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Liebe Mitglieder, ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich überhaupt nicht weiß, wie ich vorgehen soll.
Sie lautet: Welche Kugel mit dem Mittelpnkt auf der Geraden g: [mm] \vecOX [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 2} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{2 \\ 5 \\ -4} [/mm] und dem Radius 9 berührt die Ebene E: [mm] \vecOX [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{1 \\ 1 \\ -4} [/mm] + [mm] \beta \vektor{1 \\ -1 \\ 0}?
[/mm]
Bestimme den Berührungspunkt.
Ich suche also den Berührungspunkt der Kugel mit der Ebene. Aber wie mache ich das??? ich habe jetzt zunächst einmal einen normalenvektor der
Ebene gebildet, dafür erhalte ich [mm] \vec n=\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
über eure hilfe würde ich mich sehr freuen. lg, tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Di 15.11.2005 | | Autor: | Fugre |
> Liebe Mitglieder, ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich
> überhaupt nicht weiß, wie ich vorgehen soll.
>
> Sie lautet: Welche Kugel mit dem Mittelpnkt auf der Geraden
> g: [mm]\vecOX[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 2}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{2 \\ 5 \\ -4}[/mm]
> und dem Radius 9 berührt die Ebene E: [mm]\vecOX[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
> + [mm]\alpha \vektor{1 \\ 1 \\ -4}[/mm] + [mm]\beta \vektor{1 \\ -1 \\ 0}?[/mm]
>
> Bestimme den Berührungspunkt.
>
> Ich suche also den Berührungspunkt der Kugel mit der Ebene.
> Aber wie mache ich das??? ich habe jetzt zunächst einmal
> einen normalenvektor der
> Ebene gebildet, afür erhalte ich [mm]\vecn=\vektor{2 \\ 2 \1\ 1}[/mm]
>
> über eure hilfe würde ich mich sehr freuen. lg, tina
Hallo Tina,
also fangen wir direkt an, eine Kugel besteht aus unendlich vielen Punkten, die
alle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben. Dieser Abstand zum Mittelpunkt
entspricht dem Radius. Da der Berührpunkt auch gleichzeitig ein Punkt der Kugel
ist, muss auch er einen Abstand von 9 zum Mittelpunkt haben. Du musst also gucken,
welcher Punkt der Geraden sprich welcher Mittelpunkt einen Abstand von
9 zur Ebene hat. Dazu ist es sicherlich sinnvoll die Ebene in Koordinatenform zu schreiben.
Wenn du unsicher sein solltest, kannst du gerne deine Ergebnisse posten, sollten sich andere
Fragen auftun, so frag einfach nach.
Liebe Grüße
Nicolas
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okay, ich habe jetzt die normalenform er ebene gebildet:
[mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] * [mm] \ver [/mm] r - 5 = 0
Aber wie errechne ich, welcher Punkt der Geraden einen Abstand von
9 zur Ebene hat?
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Hallo TinaHansen,
> okay, ich habe jetzt die normalenform er ebene gebildet:
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> [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm] * [mm]\ver[/mm] r - 5 = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie errechne ich, welcher Punkt der Geraden einen
> Abstand von
> 9 zur Ebene hat?
Die Ebene soll ja die Kugel, deren Mittelpunkt m auf der Geraden g liegt berühren.
Für den Punkt p auf der Kugel gilt:
[mm]p\;=\;m\;+\;\mu\;\vektor{2 \\ 2 \\1}[/mm]
Hieraus ergibt sich der unbekannte Parameter [mm]\mu[/mm] sofort, da der der Punkt auf der Kugel liegen muss.
Weiterhin gilt für m:
[mm]m\;=\;\vektor{2 \\ 3 \\ 2}\;+\;\alpha\;\vektor{2\\5\\-4}[/mm]
Die Gleichung für p setzt Du nun die Ebenengleichung ein. Daraus erhältst Du dann den Parameter [mm]\alpha[/mm]. Somit hast Du den Mittelpunkt, und daraus erhältst Du dann den Punkt p auf der Kugel.
Gruß
MathePower
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ich verstehe leider gar nichts:(.
welcher punkt p ist das?
[mm] p\;=\;m\;+\;\mu\;\vektor{2 \\ 2 \\1}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 16.11.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Tina!
> ich verstehe leider gar nichts:(.
Das ist ganz ganz schade...
> welcher punkt p ist das?
> [mm]p\;=\;m\;+\;\mu\;\vektor{2 \\ 2 \\1}[/mm]
Ich schlage jetzt mal einen Gedankengang vor, der jdm aus LK13 zugänglich und nachvollziehbar sein müßte.
Die Ebene hast du ja, dann gibt es zu dieser Ebene zwei andere im gesuchten Abstand. Kannst du die berechnen? Für die Hessesche Normalenform gibt es da z.B. Formeln, und sonst müßtest du dir einfach auf jeder Seite einen Punkt in diesem Abstand suchen (Normalenvektor auf die gesuchte Länge bringen und zu einem Punkt der Ebene addieren bzw. subtrahieren) und die dann für die Stützvektoren nehmen; da die Ebenen alle parallel sind, kannst du die Spannvektoren weiterverwenden. Der Mittelpunkt der gesuchten Kugel ist auf diesen Ebenen zu finden und gleichzeitig auf der gegebenen Geraden, also muß ich die beiden Schnittpunkte bestimmen. Die tun es!
Mal dir doch mal ein Bildchen für die Ebene (2dimensionaler Fall): 2 Geraden, die sich schneiden; gesucht ist ein Punkt auf der einen Geraden im vorgegebenen Abstand von der anderen Geraden...
Jetzt bist du wieder dran.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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