Kugeln in einer Urne < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Di 25.12.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | In einer Urne sind fünf schwarze und vier weisse kugeln.
Peter und Paul spielen folendes Spiel: Aus der Urne werden ohne Zurücklegen m $(1 [mm] \leq [/mm] m [mm] \leq [/mm] 9)$ Kugeln gezogen. Peter gewinnt, wenn unter den gezogenen Kugeln mindestens gleich viele weisse wie schwarze sind. Andernfalls gewinnt Paul. Peter darf m im voraus festlegen. Welche Wahl von m ist für ihn am günstigsten? |
Hi Leute,
hier hab ich auch wieder eine Aufgabe bei der ich ohne Hilfe grad nicht weiter komme.
Ich hab mir nun zuerst mal alle mir als wichtig erschienend Angabenen rausgezogen: 5 schwarze Kugeln, 4 weiße Kugeln, ziehen ohne zurücklegen.
Und noch soll ich also herausfinden, wie man m wählen muss, dass es am besten passt, also das am besten die Anzahl der weißen nicht mit der Anzahl der schwarzen Kugeln übereinstimmt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Di 25.12.2012 | | Autor: | abakus |
> In einer Urne sind fünf schwarze und vier weisse kugeln.
> Peter und Paul spielen folendes Spiel: Aus der Urne werden
> ohne Zurücklegen m [mm](1 \leq m \leq 9)[/mm] Kugeln gezogen.
> Peter gewinnt, wenn unter den gezogenen Kugeln mindestens
> gleich viele weisse wie schwarze sind. Andernfalls gewinnt
> Paul. Peter darf m im voraus festlegen. Welche Wahl von m
> ist für ihn am günstigsten?
> Hi Leute,
>
> hier hab ich auch wieder eine Aufgabe bei der ich ohne
> Hilfe grad nicht weiter komme.
>
> Ich hab mir nun zuerst mal alle mir als wichtig erschienend
> Angabenen rausgezogen: 5 schwarze Kugeln, 4 weiße Kugeln,
> ziehen ohne zurücklegen.
>
> Und noch soll ich also herausfinden, wie man m wählen
> muss, dass es am besten passt, also das am besten die
> Anzahl der weißen nicht mit der Anzahl der schwarzen
> Kugeln übereinstimmt...
Na, dann fang mal an.
Berechne die Gewinnchance für Peter, wenn er m=1 wählt.
Wenn du das hast, dann berechnest du die Gewinnchance für Peter, wenn er m=2 wählt.
Wenn du das hast...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Di 25.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Ahja. Das bringt mich schon mal einen Schritt weiter.
Ich werd die Teilgewinnwahrscheinlichkeiten wohl aufsummieren dürfen, oder?
Ich hab dann mal diese Formel angewendet: $k=1$; $ P(n,k) = [mm] \frac{n!}{(n-k)!} [/mm] = [mm] \frac{9!}{9-k} [/mm] = 9$
Das Ergebnis lässt mich aber mutmaßen, dass es falsch ist ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Di 25.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Ahja. Das bringt mich schon mal einen Schritt weiter.
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> Ich werd die Teilgewinnwahrscheinlichkeiten wohl
> aufsummieren dürfen, oder?
Da weiß ich jetzt nicht genau, welche du meinst.
>
> Ich hab dann mal diese Formel angewendet: [mm]k=1[/mm]; [mm]P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{9!}{9-k} = 9[/mm]
>
> Das Ergebnis lässt mich aber mutmaßen, dass es falsch ist
> ...
Es ist ja auch schonmal was, das man weiß, das man falsch liegt  Aber bevor man irgendeine Formel benutzt, sollte man sich im klaren darüber sein, wann man sie anwenden darf und was sie dann darstellt. Du hast jetzt einfach die Formel für die Anzahl der Möglichkeiten, wie man k Objekte aus n unterscheidbaren, ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Zugreihenfolge auswählen kann, benutzt. Das ist natürlich erstmal keine Wahrscheinlichkeit.
