Kugelgleichung aus Punkten < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermittle die Allg. Gleichung der durch die Punkte A, B, C, gehenden Kugel v Radius r.
A(4/8/5), B(7/5/5), C(7/8/2), r=9 |
Also ich würde ein Gleichungssytem machen u versuchen zu eliminieren, aber ich check das nicht, weil sich immer nur ein Binom streichen läßt u ich dann wieder 2 Unbekannte hab. *argh*
Was würdet ihr machen?
Danke
lg ww
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Sa 01.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi wonder,
also in die Koordinatengleichung der Kugel
[mm] (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2=r^2
[/mm]
mit Mittelpunkt [mm] M(m_1|m_2|m_3)
[/mm]
musst du, hätte ich jetzt auch gesagt, nur jeden deiner Punkte einsetzen und das Gleichungssystem lösen. Wenns nicht klappt weiss ich jetzt auch nicht. Schreib's vielleicht mal hin, dann sieht man vielleicht wo's hängt.
L G walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Sa 01.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo wonderwall.
> Ermittle die Allg. Gleichung der durch die Punkte A, B, C,
> gehenden Kugel v Radius r.
> A(4/8/5), B(7/5/5), C(7/8/2), r=9
> Also ich würde ein Gleichungssytem machen u versuchen zu
Richtig!
> eliminieren, aber ich check das nicht, weil sich immer nur
> ein Binom streichen läßt u ich dann wieder 2 Unbekannte
> hab. *argh*
> Was würdet ihr machen?
Etwas ähnliches, stell die drei Gleichungen für die Punkte einmal auf, die erste (für A) lautet
[mm] (4-m_1)^2+(8-m_2)^2+(5-m_3)^2 [/mm] = [mm] 9^2
[/mm]
Das machst du für Punkt B und C, du erhälst Gleichung
I
II
III
Und ohne erst einmal die Klammern auszumultiplizieren, setzt du jede Gleichung mit der anderen gleich.
I = II
I = III
II= III
Und nun solltest du dieses einfach durch Additions-/Subtraktionsverfahren lösen können (evtl. auch mit Gauss).
> Danke
>
> lg ww
Viele Grüße
Disap
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auch wenn ich das nun so probiere, dann kann ich zwar zb I=II mit II=III subtrahieren, aber es bleiben wieder zuviele unbekannte übrig
beim ersten bleibt übrig:
(4-x)²-(7-x)²+(8-y)²-(5-y)²=(5-y)²-(8-y)²+(5-z)²-(2-z)²
bei I=III u II=III subtrahiert dann das:
(4-x)²-(7-x)²+(8-y)²-(5-y)²=0
beide ergebnisse wieder subtrahiert, ergeben:
0=-(5-y)²+(8-y)²-(5-z)²+(2-z)²
und dann gehts ja nicht mehr weiter
wo is da mein fehler? *schluchz*
lg ww
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Sa 01.04.2006 | | Autor: | riwe |
wo liegt dein problem?
aus I und II ergibt sich x = y - 1
aus II und III analog z = y - 3
das in I eingesetzt führt auf die quadratische gleichung in y:
[mm] y^{2}-14y+24 [/mm] =0 [mm] \Rightarrow y_1= [/mm] 12 und [mm] y_2 [/mm] = 2, und daraus [mm] M_2(1/2/-1).
[/mm]
alternativer lösungsweg wäre: die beiden mittelsenkrechten ebenen durch AB und BC erstellen und daraus die schnittgerade bestimmen zu [mm] \vec{x}=\vektor{2\\3\\0}+t\vektor{ 1\\1\\1}. [/mm] auf dieser geraden muß der mittelpunkt liegen, das gibt
[mm] (\vektor{7\\5\\5}-\vektor{2\\3\\0}-t\vektor{1\\1\\1})^{2}=81 \Rightarrow
[/mm]
[mm] t_1=9 [/mm] und [mm] t_2=-1, t_2 [/mm] liefert wieder [mm] M_2(1/2/-1).
[/mm]
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Hi
mein Problem ist das, ich wenn ich nun für x u z einsetze ich folgenden Gleichung bekomme:
(4-(y-1))²+(8-y)²+(5-(y-3)²=81
(5-y)²+64+y²-16y+(8-y)²=81
25-10y+y²+64-16y+y²+64-16y+y²=81
2y²-42y+72=0/:2
y²-21y+36=0
und dann kommt was ganz "grausliches" raus....ich find den fehler nicht, ihr vielleicht?
lg ww
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo wonderwall!
Sieh' Dir mal beim Zusammenfassen die [mm] $y^2$-Terme [/mm] an ... das sind insgesamt [mm] $\red{3}*y^2$ [/mm] (und nicht nur [mm] $2*y^2$) [/mm] !
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Mo 03.04.2006 | | Autor: | wonderwall |
Hola
mah, danke, manchmal ghör ich echt ghaut :schaem:
dann passt ja eh alles, kommt davon wenn ich ganz verzweifelt rechne *upsi*
danke
lg ww
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