Kurve in der Ebene < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei C die Kurve y=x², die bei x=0, y=0 anfängt und bei x=1, y=1 endet. Bestimmen Sie [mm] \integral_{C}^{}{x(1+4y) ds}, [/mm] wobei ds das Bogenelement ist. |
Hallo an alle,
wie man diese Aufgabe löst weiß ich, allerdings habe ich noch paar Verständnisprobleme bezüglich dem theoretischen Hintergrund.
Also es erfolgt ja eine Integration einer Kurve in einer Ebene. Dazu muss ich die Formel der Bogenlänge [mm] ds=\sqrt{1+(y'(x))^2}dx [/mm] nehmen, folglich also nach x integrieren. Eine Kurve hat ja immer einen Anfangs und Endpunkt und daher muss von 0 bis 1 integriert werden.
Meine Fragen jetzt:
1) Wenn die Kurve schon y=x² heißt, was ist dann der Integrand x(1+4y) ??? Was hat der für eine Bedeutung?
2) Was ist das Bogenelement genau geometrisch gesehen?
Danke schon mal 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Do 30.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Zunächst allgemein.
Hat die Kurve C die Parameterdarstellung c:[a,b] [mm] \to \IR^2 [/mm] und ist f :c([a,b]) [mm] \to \IR, [/mm] so ist definiert:
$ [mm] \integral_{C}^{}{f(x,y) ds}:=\integral_{a}^{b}{f(c(t)) *||c'(t)||dt}$
[/mm]
Zu Deinem Beispiel:
Bei Dir ist [mm] c(t)=\vektor{t \\ t^2}, [/mm] [a,b]=[0,1] und f(x,y)=x(1+4y).
Nun rechne !
Bogenelement: schau da mal rein:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/files/page/kurvenint.pdf
Seite 154
FRED
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Kann ich es mir etwa so vorstellen, dass die Belegfunktion f quasi dazu da ist, damit die Kurve mit Hilfe von dieser Funktion überhaupt integriert werden kann?
Das Bogenelement mit der Bogenlänge benötigt man dann um die Länge der Kurve zu bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Kann ich es mir etwa so vorstellen, dass die Belegfunktion
was ist denn eine Belegfunktion?
> f quasi dazu da ist, damit die Kurve mit Hilfe von dieser
> Funktion überhaupt integriert werden kann?
Nein, Du könntest ein Integral auf ohne f, bzw. mit f=1 berechnen.
>
> Das Bogenelement mit der Bogenlänge benötigt man dann um
> die Länge der Kurve zu bestimmen?
Ja, die Länge der Kurve berechnest Du mit f=1.
Gruß,
notinX
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