Kugeln in einem Würfel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | In einem Würfel mit der Kante a liegen zwei möglichst grosse,gleiche Kugeln, die sich gegenseitig und je drei Würfelflächen berühren. Berechnen Sie den Radius der Kugeln aus a. |
Ich habe keine Ahnung wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll... Kann mir jemand einen Tip geben wo ich anfangen kann oder welches Dreieck ich zeichnen muss um etwas berechnen zu können??
Vielen Dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Die Mittelpunkte der beiden Kugeln liegen auf der Raumdiagonalen des Würfels.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar
Vielen Dank für deine schnelle Reaktion.
Dass die Kugeln auf der Raumdiagonale sind scheint mir logisch... Aber wie ich auf den Radius der Kugeln komme ist mir leider noch nicht klarer...
Kann ich irgendwie die zwei Längen an jedem Ende der Körperdiagonale berechnen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 30.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Loddar
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> Vielen Dank für deine schnelle Reaktion.
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> Dass die Kugeln auf der Raumdiagonale sind scheint mir
> logisch... Aber wie ich auf den Radius der Kugeln komme ist
> mir leider noch nicht klarer...
> Kann ich irgendwie die zwei Längen an jedem Ende der
> Körperdiagonale berechnen??
Dreh die Aufgabe mal um; nimm an, du hättest die Kugel und ihren Radius r schon und müsstest daraus die Hälfte der Raumdiagonale e des Würfels ausdrücken.
Die Kugel habe den Radius r, den Mittelpunkt M und mit den drei Würfelflächen die Berührungspunkte A, B und C.
Das Dreieck ABC ist dann gleichseitig mit [mm] AB=BC=AC=\wurzel{2}r [/mm] (warum?)
ABCM ist ein Tertaeder. Die Raumdiagonale geht durch M, der der Endpunkt X dieser Raumdiagonale, der M am nächsten liegt, spannt mit M, A, B, C und drei Punkten auf Würfelkanten einen kleineren Würfel auf.
Für die Raumdiagonale MX dieses kleineren Würfels gilt [mm] MX=\wurzel{3}r. [/mm] Die Reststrecke von M bis zum Mittelpunkt der Raumdiagonale des Ausgangswürfels ist r.
Also gilt [mm] e/2=\wurzel{3}r+r. [/mm] Das musst du nach r umstellen und hast r durch e ausgedrückt. Das kannst du dann auf die Kantenlänge zurückführen.
Gruß Abakus
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> Hallo Loddar
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> Vielen Dank für deine schnelle Reaktion.
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> Dass die Kugeln auf der Raumdiagonale sind scheint mir
> logisch... Aber wie ich auf den Radius der Kugeln komme ist
> mir leider noch nicht klarer...
> Kann ich irgendwie die zwei Längen an jedem Ende der
> Körperdiagonale berechnen??
Falls Du mit Koordinaten rechnen kannst, geht es auch ohne allzuviel geometrische Anschauung. Für die Kugelmittelpunkte kannst Du den Ansatz [mm] $M_1=(r|r|r)$ [/mm] und [mm] $M_2=(a-r|a-r|a-r)$ [/mm] verwenden (denn dieser Ansatz besagt, dass die beiden Kugeln alle drei, in diagonal gegenüberliegenden Ecken des Würfels zusammenstossenden Ebenen berühren).
Der Wert von $r$ ist dann als Lösung der Gleichung [mm] $\overline{M_1M}_2=2r$ [/mm] zu bestimmen (denn diese Beziehung besagt nichts anderes als: "die beiden Kugeln berühren sich").
Die Grundidee dieses Ansatzes wäre auch anwendbar, wenn anstelle eines Würfels ein Quader gegeben wäre. In diesem Falle würden die Kugelmittelpunkte nämlich in der Regel nicht auf einer Raumdiagonalen des Quaders liegen.
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