Kurve in der komplexen Zahlebe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | a) Welche Kurve in der komplexen Zahlenebene wird durch die Gleichung
|z + 1 − i| = 2
dargestellt?
b) Substituieren Sie z in der obigen Kurvengleichung durch die neue Variable
w =1 / (z + i + 1)
Welche (neue) Kurve ergibt sich durch diese Abbildung in der komplexen Zahleneben? |
| Aufgabe 2 | Berechnen und zeichnen Sie:
a) [mm] \wurzel{-i}
[/mm]
b) [mm] \wurzel{1+i}
[/mm]
c) [mm] \wurzel[3]{i} [/mm] |
Hallo,
lernen gerade die komplexe Zahlen und die Augaben haben wenig mit der der Vorlesung zu tun. Habe im Netz recherchiert, finde aber nirgendwo Tipps wie man damit überhaupt umgehen soll, Formeln, etc. die einen Anfang ermöglichen. Wäre für jede Hilfe sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Die Aufgabe 1a) kann man durch Nachdenken lösen. Wenn du bei 1b) keine Voraussetzungen mitbringst, wird das wohl eine üble Rechnerei werden. Aber habt ihr wirklich nichts davon durchgenommen? Sagen dir die Begriffe "allgemeine Kreis- und Geradengleichung", "Möbius-Transformation", "Kreistreue" nichts? Oder eher geometrisch: "Kreis des Apollonios"?
Zu 1a: Komplexe Zahlen kann man als Punkte oder Vektoren in der Gaußschen Zahlenebene auffassen. Und der komplexe Betrag berechnet in diesem Sinn die Länge eines Vektors (einer Strecke). Wenn also [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] komplexe Zahlen sind, so kannst du [mm]b-a[/mm] mit einem Vektor identifizieren, der von der Zahl (dem Punkt) [mm]a[/mm] zur Zahl (dem Punkt) [mm]b[/mm] zeigt. Und [mm]\left| b-a \right|[/mm] ist die Länge dieses Vektors und somit zugleich die Länge der Strecke von [mm]a[/mm] nach [mm]b[/mm]. Anders gesagt: [mm]\left| b-a \right|[/mm] oder gleichwertig [mm]\left| a-b \right|[/mm] gibt den Abstand der Punkte [mm]a,b[/mm] an:
[mm]\left| a-b \right| = \text{Abstand von} \ a \ \text{und} \ b[/mm]
Für [mm]a[/mm] nimmst du jetzt eine Variable [mm]z[/mm] und setzt weiter [mm]b = -1 + \operatorname{i}[/mm] (das ist eine feste komplexe Zahl und damit ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene). Dann bekommst du den Term auf der linken Seite deiner Gleichung:
[mm]\left| z - \left( -1 + \operatorname{i} \right) \right| = 2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z + 1 - \operatorname{i} \right| = 2[/mm]
Jetzt übersetze die erste Gleichung gemäß der obigen Abstandsformel in einen Text:
Gesucht sind alle Zahlen/Punkte [mm]z[/mm], deren Abstand ...
|
|
|
| |
|
| Aufgabe 1 | a) Welche Kurve in der komplexen Zahlenebene wird durch die Gleichung
|z + 1 − i| = 2
dargestellt?
b) Substituieren Sie z in der obigen Kurvengleichung durch die neue Variable
w =1 / (z + i + 1)
Welche (neue) Kurve ergibt sich durch diese Abbildung in der komplexen Zahleneben? |
| Aufgabe 2 | Berechnen und zeichnen Sie:
a) [mm] \wurzel{-i}
[/mm]
b) [mm] \wurzel{1+i}
[/mm]
c) [mm] \wurzel[3]{i} [/mm] |
</task>
Hallo Leopold, danke für die schnelle Antwort!
Zu 1a):
"Gesucht sind alle Zahlen/Punkte z , deren Abstand ... " vom Mittelpunkt 2 beträgt? Wenn ja, dann die Lösung ist ein Kreis mit Mittelpunkt M=-1+i und Radius r=2. Richtig?
Zu 1b)
Einsetzen von w =1 / (z + i + 1) für z bei 1a) :
|1 / (z + i + 1) -(-1-i)|=2
Hier gibt es also keinen Kreis? Ich weiß nicht ob jetzt meine Gedanken stimmen
Fall1:
1 / (z + i + 1) -(-1-i) = 2
z-z*i=1
z(1-i)=1
wie sieht diese Kurve aus?
und Fall 2:
1 / (z + i + 1) -(-1-i) = -2
z-z*i=-3
z(1-i)=-3
|
|
|
| |
|
Du hast leider meine Frage über deine Vorkenntnisse nicht beantwortet. Mit Wissen über Möbiustransformationen läßt sich die Aufgabe relativ schnell erledigen. Zumindest solltest du wissen, wie sich Kreise bei Translationen und der Kehrwertabbildung verhalten. Ansonsten muß man wohl rechnen.
Was sollen wir also tun?
|
|
|
| |
|
Hallo,
Möbiustransformation haben wir leider nicht gehabt. Also muss ich wohl rechnen.. Könntest Du mir verraten wie oder zumindest der Anfang?
Aufgabe 2 ist sehr easy, hab sie schon gelöst. Also bleibt nur die 1b die mich quält..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 21.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Vielleicht könntst du mir auch die Möbius-transf. Lösung zeigen. Denke, wenn ich mich ins neue Thema einarbeite habe ich mehr davon :) Bin auch neugierig geworden :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 21.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
