Kurven in der Phasenebene < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Do 08.01.2009 | | Autor: | ivsam |
| Aufgabe | Wir betrachten die Differentialgleichung u''(x) = u(x) (4 - 6u(x)).
Aufgabe:
Berechnen Sie eine Kurve in der Phasenebene, auf der die Lösung zum Anfangswert u(0) = 1, u'(0) = 0 liegt. |
Meine Frage:
Ich müsste doch bei dieser Aufgabe damit beginnen, die DGL 2. Ordnung als System zu betrachten, oder? Weiß allerdings nicht, wie man da anfangen muss.
Weiterhin weiß ich nicht genau, wie ich so eine Phasenebene oder die Kurve in diesem Fall zeichnen kann. Womit beginnt man bei so einer Zeichnung am besten?
Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp dazu geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wir betrachten die Differentialgleichung
u''(x) = u(x) (4 - 6u(x))
> Aufgabe:
> Berechnen Sie eine Kurve in der Phasenebene, auf der die
> Lösung zum Anfangswert u(0) = 1, u'(0) = 0 liegt.
> Meine Frage:
> Ich müsste doch bei dieser Aufgabe damit beginnen, die DGL
> 2. Ordnung als System zu betrachten, oder? Weiß allerdings
> nicht, wie man da anfangen muss.
Nur zur Umwandlung in ein System von DGL erster Ordnung:
Nimm als zweite zu suchende Funktion v(x):=u'(x)
Damit hast du das DGL-System:
(1) $\ u'(x)=v(x)$
(2) $\ [mm] v'(x)=4*u(x)-6*(u(x))^2$
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 08.01.2009 | | Autor: | ivsam |
| Aufgabe | Nimm als zweite zu suchende Funktion v(x):=u'(x)
Damit hast du das DGL-System:
(1) $ \ u'(x)=v(x) $
(2) $ \ [mm] v'(x)=4\cdot{}u(x)-6\cdot{}(u(x))^2 [/mm] $
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Danke!
Habe jetzt mal probiert weiterzumachen, aber ich hab wohl noch nicht die richtige Strategie.
Ich habe jetzt folgendes System gelöst:
$ {u'(x) [mm] \choose [/mm] V'(x)}={v(x) [mm] \choose 4u(x)-6(u(x))^2}$ [/mm]
Das habe ich wie folgt gemacht:
Es gilt:
$ v(x)=0 $ und $ [mm] 4u-6u^2=0 [/mm] $
Daraus folgt dann
v=0 und u = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]
Laut meinem Buch müssten die Lösungen nun die Parameterdarstellungen der Lösungskurven sein, ist das richtig, oder habe ich was falsch verstanden?
Zusätzlich ist doch der Punkt (0,0) eine Ruhepunkt des Systems oder?
Oder muss ich die Lösung der Gleichung
$ [mm] 4u(x)-6(u(x))^2 [/mm] du - v(x) dv = 0 $
berechnen? Das wäre ja dann
u = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ?
Aber dann habe ich noch nicht die Anfangswerte einbezogen.
Bin ich also auf der falschen Fährte?
Wäre für einen weiteren Tipp sehr dankbar!
Viele Grüße
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Hallo ivsam,
> Nimm als zweite zu suchende Funktion v(x):=u'(x)
> Damit hast du das DGL-System:
>
> (1) [mm]\ u'(x)=v(x)[/mm]
>
> (2) [mm]\ v'(x)=4\cdot{}u(x)-6\cdot{}(u(x))^2[/mm]
>
> Danke!
> Habe jetzt mal probiert weiterzumachen, aber ich hab wohl
> noch nicht die richtige Strategie.
>
> Ich habe jetzt folgendes System gelöst:
> [mm]{u'(x) \choose V'(x)}={v(x) \choose 4u(x)-6(u(x))^2}[/mm]
>
> Das habe ich wie folgt gemacht:
> Es gilt:
> [mm]v(x)=0[/mm] und [mm]4u-6u^2=0[/mm]
> Daraus folgt dann
> v=0 und u = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Laut meinem Buch müssten die Lösungen nun die
> Parameterdarstellungen der Lösungskurven sein, ist das
> richtig, oder habe ich was falsch verstanden?
>
> Zusätzlich ist doch der Punkt (0,0) eine Ruhepunkt des
> Systems oder?
>
> Oder muss ich die Lösung der Gleichung
> [mm]4u(x)-6(u(x))^2 du - v(x) dv = 0[/mm]
> berechnen? Das wäre ja
> dann
> u = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] ?
Nein, das ist auch nicht Sinn des Isoklinenverfahrens.
>
> Aber dann habe ich noch nicht die Anfangswerte einbezogen.
> Bin ich also auf der falschen Fährte?
>
> Wäre für einen weiteren Tipp sehr dankbar!
Isoklinen sind ja Punkte mit gleicher Richtung.
Hier also [mm]\pmat{u'\left(x\right) \\ v'\left(x\right)}[/mm]=konstant
Um die Richtung zu bestimmen, werden die Anfangsbedingungen verwendet.
>
> Viele Grüße
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 09.01.2009 | | Autor: | ivsam |
Hallo!
Also ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, was ich dann jetzt genau machen muss. Wie muss ich denn die Anfangsbedingungen einsetzen?
Gruß
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Hallo ivsam,
> Hallo!
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> Also ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, was ich dann
> jetzt genau machen muss. Wie muss ich denn die
> Anfangsbedingungen einsetzen?
Wir haben folgendes DGL-System:
[mm] {u'(x) \choose v'(x)}={v(x) \choose 4u(x)-6(u(x))^2} [/mm]
und die Anfangsbedingungen
[mm]u\left(0\right)=1[/mm]
[mm]u'\left(0\right)=0[/mm]
Nun, um auf die konstante Richtung zu kommen, setzen wir das in die DGL ein:
[mm]u'\left(0\right)=v\left(0\right)[/mm]
[mm]v'\left(0\right)=4*u\left(0)-6*u^{2}\left(0\right)[/mm]
Damit ist die Richtung festgelegt
Dann haben wir also
[mm]\pmat{u' \\ v'}=\pmat{u'\left(0) \\ v'\left(0\right)}=\pmat{v \\ 4u-6u^{2}}[/mm]
Aus der Gleichung
[mm]\pmat{u'\left(0) \\ v'\left(0\right)}=\pmat{v \\ 4u-6u^{2}}[/mm]
bekommst Du, durch auflösen nach u bzw. v, die Kurven in der Phasenebene.
Gruß
MathePower
>
> Gruß
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