Kurvendisk. und Rotationsvol. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 22.01.2008 | | Autor: | eva_sp |
| Aufgabe | f(x)=[mm] \sqrt{x³-5x²} [/mm]
vollständige Kurvendiskussion und Rotationsvolumen [5;7] um x-Achse |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin am Verzweifeln. Unser Lehrer hat uns diese Aufgabe aufgegeben. Die Kurvendiskussion habe ich soweit fertig, konnte weder Punkte mit horiz. noch mit vert. Tangente finden. Was mich verwunder hat, als ich meine Diskussion vergleichen wollte mit dem Programm Graph, habe ich gesehen, dass beim Ursprung (0/0) garkein Schnittpunkt ist entgegen meines Ergebnisses. Vielleicht kann mir das jemand erklären. Als Wertemenge habe ich [0;oo]
Jetzt kommt aber das Schwierigste: Um das Rotationsvolumen zu berechnen, muss diese Funktion noch integriert werden, aber wie??? Durch Substitution wohl eher nicht, kann die "x" ja nicht kürzen. Kann mir bitte jemand helfen??
Gruß Eva
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Di 22.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eva,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Um Deine Ergebnisse für die Kurvendiskussion zu überprüfen, musst Du uns schon etwas mehr Zwischenergebnisse / Zwischenschritte posten.
Jednfalls erhalte ich zwei Nullstellen sowie auch zwei Stellen mit horzontaler Tangente.
Für das Rotataionsvolumen musst Du ja bedenken, dass gemäß Formel für das Rotationsvolumen um die x-Achse [mm] $V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral{[f(x)]^2 \ dx}$ [/mm] die entsprechende Funktion erst quadriert wird.
Das vereinfacht hier doch die Aufgabe gewaltig, da dadurch in dem Integral die Wurzel entfällt:
[mm] $$V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_5^7{[f(x)]^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_5^7{\left( \ \wurzel{x^3-5x^2} \ \right)^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_5^7{x^3-5x^2 \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Di 22.01.2008 | | Autor: | eva_sp |
Oh stimmt, das hab ich mal wieder überlesen ;) Danke für den Hinweis!!
Also die 1. und 2. Ableitung haben wir gemeinsam in der Schule mit dem Lehrer gemacht (wir sind zwar ein Mathe LK, aber seit dem Lehrerwechsel alle etwas abgerutscht, deswegen wird das ein oder andere auch in der Schule gemacht).
Definitionsmenge bei f(x): {0} u [5;oo]
für die 1. und 2. Ableitung: ]5;oo[
limes gegen oo geht gegen oo (sorry aber ich kenn mich mit den math. zeichen hier im forum net so aus)
Schnittpunkte mit den Achsen habe ich rechnerisch: (0/0), (5/0)
Polstellen auch bei (0/0), (5/0)
geht das überhaupt, dass die Schnittpunkte und Polstellen die gleichen sind?
dann wollte ich die Punkte mit horiz. Tangente errechnen, da bekomm ich einmal x=0, und einmal x=10/3, wenn ich die beiden in die 2. Abl. setze erhalte ich einmal 0, einmal unmöglich, also dachte ich es gibt keine Pkt. mit horiz. Tangente.
Bei vertikale Tangente erhalte ich (0/0)
die Wertemenge wie oben schon gesagt.
Habe jetzt versucht das Rotationsvolumen zu errechnen und komme auf 8.878,14 (da ist mir mit Sicherheit auch ein Fehler unterlaufen)
Freue mich über weitere Hilfe!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Di 22.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
In (0,0) kann man nicht vom Graph einer fkt reden, das ist ja nur ein einzelner pkt. da gibts sowas wie Tangente pol, Schnittstelle nicht. Eben nur den einen einsamen Punkt ![[cry01]](/images/smileys/cry01.gif "[cry01]") .
was dir noch fehlt ist der Extremwert also f'=0
bei (5,0) ist die fkt noch definiert, die Ableitung nicht, aber für x gegen 5 wird die Ableitung riesig, also kein Pol, sondern eine senkrechte Tangente.
Ableitung wieder existiert nut für x>5, genau wie die fkt. wenn dann irgendwo, wo die fkt und die Ableitung gar nicht existieren der Zähler der Ableitung 0 wird ist ja f' nicht 0 sondern einfach nicht existent.
Zahlen nachzurechnen hab ich keine Lust.aber mehr als 8000 ist zu viel
an der unteren Grenze muss 0 rauskommen.Also nachrechnen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Di 22.01.2008 | | Autor: | eva_sp |
hmm.. danke für eure antworten.. dann soll uns der lehrer das nochma genau erklären.. vielleicht kriegt ers ja irgendwann mal hin, dass wir's verstehen.. aber danke euch allen!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Di 22.01.2008 | | Autor: | eva_sp |
danke tyskie!! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:41 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
das Rotationsvolumen ist 253,422 .