Besser ist es (eigentlich ja immer), erstmal scharf nachzudenken:
Wenn eine einzige Kugel gezogen wird, wie Wahrscheinlich ist es dann, dass man gleich viel weisse und schwarze hat? Hinweis: Diese W'keit ist für alle ungeraden m gleich groß und lässt sich ohne jede Formel zu kennen, angeben. Man muss nur das Hirn einschalten
EDIT : Man muss auch mal lesen können. Ich hab übersehen, dass zum Gewinn nicht nur Gleichstand gehört, sondern auch mehr weisse, als schwarze Kugeln.
Nachdem das geklärt ist, geht man zu m=2 über. Es wird also zweimal gezogen. Es ist auf jeden Fall sinnvoll, sich den Ergebnisraum und das gesuchte Ereignis zu überlegen und aufzuschreiben.
Die W'keit kann man dann über ein Baumdiagramm hier noch gut bestimmen. Man könnte auch eine Zufallsvariable einführen ,zB "X:Anzahl der weißen Kugeln" und dann das Ereignis X=m/2 (für die verschiedenen m einzeln oder auch einmal allgemein) betrachten. Für die W'keit müsste man sich dann aber darüber klar werden, welcher (recht wohlbekannten) Verteilung X folgt.
Kommst du mit den Tipps weiter?
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 25.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Also interessieren ja eigentlich eh nur die Wahrscheinlichkeiten für m=2, m=4, m=6, m=8. Soweit richtig?
Das heißt also ich muss jetzt nur noch irgendwie herausfinden, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnet, gleich viel Kugeln beider Farben zu erhalten. Im Fall m=2, wär das dann eben eine schwarze und eine weiße. m=4 = zwei schwarze und zwei weiße usw usf.
Ich hab dann jetzt mal probiert eine Grundmenge aufzustellen:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,...,9\} [/mm] = [mm] \{(\omega_1; \omega_2) | \omega_1 \in \{1,2,3,4\} \wedge \omega_2\{1,2,3,4,5\}\}$
[/mm]
Stimmt das schon mal so?
So, und jetzt will ich die Wahrscheinlichkeit $P(m=2) = ...$ angeben. Und ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Du sprichst von einer "recht wohlbekannten Verteilung". Verteilungsfunktionen gibts einige. Wie erkenne ich denn welche ich anwenden muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Di 25.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Also interessieren ja eigentlich eh nur die
> Wahrscheinlichkeiten für m=2, m=4, m=6, m=8. Soweit
> richtig?
Weil die W'keiten für ungerade m Null sind, richtig.
>
> Das heißt also ich muss jetzt nur noch irgendwie
> herausfinden, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnet,
> gleich viel Kugeln beider Farben zu erhalten. Im Fall m=2,
> wär das dann eben eine schwarze und eine weiße. m=4 =
> zwei schwarze und zwei weiße usw usf.
>
> Ich hab dann jetzt mal probiert eine Grundmenge
> aufzustellen:
>
> [mm]\Omega = \{1,2,...,9\} \red{=} \{(\omega_1; \omega_2) | \omega_1 \in \{1,2,3,4\} \wedge \omega_2\{1,2,3,4,5\}\}[/mm]
>
> Stimmt das schon mal so?
Also das rot markierte Gleichheitszeichen ist falsch, denn links davon hast du eine Menge aus Zahlen und rechts davon eine Menge aus geordeten 2 Tupeln. Das rechte geht prinzipiell schon in die richtige Richtung, nur so scheint es mir noch nicht zu stimmen. Zumal so ganz ohne Beschreibung. Denk dran, auch in Mathe sind Worte/Erklärungen erwünscht. Du meinst mit [mm] \{1,2,3,4\} [/mm] wohl die vier weissen Kugeln und mit [mm] \{1,2,3,4,5\} [/mm] die 5 schwarzen. Dann wären in deinem Omega aber immer nur die erste Kugel weiss und die zweite schwarz. So ist das noch nicht richtig.
