Kugelaufgabe (m,r bestimmen) < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Di 29.05.2012 | | Autor: | saraxx |
| Aufgabe | | Der Mittelpunkt [mm] $M_1 [/mm] (5|6|6)$ der Kugel [mm] $K_1$ [/mm] $|x-(5|5|6)| =25$ liegt auf einer zweiten Kugel [mm] $K_2$, [/mm] die mit der Ebene $E: 2x+3y+6z=12$ den gleichen Schnittkreis $K'$ wie die Kugel [mm] $K_1$ [/mm] bildet. Bestimmen Sie Mittelpunkt [mm] $M_2$ [/mm] und Radius dieser Kugel. |
Habe mir verschiedene Vorgehensweisen überlegt, aber mit keiner kann ich diese Aufgabe lösen:/?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo saraxx,
das klingt in seiner dreidimensionalen Verkleidung schwieriger als es ist. Man kann die Aufgabe aber auf ein zweidimensionales Problem zurückführen.
> Der Mittelpunkt M (5|6|6)der Kugel K(1) |x-(5|5|6)| =25
> liegt auf eine zweiten Kugel K, die mit der Ebene E:
> 2x+3y+6z=12 den gleichen Schnittkreis K' wie die Kugel K(1)
> bildet. Bestimmen sie Mittelpunkt M und Radius dieser
> Kugel?
>
> Habe mir verschiedene Vorgehensweisen überlegt, aber mit
> keiner kann ich diese Aufgabe lösen:/?
Na, es ist in diesem Forum meistens besser, wenigstens eine Vorgehensweise mal darzulegen, dann sieht man besser, woran es hängt.
Stell Dir mal folgendes vor:
Wir nehmen eine Ebene F, die senkrecht auf der Ebene E steht und den Mittelpunkt [mm] M_1 [/mm] der ersten Kugel enthält. Es gibt unendlich viele solcher Ebenen, denn man kann sie ja um die Lotgerade von [mm] M_1 [/mm] auf die Ebene E beliebig drehen.
In der Ebene F liegen auch zwei Schnittpunkte [mm] S_1, S_2 [/mm] der Kugel [mm] K_1 [/mm] mit der Ebene E. Sie bilden zusammen mit [mm] M_1 [/mm] ein gleichschenkliges Dreieck D.
Zwei der Seiten haben gerade die Länge [mm] r_1, [/mm] also den Radius der Kugel [mm] K_1, [/mm] nämlich die Seiten [mm] \overline{M_1S_1} [/mm] und [mm] \overline{M_1S_2}
[/mm]
Nun suchen wir den Mittelpunkt [mm] M_2, [/mm] der auf der Lotgeraden von [mm] M_1 [/mm] auf E liegen muss. Außerdem muss [mm] M_2 [/mm] von [mm] M_1, S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] gleich weit entfernt sein, also [mm] |\overline{M_1M_2}|=|\overline{M_2S_1}|=|\overline{M_2S_2}|.
[/mm]
Also ist [mm] M_2 [/mm] gerade der Umkreismittelpunkt des Dreiecks D. Den musst Du finden.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Mi 30.05.2012 | | Autor: | weduwe |
eine einfache lösung wäre diese:
da [mm] M_1 [/mm] auf [mm] K_2 [/mm] liegt, gilt für den ortsvektor [mm] m_2 [/mm] des gesuchten mittelpunktes:
[mm] \vec{m}_2=\vektor{5\\5\\6}\pm \frac{r_2}{7}\cdot\vektor{2\\3\\6}
[/mm]
das richtige vorzeichen ergibt sich mit hilfe der HNF, da die beiden kugelmittelpunkte auf verschiedenen seiten von E liegen müssen.
