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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Do 25.08.2011 | | Autor: | Brice.C |
| Aufgabe | Eine 6-prozentige Ratenanleihe wird mit einem Agio von 2,5 % emittiert. Die Rückzahlung erfolgt nach einem tilgungsfreien Jahr in 4 gleichen Jahresraten.
a) Welche durchschnittliche Rendite ist zu erwarten?
b) Berechnen Sie die Höchstrendite. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Allerseits!
Wäre nett wen sich jemand meine Berechnungen ansehen könnte 
Nun mein erstes Problem bei dieser Aufgabe liegt schon mal dabei den Kurs dieser Anleihe herauszufinden.
Agio bedeutet ja das es einen Zuschlag auf dem Parikurs gibt. Aber ich bin trotzdem nicht sicher ob man mit 2.5% oder mit 102.5% rechnen soll.
Habe mich dann entschieden mit 102.5% zu rechnen.
Ablauf:
1. Näherungswert der Effektivverzinsung p_eff(s) =effektiver Schätzwert
2. Kurs einer Raten schuld [mm] C_0 [/mm] (Näherungskurs)
3. Interpolation
4. durchschnittliche Rendite
5. Rückrechnung auf den Kurs
Nun bei a)
Gegeben: P_nom= 6%, [mm] C_0=102.5%, [/mm] tilgungdfreie Jahre k=1, Tilgungsjahre n=4
1.)
p_eff(s)= [mm] \frac{6*100}{102.5}+\frac{100-102.5}{4}= [/mm] 5.23%
p_eff= 100*i_eff = i_eff= [mm] \frac{p_eff}{100} [/mm] = 0.0523
i_eff= q_eff-1 = i_eff+1 = q_eff = 1.0523
[mm] 2.)C_0 [/mm] = [mm] 6*\frac{1.0523^1-1}{0.0523*1.0523^1}+\frac{100}{4}*\{\[\frac{1.0523^4-1}{0.0523*1.0523^4}+\frac{6}{5.23}*\left(4- \bruch{1.0523^4-1}{0.0523*1.0523^4} \right)\]\}*\frac{1}{1.0523^1}
[/mm]
[mm] C_0= [/mm] 6* 0.9502993443+25 * [ 3.527087255+ 1.147227533*0.472729127453 ]* 0.9502993443
[mm] C_0= [/mm] 5.701796066 + 25* [ 4.674314788* 0.4729127453 ] *0.9502993443
[mm] C_0= [/mm] 5.701796066 + 25* [ 2.210543039 ] *0.9502993443
= 58.218736
3.) Interpolation
[mm] \frac{\left| 100-102.5 \right|}{\left| 100-58.22\right|}+ \frac{\left| x \right|}{\left| 6-5.23\right|}
[/mm]
=> [mm] \frac{2.5}{41.78}=\frac{\left| x \right|}{\left| 0.77\right|}
[/mm]
=> x= [mm] \frac{2.5*0.77}{41.78}
[/mm]
=> x=0.04607
4.) durchschnittliche Rendite
Da Agio, muss es abgezählt werden: 6%- 0.04607 = 5.95%
5.) Rückrechnung auf den Kurs zur Kontrolle
[mm] C_0= 6*\frac{1.0595393^4-1}{0.0595393*1.0595393^4}+ [/mm] 100* [mm] \frac{1}{1.0595393^4}
[/mm]
[mm] C_0= [/mm] 20.83 +79.35 = 100.2
So da liegt nun der Fehler, ich sollte ja wieder eine Kurs von 102.5 erhalten.
