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| Aufgabe | | Gegeben ist die Kugel [mm] K:(x_{1}-3)²+(x_{2}+1)²+(x_{3}+3)²= [/mm] 25. Bestimmen Sie die Berührpunkte der beiden Tangentialebenen an K, die durch P(-2|14|7) und Q(10|-2|-2) gehen. |
Hi, ich sitze schon seit ner ganzen Weile vor der Aufgabe, aber ich finde einfach keinen Ansatz, der mir hilft. Danke schon mal für eure Bemühungen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Di 04.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Gegeben ist die Kugel [mm]K:(x_{1}-3)²+(x_{2}+1)²+(x_{3}+3)²=[/mm]
> 25. Bestimmen Sie die Berührpunkte der beiden
> Tangentialebenen an K, die durch P(-2|14|7) und Q(10|-2|-2)
> gehen.
Hi Rachel,
Folgende Ansatzideen hätte ich "anzubieten"
a)Der Normalenvektor der Ebene ist parallel zum Vektor [mm] \overrightarrow{BM} [/mm] , wobei B der Berührpunkt Ebene-Kugel und M der Mittelpunkt der Kugel ist.
b)Die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{BM} [/mm] entspricht dem Radius der Kugel.
c) Der Normalenvektor der Ebene steht Senkrecht zu [mm] \overrightarrow{PB}, [/mm] es gilt also: [mm] \overrightarrow{PB} [/mm] * [mm] \overrightarrow{BM} [/mm] = 0.
Kannst du damit evtl. weiterarbeiten? Ich bin mir jetzt selber nicht ganz sicher, ob das hilft,(ich hatte ne falsche Lösung) aber mitteilen wollte ich dir das schon.
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Di 04.07.2006 | | Autor: | riwe |
sei [mm] \vec{a}=\vec{b}-\vec{m} [/mm] mit [mm] \vec{b} [/mm] ortsvektor des berührungspunktes und [mm] \vec{m} [/mm] der des mittelpunktes, sowie [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec{q} [/mm] die der beiden punkte.
dann hast du [mm] (\vec{p}-\vec{m})\cdot \vec{a}=r^{2}, [/mm] weil P auf der tangentialebene liegt, analoges für Q, und letztlich [mm] \vec{a}^{2}=r^{2}, [/mm] weil B auf der kugel liegt.
aus diesen 3 gleichungen kannst du die komponenten von [mm] \vec{a} [/mm] berechnen und anschließend die koordinaten des/ der berührungspunkte.
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