Kugelgleichung drei Punkte < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Leute, folgendes Beispiel beschäftigt mich sehr, ich komme damit nicht klar, warum aus drei Punkten keine Ebene eindeutig beschrieben wird. Ihr werdet die Frage vermutlich nicht verstehen, daher zunächst ein Beispiel anhand eines Kreises
Kreisgleichung
[mm] $(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$
[/mm]
A(3|1)
B(1|3)
einsetzen
$I [mm] (3-m_1)^2+(1-m_2)^2=r^2$
[/mm]
$II [mm] (1-m_1)^2+(3-m_2)^2=r^2$
[/mm]
Drei unbekannte, zwei Gleichungen, kann nicht gehen!
I=II
Daraus ergibt sich eine verbleibende Gleichung mit zwei unbekannten
[mm] $(3-m_1)^2+(1-m_2)^2 [/mm] = [mm] (1-m_1)^2+(3-m_2)^2$
[/mm]
[mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] unbekannt!
Nun zur eigentlichen Frage,
Bei einer Kugel mit drei Punkten bekomme ich zunächst vier unbekannte und drei Gleichungen, nach dem gleichsetzen fange ich aber an zu staunen.
[mm] $(x-m_1)^2+(y-m_2)^2+(z-m_3)=r^2$
[/mm]
[mm] m_1 [/mm] etc. ist a und [mm] m_2 [/mm] b ... wird mir sonst zu viel getippe
[mm] $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)=r^2$
[/mm]
A(3|1|1)
B(2|2|2)
C(1|4|3)
$I [mm] (3-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2=r^2$
[/mm]
$II [mm] (2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2=r^2$
[/mm]
$III [mm] (1-a)^2+(4-b)^2+(3-c)^2=r^2$
[/mm]
$I=II
[mm] (3-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2 [/mm] = [mm] (2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2$
[/mm]
$I=III
[mm] (3-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2 [/mm] = [mm] (1-a)^2+(4-b)^2+(3-c)^2$
[/mm]
$II=III
[mm] (2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2 [/mm] = [mm] (1-a)^2+(4-b)^2+(3-c)^2$
[/mm]
Waaaahnnsinnnn, drei Gleichungen drei unbekannte nur noch. Ich wäre jede WEtte eingegangen, dass sich das also EINDEUTIG lösen lässt, da wir nur noch drei Unbekannte und Drei Gleichungen haben.
Nun tippe ich es in meinen taschenrechner ein
$a-c = 6$
$b = [mm] \bruch{13}{2}$
[/mm]
Das verstehe ich jetzt überhaupt nicht, warum bekomme ich eine Lösung in Abhängigkeit? Ja, ist mir klar, dass es daran liegt, dass ich nur drei Punkte habe und nicht vier, aber warum wirkt sich das auf die Rechnung aus?
Diese drei Gleichungen:
$I
[mm] (3-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2 [/mm] = [mm] (2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2$
[/mm]
$II
[mm] (3-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2 [/mm] = [mm] (1-a)^2+(4-b)^2+(3-c)^2$
[/mm]
$III
[mm] (2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2 [/mm] = [mm] (1-a)^2+(4-b)^2+(3-c)^2$
[/mm]
müssten sich doch exakt lösen lassen, stattdessen kriege ich die Bedingung a-c=6 und b ist immer das selbe. Wieso ist die Koordinate a und c variabel?...
Grüße
Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Phoney,
> Hallo Leute, folgendes Beispiel beschäftigt mich sehr, ich
> komme damit nicht klar, warum aus drei Punkten keine Ebene
> eindeutig beschrieben wird. Ihr werdet die Frage vermutlich
> nicht verstehen, daher zunächst ein Beispiel anhand eines
> Kreises
>
> Kreisgleichung
>
> [mm](x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2[/mm]
>
> A(3|1)
> B(1|3)
>
> einsetzen
>
> [mm]I (3-m_1)^2+(1-m_2)^2=r^2[/mm]
> [mm]II (1-m_1)^2+(3-m_2)^2=r^2[/mm]
>
> Drei unbekannte, zwei Gleichungen, kann nicht gehen!
Darauf kommt es an!
Du hast sowas vom Schema her wie
a=r
b=r
3 Unbekannte 2 gleichungen bwz. a=b eine Gleichung mit 2 Unbekannten.
>
> I=II
>
> Daraus ergibt sich eine verbleibende Gleichung mit zwei
> unbekannten
>
> [mm](3-m_1)^2+(1-m_2)^2 = (1-m_1)^2+(3-m_2)^2[/mm]
>
> [mm]m_1[/mm] und [mm]m_2[/mm] unbekannt!
>
>
> Nun zur eigentlichen Frage,
>
> Bei einer Kugel mit drei Punkten bekomme ich zunächst vier
> unbekannte und drei Gleichungen, nach dem gleichsetzen
> fange ich aber an zu staunen.
>
> [mm](x-m_1)^2+(y-m_2)^2+(z-m_3)=r^2[/mm]
>
> [mm]m_1[/mm] etc. ist a und [mm]m_2[/mm] b ... wird mir sonst zu viel
> getippe
>
> [mm](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)=r^2[/mm]
>
> A(3|1|1)
> B(2|2|2)
> C(1|4|3)
>
> [mm]I (3-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2=r^2[/mm]
> [mm]II (2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2=r^2[/mm]
>
> [mm]III (1-a)^2+(4-b)^2+(3-c)^2=r^2[/mm]
Darauf kommt es auch hier an, 3 Gl. 4 Unbekannte.
Schema
a=r
b=r
c=r
daraus hast du dann...
>
> $I=II
> [mm](3-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2[/mm] = [mm](2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2$[/mm]
> $I=III
> [mm](3-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2[/mm] = [mm](1-a)^2+(4-b)^2+(3-c)^2$[/mm]
> $II=III
> [mm](2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2[/mm] = [mm](1-a)^2+(4-b)^2+(3-c)^2$[/mm]
...gemacht, was vom Schema
a=b
a=c
b=c
ist, was nur auf den ersten Blick wie 3 Gleichungen aussieht, was es aber gar nicht ist, da in den ersten beiden Gl auch nur die Information b=c steckt. Du hast also eine Gleichung mit überflüssiger Information, also in Wirklichkeit nur 2 Gleichungen (mit 3 Unbekannten).
Alles klar  ?
Lg walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Phoney |
Jo, super Überlegung und Darstellung
Alles klar
Vieeeelen dank!!!
Gruß Phoney
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