Was habe ich nun Falsch gemacht? Ist der Rechenweg richtig?
bei b) Tja das kann man wohl nur berechnen wenn man das a) auch hat... :-(
Wäre sehr froh wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
vg Brice.C
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Fr 26.08.2011 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
ich habe hier einige Verständnisprobleme. Was ist mit der durchschnittlichen Rendite gemeint? Um eine solche zu ermitteln, würde man - soweit mir bekannt ist - die Werte/Kurse einer Anleihe verschiedener Jahre vergleichen; dazu fehlen aber die notwendigen Angaben etwa zum aktuellen Zinsniveau. Auch zur einer Höchstrendite weiß ich nicht, welche Berechnung erwartet wird - außer der lapidaren Aussage, daß die Rendite umso mehr steigt je niedriger der Kurs ist. Berechnen kann ich mit den angegebenen Daten die aktuelle Rendite und komme auf 5,19% p.a., wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Es ist richtig, den aktuellen Kurs inkl. Agio mit 102,5% anzusetzen.
Zu der verwendeten Näherungsformel kann ich wenig sagen, weil ich die abgezinsten Zahlungen aus der Anleihe addieren und dem Kurs von 102,5 gleichsetzen würde. Die Unbekannte in dieser Gleichung ist der Zins, der mit einem üblichen Iterationsverfahren zu ermitteln ist. Zu beachten sind auf jeden Fall - und das scheint in den Näherungsrechnugnen zu fehlen - zwei Punkte: die Anleihe hat eine Laufzeit von 5 - nicht 4 - Jahren und sie wird ab dem 2. Jahr jedes Jahr mit 25% getilgt; d.h. die Zinserträge sind nicht konstant, sondern berechnen sich nach dem jeweils aktuellen Restkapital.
Der Zahlungsstrom sieht damit bei einem Nennwert von 100 so aus:
Ende Jahr 1: Zahlung von 6 (Zinsen)
Ende Jahr 2: Zahlung von 6 (zinsen) + 25 (Rückzahlung) =31
Ende Jahr 3: Zahlung von 4,5 (Zinsen) + 25 (Rückzahlung) = 29,5
Ende Jahr 4: Zahlung von 3 (Zinsen) + 25 (Rückzahlung) = 28
Ende Jahr 5: Zahlung von 1,5 (Zinsen) +25 (Rückzahlung) = 26,5
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 26.08.2011 | | Autor: | Brice.C |
> Hallo,
>
> ich habe hier einige Verständnisprobleme. Was ist mit der
> durchschnittlichen Rendite gemeint?
Man kann es auch als durchschnittliche Effektivverzinsung bezeichnen.
>Berechnen kann ich mit den angegebenen Daten die
> aktuelle Rendite und komme auf 5,19% p.a., wenn ich mich
> nicht verrechnet habe.
Ok, mit was für einer Formel hast du gerechnet?
> Es ist richtig, den aktuellen Kurs inkl. Agio mit 102,5%
> anzusetzen.
>
> Zu der verwendeten Näherungsformel kann ich wenig sagen,
> weil ich die abgezinsten Zahlungen aus der Anleihe addieren
> und dem Kurs von 102,5 gleichsetzen würde. Die Unbekannte
> in dieser Gleichung ist der Zins, der mit einem üblichen
> Iterationsverfahren zu ermitteln ist. Zu beachten sind auf
> jeden Fall - und das scheint in den Näherungsrechnugnen zu
> fehlen - zwei Punkte: die Anleihe hat eine Laufzeit von 5 -
> nicht 4 - Jahren und sie wird ab dem 2. Jahr jedes Jahr mit
> 25% getilgt; d.h. die Zinserträge sind nicht konstant,
> sondern berechnen sich nach dem jeweils aktuellen
> Restkapital.
>
> Der Zahlungsstrom sieht damit bei einem Nennwert von 100 so
> aus:
>
> Ende Jahr 1: Zahlung von 6 (Zinsen)
> Ende Jahr 2: Zahlung von 6 (zinsen) + 25 (Rückzahlung)
> =31
> Ende Jahr 3: Zahlung von 4,5 (Zinsen) + 25 (Rückzahlung)
> = 29,5
> Ende Jahr 4: Zahlung von 3 (Zinsen) + 25 (Rückzahlung) =
> 28
> Ende Jahr 5: Zahlung von 1,5 (Zinsen) +25 (Rückzahlung)
> = 26,5
Das hilft mir wenig, denn ich muss es mit dem oben beschriebenen Weg lösen können :-(
Also mit der Formel wie oben muss es klappen.
