aus der kugelgleichung folgt für die schnittpunkte mit der z-achse:
[mm]B(0/0/\pm 2-1)[/mm]
davon erfüllt nur der punkt B(0/0/-3) die ebenengleichung E.
damit kann man sofort die gleichung der tangentialebene aufstellen.
diese schneidet man mit der von Mathepower angegebenen geraden und erhält den gesuchten punkt R
|
|
|
|