Es gibt aber mehrere Möglichkeiten den Ergebnisraum aufzuschreiben, das kommt drauf an, wie man davon ausgehend weiter machen möchte. Wenn man es sich zB bei [mm] \Omega [/mm] leicht macht und so wählt: [mm] \Omega=\{(w,w),(s,s),(w,s),(s,w)\} [/mm] (wobei w für weisse und s für schwarze Kugel steht),muss man aufpassen, dass hier keine Gleichverteilung auf [mm] \Omega [/mm] vorliegt. Dann wäre es einfacher, die W'keiten durch einen Baum zu bestimmen.
Gibt man sich Mühe, und macht es so wie du [mm] \Omega=\{(\omega_1,\omega_2)|\omega_1,\omega_2\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, \omega_1\not=\omega_2\}, [/mm] wobei Kugeln 1-4 weiß und 5-9 schwarz sind.
Dann hat man eine Gleichverteilung und kann die W'keiten entsprechend (Laplace) ausrechnen. Dann überträgt sich das Problem darauf die Anzahl der Elemente im gesuchten Ereignis zu bestimmen. (Kombinatorik war ja auch dein erster Gedanke.)
>
> So, und jetzt will ich die Wahrscheinlichkeit [mm]P(m=2) = ...[/mm]
> angeben. Und ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Du
> sprichst von einer "recht wohlbekannten Verteilung".
> Verteilungsfunktionen gibts einige. Wie erkenne ich denn
> welche ich anwenden muss?
Mit "recht wohlbekannt" meinte ich, es ist eine, die man von der Schule her kennen kann. Also nix abgefahrenes. Vielleicht erkennst du sie, wenn ich ein analoges Beispiel mache. Stell dir vor, du hast ein Kartenspiel mit 9 Karten, darunter sind 4 Asse. Du ziehst 2 mal. Wie groß ist die W'keit genau 1 Ass zu ziehen. Wenn dir das nicht bekannt vorkommt, kennst du die Verteilung wohl noch nicht.
Wenn man sie kennt, ist das die leichteste (finde ich) Variante (und ergibt sich aus deinem (Edit: also Gleichverteilung) Ansatz für [mm] \Omega [/mm] und der entsprechenden Zufallsvariable X: Anzahl der Treffer (hier zB weisse Kugel) )
Lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 25.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Die Änderung meiner Grundmenge die du da gemacht hast, leuchtet mir ein.
Du meinst wohl die Hypergeometrische-Verteilung?
$P(m=2) = [mm] \frac{\pmat{ 4 \\ 2 }\cdot \pmat{ 9-4 \\ 2-2 }}{\pmat{ 9 \\ 2 }} [/mm] = [mm] ...=\frac16$
[/mm]
Laut meiner Lösung soll aber für m=2 [mm] $\frac{13}{18}$ [/mm] rauskommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Di 25.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Die Änderung meiner Grundmenge die du da gemacht hast,
> leuchtet mir ein.
>
> Du meinst wohl die Hypergeometrische-Verteilung?
Ja, die meine ich.
>
> [mm]P(m=2) = \frac{\pmat{ 4 \\ 2 }\cdot \pmat{ 9-4 \\ 2-2 }}{\pmat{ 9 \\ 2 }} = ...=\frac16[/mm]
>
> Laut meiner Lösung soll aber für m=2 [mm]\frac{13}{18}[/mm]
> rauskommen.
Da hast du auch schon wieder ohne groß nachzudenken in die Formel eingesetzt...
Überlege bitte und schreib auf:
1)Was ist die Zufallsvariable X
2)Die Formel ist für P(X=k), was ist hier das k, bzw, wie spielt das m da hinein?
Dann rechne nochmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Di 25.12.2012 | | Autor: | Walde |
Und ich habe gerade nochmal die Aufgabenstellung gelesen, da steht ja "mindestens soviel weisse wie schwarze" das muss man natürlich auch noch berücksichtigen. Daher ist das gesuchte Ereignis bei m=2 natürlich
[mm] X\ge [/mm] 1. Lässt sich aber trotzdem gut mit der Formel machen, man muss nur, wie du schon erwähnt hattest (jetzt weiss ich auch warum ) die einzelnen W'keiten aufaddieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 25.12.2012 | | Autor: | bandchef |
> 1)Was ist die Zufallsvariable X
> 2)Die Formel ist für P(X=k), was ist hier das k, bzw, wie spielt das m da hinein?