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Mi 23.01.2008 | | Autor: | eva_sp |
Danke Martinius, das Ergebnis hab ich nach nochmaliger Überprüfung auch erhalten :)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 23.01.2008 | | Autor: | eva_sp |
[mm] \integral_{5}^{7}{ \wurzel{x-5} dx} [/mm] = [mm] \integral_{5}^{7}{|x| (x-5)^{1/2} dx}
[/mm]
So, die gleiche Aufgabe, nun aber Fläche, nicht Rotationsvolumen. Habe begonnen mit partieller Integration.
u(x)= |x| -> u'(x)=1 (weil [5;7], also nur positive Zahlen)
[mm] v'(x)=(x-5)^{1/2} [/mm] -> [mm] v(x)=\bruch{2}{3}(x-5)^{3/2}(\bruch{1}{2}x^2-5x)=(\bruch{1}{3}x^2-\bruch{10}{3}x)(x-5)^{3/2}
[/mm]
Ist v(x) richtig? Ich bekomme diese nie die Stammfunktionen hin. Wenn v(x) falsch ist, brauch ich ja garnicht weiter zu rechnen. Wenn ein Fehler drin ist, bitte helfen!!! :)
LG Eva
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Hallo!
[mm] v'(x)=\wurzel{x-5} \Rightarrow v(x)=\bruch{2}{3}(x-5)^{\bruch{3}{2}} [/mm]
Die Frage die sich mir jetzt stellt ist wenn du v'(x) integrieren kannst auch wenn du dich da ein bisschen verrechnet hast warum du das Integral partiell lösen willst. Benutze die Inegration durch Substitution. Zur Kontrolle: es sollte 1,89 FE heraus kommen 
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mi 23.01.2008 | | Autor: | eva_sp |
Hi Tyskie,
danke für die Hilfe. Unser Lehrer sagte, wir sollen part. Integr. benutzen.. Ich komme auf 11,69FE. Was hab ich denn jetzt schon wieder falsch gemacht?? Ich verzweifel grad echt noch.
also meine Rechnung:
[mm] \integral_{5}^{7}{|x|(x-5)^{1/2} dx}= [|x|\bruch{2}{3}(x-5)^{3/2}]-\bruch{2}{3}\integral_{5}^{7}{(x-5)^{3/2}dx}
[/mm]
so das zweite Integral hab ich dann durch Substitution integriert und zwar:
w(x)=x-5 -> w'(x)=1 dx=dw
also:
[mm] \integral_{5}^{7}{w^{3/2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{5}w^{5/2}
[/mm]
vorhin hab ich ja die [mm] \bruch{2}{3} [/mm] vorgezogen, also lautet das 2. integral nach substitution: [mm] \bruch{4}{15}(x-5)^{5/2}
[/mm]
hab ich mich da schon wieder verrechnet??
LG
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Hallo!
Wenn du hast [mm] \integral_{5}^{7}{|x|(x-5)^{\bruch{1}{2}}dx} [/mm] integriest bekommt man als Fläche 11,69 heraus also ist es richtig Aber wie kommst du auf diese Umformung [mm] \integral_{5}^{7}{|x|(x-5)^{\bruch{1}{2}}dx}=\integral_{5}^{7}{(x-5)^{\bruch{1}{2}}dx}? [/mm] Da kommen verschiedene Flächeninhalte heraus:
Schau: [Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 23.01.2008 | | Autor: | eva_sp |
Hi Tyskie,
also wenn ich integriere bekomme ich doch [mm] \integral_{a}^{b}{u v' dx}=[uv]-\integral_{a}^{b}{u' v dx}
[/mm]
und wenn ich den term [mm] \integral_{a}^{b}{u' v dx} [/mm] durch substitution integriere bekomme ich für vorhin genannte funktion: [mm] [\bruch{4}{15}(x-5)^{5/2}]
[/mm]
also endergebnis:
[mm] \integral_{5}^{7}{|x| (x-5)^{1/2} dx} [/mm] = [|x| [mm] \bruch{2}{3}(x-5)^{3/2}]-[\bruch{4}{15}(x-5)^{5/2}] [/mm]
wenn ich die untere grenze einsetze erhalte ich jeweils "0", also nur die 7 eingesetzt: [13,2]-[1,51] = 11,69
also das ergebnis stimmt jetzt?? :)
LG
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Hallo!
Ja dein Ergebnis ist vollkommen korrekt aber deine Umformung das ich dir vorher geschrieben habe nicht. beide integrale liefern untersschiedliche werte für die fläche
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 23.01.2008 | | Autor: | eva_sp |
hmm.. na gut wenigstens stimmt das ergebnis jetzt :) vielen vielen dank nochmal!!!
LG
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