Trotzdem Danke für die Anwort 
Gruss Brice.C
>
> Gruß
> Staffan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Fr 26.08.2011 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
leider sagt mir auch der Begriff "durchschnittliche Effektivverzinsung" nichts, da Rendite für mich ein Synonym für Effektivverzinsung ist. Selbst wenn die Formel, die ich verwendet habe, nicht hilft - und ich den Rechenweg auch verbal beschrieben habe, sei sie hier genannt, wobei ich einen Nennwert von 100 zugrunde gelegt habe:
$ 102,5 = [mm] \bruch [/mm] {6}{1 + i} + [mm] \bruch {31}{(1+i)^2} [/mm] + [mm] \bruch {29,5}{(1+i)^3} +\bruch {28}{(1+i)^4} [/mm] + [mm] \bruch {26,5}{(1+i)^5} [/mm] $
Wie ich schon sagte, kenne ich die verwendeten Näherungsrechnungen nicht und kann daher den Ausgangspunkt nicht im einzelnen nachvollziehen. Ich meine allerdings, daß bei 1. wegen der Laufzeit der 2. Nenner 5 und nicht 4 heißen muß. Ferner ist in der 3. Zeile von 2. in der Klammer die Folge Punkt- geht vor Strichrechnung nicht beachtet. Wenn ich das berücksichtige, komme ich im Ergebnis sogar auf die von mir genannten 5,19%.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 28.08.2011 | | Autor: | Brice.C |
Hallo Staffan,
Danke für deine Erklärungen, aber der oben beschriebene Weg und die Formeln sind richtig, so beschreibt es auch mein Skript.
Ich denke aber etwas falsch bei der Berechnung zu machen, denn ich habe diese Rechnung schon etwa 2 mal gerechnet und erhalte
immer andere Lösungen....für p=5.535 erhalte ich einen Kurs von 78.8 und für ein p=5.4% einen Kurs von 102.28 und jedesmal bei der Rückrechnung
gibt es nicht die gewünschten 102.5, liegt es am Runden? oder habe ich schon fehler beim p_eff gemacht... Ich weiss auch nicht weiter und diese Aufgabe hängt mir langsam zum hals raus :-(
Vielleicht kann jemand anderes weiterhelfen
vg Brice.C
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 So 28.08.2011 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
einmal möchte ich mich noch äußern.
Nach längerem Suchen habe ich die hier verwendeten ersten beiden Formeln gefunden; die erste hatte ich in alten Unterlagen, die zweite bei Capriano/Wimmer Finanzmathematik. Damit habe ich die Aufgabe gerechnet:
in der ersten Formel muß m.E. die gesamte Laufzeit von 5 Jahren angesetzt werden, so daß es heißen muß:
$ [mm] p_e=\bruch{6*100}{102,5} [/mm] + [mm] \bruch{100-102,5}{5} [/mm] $
Bei der Berechnung mit der 2. Formel ist - wie ich bereits gesagt habe - eine Rechenregel nicht beachtet worden, und zwar bei der Darstellung in der ersten Frage von diesem Schritt
$ [mm] C_0= [/mm] $ 6* 0.9502993443+25 * [ 3.527087255+ 1.147227533*0.472729127453 ]* 0.9502993443
zum nächsten;
die 1,1477... sind nämlich erst mit 0,4727.. zu multiplizieren und dann mit 3,5270... zu addieren, was nachfolgend nicht geschehen ist.
$ [mm] C_0= [/mm] $ 5.701796066 + 25* [ 4.674314788* 0.4729127453 ] *0.9502993443
Mit den richtigen Zahlen ergibt sich ein Zinssatz von 5,19%.