Das X ist die diskrete Zufallsgröße und k ist die Anzahl der Elemente mit der zu prüfenden Eigenschaft. Das hab ich mir natürlich jetzt nicht aus den Fingern gesogen sondern steht so bei Wikipedia.
Was das aber nun bei meiner Aufgabe zu bedeuten hat versteh ich nicht. Was ist denn die zu prüfende Eigenschaft? Ich denke, das ist doch die Farbe, und wie oft die Farben vorkommen..., oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Di 25.12.2012 | | Autor: | Walde |
> > 1)Was ist die Zufallsvariable X
> > 2)Die Formel ist für P(X=k), was ist hier das k, bzw, wie
> spielt das m da hinein?
>
> Das X ist die diskrete Zufallsgröße und k ist die Anzahl
> der Elemente mit der zu prüfenden Eigenschaft. Das hab ich
> mir natürlich jetzt nicht aus den Fingern gesogen sondern
> steht so bei Wikipedia.
>
> Was das aber nun bei meiner Aufgabe zu bedeuten hat versteh
> ich nicht. Was ist denn die zu prüfende Eigenschaft? Ich
Man muss eben erklären was die "zu prüfende Eigenschaft ist", deswegen sag ich ja:hinschreiben.
Hier:
X:Anzahl der weissen Kugeln
(man hätte ja auch schwarze nehmen können)
> denke, das ist doch die Farbe, und wie oft die Farben
> vorkommen..., oder?
Ja, k soll hier 1 sein. (Aber siehe auch meine Mitteilung, die ich eben noch geschrieben habe: man muss die W'keit noch für mehr k ausrechnen, dann addieren)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 25.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Was würde passieren, wenn ich anstatt für x=4, x=5 (also schwarze Kugeln) setzen würde?
Das mit dem aufsummieren hab ich mir schon gedacht gehabt, genau. Wie aber sieht das dann aus?
Wenn nun m=2 ist, geht die Summe von k=1 bis 2. Also 2 Iterationen. Wenn m=4 ist, geht die Summe von k=1 bis 4? Dann: k=1 bis 6? Dann: k=1 bis 8.
9 ist uninteressant da ungerade.
Soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 25.12.2012 | | Autor: | Walde |
Vorsicht, ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen, dass nur exakt gleichviele weisse u schwarze Kugeln zum gesuchten Ereigniss gehören, das stimmt ja gar nicht.
für m=1 ist X=1 ein Gewinn.
Für m=2 ist [mm] X\ge [/mm] 1 ein Gewinn
Für m=3 ist [mm] X\ge [/mm] 2 ein Gewinn usw.
Die Formel kannst du (aufs m angepasst) aber jeweils benutzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 25.12.2012 | | Autor: | bandchef |
m=4: X>=3?
m=5: X>=4?
m=6: X>=5?
m=7: X>=6?
m=8: X>=7?
m=9: X>=8?
Stimmen diese Summenindizes so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Di 25.12.2012 | | Autor: | Walde |
> m=4: X>=3?
Nein. Bitte mitdenken. Bei 4 Kugeln reichen bereits 2 weisse zum Gewinn.
Immer "Gleichstand oder mehr."
>
> m=5: X>=4?
3 oder mehr reichen hier.
>
> m=6: X>=5?
3 oder mehr.
>
> m=7: X>=6?
>
> m=8: X>=7?
>
> m=9: X>=8?
>
> Stimmen diese Summenindizes so?
Nein. Kriegst du den Rest hin?
Lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mi 26.12.2012 | | Autor: | bandchef |
So, dann schaun wir mal. Ich hab nun alle Summen mal ausgerechnet:
$P(m=1) = [mm] \sum_{k=1}^{1} [/mm] = [mm] \left( \frac{\vektor{4 \\ k} \cdot \vektor{9-4 \\ 1-k}}{\vektor{9 \\ 1}} \right) [/mm] = [mm] \frac49$
[/mm]
$P(m=2) = [mm] \sum_{k=1}^{2} [/mm] = [mm] \left( \frac{\vektor{4 \\ k} \cdot \vektor{9-4 \\ 2-k}}{\vektor{9 \\ 2}} \right) [/mm] = [mm] \frac{13}{18}$
[/mm]
$P(m=3) = [mm] \sum_{k=2}^{3} [/mm] = [mm] \left( \frac{\vektor{4 \\ k} \cdot \vektor{9-4 \\ 3-k}}{\vektor{9 \\ 3}} \right) [/mm] = [mm] \frac{17}{42}$
[/mm]
$P(m=4) = [mm] \sum_{k=2}^{4} [/mm] = [mm] \left( \frac{\vektor{4 \\ k} \cdot \vektor{9-4 \\ 4-k}}{\vektor{9 \\ 4}} \right) [/mm] = [mm] \frac{9}{14}$
[/mm]
$P(m=5) = [mm] \sum_{k=3}^{4} [/mm] = [mm] \left( \frac{\vektor{4 \\ k} \cdot \vektor{9-4 \\ 5-k}}{\vektor{9 \\ 5}} \right) [/mm] = [mm] \frac{5}{14}$
[/mm]
$P(m=6) = [mm] \sum_{k=3}^{4} [/mm] = [mm] \left( \frac{\vektor{4 \\ k} \cdot \vektor{9-4 \\ 6-k}}{\vektor{9 \\ 6}} \right) [/mm] = [mm] \frac{25}{42}$
[/mm]
$P(m=7) = [mm] \sum_{k=4}^{4} [/mm] = [mm] \left( \frac{\vektor{4 \\ k} \cdot \vektor{9-4 \\ 7-k}}{\vektor{9 \\ 7}} \right) [/mm] = [mm] \frac{5}{18}$
[/mm]
$P(m=8) = [mm] \sum_{k=4}^{4} [/mm] = [mm] \left( \frac{\vektor{4 \\ k} \cdot \vektor{9-4 \\ 8-k}}{\vektor{9 \\ 8}} \right) [/mm] = [mm] \frac{5}{9}$
[/mm]
$P(m=9) = [mm] \sum_{k=4}^{4} [/mm] = [mm] \left( \right) [/mm] = $ Aufgrund geringerer Anzahl weißer wie schwarzer Kugeln nicht möglich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi bandchef,
ist zwar formal gesehen absolut falsch aufgeschrieben (siehe weiter unten), aber ich weiß, was du meinst und es sieht richtig, bzw. plausibel aus. Auch, dass im letzten die W'keit Null ist, ist richtig. Ich hoffe aber, du erwartest nicht, dass ich die anderen nachrechne.
Wenn du die Aufgabe abgeben willst, musst du unbedingt die Zufallsvariable X:"Anzahl gezogener weisser Kugeln" deklarieren. Weiterhin macht die Schreibweise "P(m=2)" usw. absolut keinen Sinn. In der Klammer muss doch ein Ereignis stehen. Im Fall m=2 wäre das [mm] P(X\ge [/mm] 1). Ach, und nach dem Summenzeichen einfach das "=" weglassen.
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mi 26.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Das "=" nach dem Summenzeichen ist mir nur reingerutscht weil Schreibfehler. Das da kein's hinkommt, weiß ich natürlich.
Könntest du mir vielleicht für bspw. m=5 mal eine so eine Formel exemplarisch mit korrektem Formalismus angeben? Ich hab nämlich in Wikipedia diese Hypergeometrische Verteilung gefunden und dort steht das so drin:$ h(k|N;M;n):= P(X = k) = [mm] \frac{\displaystyle{M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle{N \choose n}}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Walde |
Ich schreib mal hier als Antwort auf deine Mitteilung hin.
Was du in der Wiki gefunden hast (Sollte das nicht auch in eurer Vorlesung stehen?) ist richtig und so hast du es ja auch angewendet, nur nichts erklärendes dazu aufgeschrieben. Die formalen Fehler, die ich angesprochen habe,wenn du die Aufageb so abgeben wolltest, beziehen sich vor allem auf die Schreibweise (als Beispiel)
"P(m=5)"
Wie ich ja in der Mitteilung schon geschrieben habe, macht das keinen Sinn:
1. weil du m nicht definiert hast.