den gesuchten radius berechnet man zunächst mit pythagoras [mm] r^2_2=24^2+(r_2-7)^2
[/mm]
(nach durch blitz bedingtem stromausfall doch noch  )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mi 30.05.2012 | | Autor: | hawe |
Es dängt mich festzustellen, dass weder eine Kugel mit M=[5,6,6] noch eine Kugel mit M=[5,5,6] und Radius 5 sich mit der gegeben Ebene schneiden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Mi 30.05.2012 | | Autor: | weduwe |
> Es dängt mich festzustellen, dass weder eine Kugel mit
> M=[5,6,6] noch eine Kugel mit M=[5,5,6] und Radius 5 sich
> mit der gegeben Ebene schneiden...
auch wenn´s dich dängt , da hast du recht, allerdings ist der radius mit [mm]r_1 = 25\neq 5[/mm] angegeben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Fr 01.06.2012 | | Autor: | saraxx |
hallo :)
entschuldigung für die späte Reaktion...
wie kommst du auf die Variable in der Geradengleichung?
Stützvektor und Richtungsvektor verstehe ich , aber nicht wie du auf diese Länge kommst?
und dein nächsten Schritt
[mm]r^2_2=24^2+(r_2-7)^2[/mm]
verstehe ich auch nicht so ganz:/?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Fr 01.06.2012 | | Autor: | weduwe |
> hallo :)
> entschuldigung für die späte Reaktion...
>
> wie kommst du auf die Variable in der Geradengleichung?
> Stützvektor und Richtungsvektor verstehe ich , aber nicht
> wie du auf diese Länge kommst?
>
> und dein nächsten Schritt
> [mm]r^2_2=24^2+(r_2-7)^2[/mm]
>
> verstehe ich auch nicht so ganz:/?
welche VARIABLE meinst du denn?
von vorne:
1) bestimme den abstand d von [mm] M_1 [/mm] von E (am einfachsten mit der HNF) zu d = 7.
2) daraus berechnest du den radius des schnittkreises zu [mm] r_k=24
[/mm]
3) dmit kannst du den radius der gesuchten kugel mit dem pythagoras bestimmen wie oben angegeben, ok?
4) da [mm] M_1 [/mm] auf [mm] K_2 [/mm] liegt, beträgt der abstand [mm] |M_2M_1| [/mm] genau [mm] r_2.
[/mm]
da beide kugeln denselben schnittkreis haben, müssen die mittelpunkte auf verschiedenen seiten von E liegen (daher ist hier das "-" - vorzeichen zu nehmen) und die verbindungsgerade durch [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] steht senkrecht auf E , der richtungsvektor dieser geraden ist daher der normalenvektor von E.
daraus resultiert meine obige "formel".
wie üblich ist bei längenangaben der (normalen)vektor zu normieren
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Sa 02.06.2012 | | Autor: | saraxx |
wow dankeschön :)
habe soweit alles verstanden und bekomme für m (-7,75|-14,132|-32,265) raus und r= 44,642 :))
denke dies ist richtig:)
aber nur noch mal die verständnisfrage wie ich auf dies ergebnis komme
ich verstehe das [mm] r_2/7 [/mm] in der Geradengleichung nicht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Sa 02.06.2012 | | Autor: | weduwe |
steht doch oben, du mußt genauer lesen
der normalenvektor der ebene - und daher riuchtungsvektor der geraden - heißt
[mm] \vec{n}=\vektor{2\\3\\6} [/mm] daher heißt der EINHEITSvektor
[mm] \vec{n}_0=\frac{1}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}\cdot\vektor{2\\3\\6}=\frac{1}{7}\vektor{2\\3\\6}
[/mm]
und wie weit ist [mm] M_2 [/mm] von [mm] M_1 [/mm] entfernt? ja genau [mm] r_2 [/mm] einheiten.
also muß ich entlang der geraden genau [mm] r_2 [/mm] einheiten nach "oben" oder "unten", hier "nach unten" - begründung steht oben - marschieren, also
[mm] \vec{m}_2=\vec{m}_1-\frac{r_2}{7}\cdot\vektor{2\\3\\6}
[/mm]
alles ok?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Sa 02.06.2012 | | Autor: | saraxx |
ok habe nun alles verstanden :)
danke für eure Geduld ;)
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