Allerdings ergibt die Kontrollrechnung nicht 102,5 sondern 102,8..... Das verwundert auch nicht, weil die Formel eine vierjährige Anleihe zugrundelegt, bei der während der Laufzeit nur Zinsen und erst am Ende das gesamte Kapital gezahlt werden; hier liegt jedoch eine Ratenanleihe vor. Wie die Zahlungen bei dieser abzuzinsen sind, hatte ich bereits gezeigt. Setzt man dort 5,19% als Rendite ein, kommt als Ergebnis 102,5 heraus.
Wenn das Script zur Kontrollrechnung mit dieser Formel bei Ratenanleihen etwas anderes sagt, kann ich das nicht nachvollziehen. Aber vielleicht kann das dann jemand anderes erklären.
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mo 29.08.2011 | | Autor: | Brice.C |
Hallo Staffan,
Danke für deine Mühen!
> Hallo,
>
>
> einmal möchte ich mich noch äußern.
>
> Nach längerem Suchen habe ich die hier verwendeten ersten
> beiden Formeln gefunden; die erste hatte ich in alten
> Unterlagen, die zweite bei Capriano/Wimmer
> Finanzmathematik. Damit habe ich die Aufgabe gerechnet:
>
> in der ersten Formel muß m.E. die gesamte Laufzeit von 5
> Jahren angesetzt werden, so daß es heißen muß:
>
> [mm]p_e=\bruch{6*100}{102,5} + \bruch{100-102,5}{5}[/mm]
Ja diese Formel ist richtig, die habe ich auch angewandt mit den exakt gleichen zahlen
und mein ti83 gibt mir p_eff von 5.35365858537%
> Bei der Berechnung mit der 2. Formel ist - wie ich bereits
> gesagt habe - eine Rechenregel nicht beachtet worden, und
> zwar bei der Darstellung in der ersten Frage von diesem
> Schritt
>
> [mm]C_0=[/mm] 6* 0.9502993443+25 * [ 3.527087255+
> 1.147227533*0.472729127453 ]* 0.9502993443
>
> zum nächsten;
>
> die 1,1477... sind nämlich erst mit 0,4727.. zu
> multiplizieren und dann mit 3,5270... zu addieren, was
> nachfolgend nicht geschehen ist.
>
> [mm]C_0=[/mm] 5.701796066 + 25* [ 4.674314788* 0.4729127453 ]
> *0.9502993443
>
> Mit den richtigen Zahlen ergibt sich ein Zinssatz von
> 5,19%.
>
> Allerdings ergibt die Kontrollrechnung nicht 102,5 sondern
> 102,8..... Das verwundert auch nicht, weil die Formel eine
> vierjährige Anleihe zugrundelegt, bei der während der
> Laufzeit nur Zinsen und erst am Ende das gesamte Kapital
> gezahlt werden; hier liegt jedoch eine Ratenanleihe vor.
> Wie die Zahlungen bei dieser abzuzinsen sind, hatte ich
> bereits gezeigt. Setzt man dort 5,19% als Rendite ein,
> kommt als Ergebnis 102,5 heraus.
>
> Wenn das Script zur Kontrollrechnung mit dieser Formel bei
> Ratenanleihen etwas anderes sagt, kann ich das nicht
> nachvollziehen. Aber vielleicht kann das dann jemand
> anderes erklären.
>
Genau, hoffen wir es....
> Gruß
> Staffan
> Gruss Brice.C
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
noch eine Anmerkung. Bei der in der Fragestellung angegebenen Lösung wird mit der Formel 2 der Kurs der vorliegenden (Raten)anleihe berechnet. Die Kontrollrechnung mit dem gefundenen Zinssatz muß dann auch mit dieser Formel - und nicht mit der am Ende genannten für tilgungsfreie Anleihen erfolgen.
Gruß
Staffan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Brice.C |
Hallo Staffan!
Danke für denn Tipp. Habe es heute Morgen geschafft die Aufgabe korrekt zu lösen. Somit hat sich alles erledigt
Gruss
Brice.Contreras
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