2. weil m gar keine Zufallsvariable ist, jedenfalls nicht, so wie wir es die ganze Zeit im Thread benutzt haben und es auch in der Aufgabenstellung steht.
Bevor man P(X=k) schreibt, muss man definieren, was X sein soll. Also zum Beispiel:
Für den Fall, dass m mal aus der Urne ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen wird, definiere die Zufallsvariable X:" Anzahl der gezogenen weissen Kugeln"
Jetzt hat zB die Schreibweise "X=3" eine Bedeutung, sie beschreibt das Ereignis: " Die Zufallsvariable X nimmt den Wert 3 an", oder anders gesagt "es wurden 3 weisse Kugeln gezogen". Und "P(X=3)" ist demzufolge "die W'keit, dass 3 weisse Kugeln gezogen wurden."
Weiterhin ist wichtig, das man angibt, wie X verteilt ist, damit man seine angegebene Wahrscheinlichkeit rechtfertigen kann (den Lösungsweg nachvollziehbar aufschreiben und so.) zB.
X ist hypergeometrisch verteilt (folgt aus "Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge) mit Parametern
m: Anzahl der Ziehungen
4: Anzahl der weissen Kugeln
Auch ruhig in Worten hinschreiben was man sich da gedacht hat, zB.
Peter gewinnt genau dann, wenn die Hälfte oder mehr der gezogenen Kugeln weiss ist. Es ist also das Ereignis "Peter gewinnt" = [mm] \{X\ge \bruch{m}{2}\}
[/mm]
Falls m ungerade ist, wird aufgerundet, zB bei m=5 ist [mm] \{X\ge 2,5\}=\{X\ge 3\}, [/mm] denn X kann ja nur ganzzahlig sein.
Ich mache es gerade absichtlich ausführlich,man könnte es wohl auch etwas weniger aussführlich machen
Für m=5 schreibt man dann, zB.
Fall m=5:
[mm] P(X\ge 3)=\summe_{k=3}^{5}P(X=k)=\cdots [/mm] (Rest so wie du)
Dann nicht vergessen noch die Antwort hinzuschreiben, welches m am Günstigsten für ihn ist.
LG walde
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Di 25.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Die Änderung meiner Grundmenge die du da gemacht hast,
> leuchtet mir ein.
>
> Du meinst wohl die Hypergeometrische-Verteilung?
>
> [mm]P(m=2) = \frac{\pmat{ 4 \\
2 }\cdot \pmat{ 9-4 \\
2-2 }}{\pmat{ 9 \\
2 }} = ...=\frac16[/mm]
>
Hallo Bandchef,
lass doch mal die gekünstelte Theoretisiererei.
Die Aufgabe ist Niveau Klasse 8 und lässt sich mit Mitteln der Klasse 8 (Baumdiagramm/Pfadregeln) bequem lösen.
Zunächst empfehle ich ein Umformulierung der Spielregel:
Peter verliert, wenn weniger weiße als schwarze gezogen werden.
Für m=1 bedeutet das: Peter verliert beim Ziehen einer schwarzen Kugel (also mit 5/9).
m=2:
Peter gewinnt bei ww, sw, ws, und Peter verliert bei ss (Wahrscheinlichkeit für ss ist (5/9)*(4/8).
m=3:
Peter gewinnt bei www, wws, wsw, sww; und Peter verliert bei
ssw, sws, wss, www.
Mache ein Baumdiagramm und berechne die Verlustwahrscheinlichkeit.
m=4:
Peter verliert bei sssw, ssws, swss, wsss (diese 4 Fälle haben übrigens jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit) und bei ssss (dieser Fall hat die Wahrscheinlichkeit (5/9)*(4/8)*(3/7)*(2/6).
Gruß Abakus
> Laut meiner Lösung soll aber für m=2 [mm]\frac{13}{18}[/mm]
> rauskommen.
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