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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Jan41 |
| Aufgabe | Die folgende Funktion ist zu diskutieren:
[mm] \sin(1/x) [/mm] |
Hallo,
ich habe die unten folgende Punkte zu klären. Einige Lösungsansätze habe ich bereits formuliert, einen kurzen Kommentar ob gut/richtig wäre ich nicht abgeneigt.
Also dann...
1. Symetrieeigenschaften:
Ansatz: Keine Symetrie vorhanden, X-Achse stellt Asymptote dar, [mm] \sin(1/x) [/mm] strebt jeweils gegen + [mm] \infty [/mm] für x>0 und gegen - [mm] \infinity [/mm] für x<0.
Ist der Ansatz korrekt?
2. Bestimmung der Nullstellen:
Hiermit habe ich leider so meine Schwierigkeiten, meine Überlegungen sind:
Zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der y-Achse würde ich prinzipiell x=0 setzen. Das funktioniert hier natürlich nicht, da Nulldivision...
Zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse würde ich y=0 setzten, was mich aber auch nicht wahnsinnig weiter bringt.
Für Hilfe wäre ich hier sehr dankbar
3. Unstetigkeitsstellen:
Definitionslücke bei x=0
4. Verhalten für grosse Beträge von X:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] x strebt gegen 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (für x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty) [/mm] x strebt gegen 0
5. Differenzierbarkeit:
Die Funktion ist beliebig oft differenzierbar (Kettenregel).
Abbild der Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Sa 21.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jan
> Die folgende Funktion ist zu diskutieren:
> [mm]\sin(1/x)[/mm]
> ich habe die unten folgende Punkte zu klären. Einige
> Lösungsansätze habe ich bereits formuliert, einen kurzen
> Kommentar ob gut/richtig wäre ich nicht abgeneigt.
> 1. Symetrieeigenschaften:
>
> Ansatz: Keine Symetrie vorhanden,
falsch, punktsymmetrisch zu (0,0) da sin(1/x)=-sin(-1/x)
> X-Achse stellt Asymptote
> dar, [mm]\sin(1/x)[/mm] strebt jeweils gegen + [mm]\infty[/mm] für x>0
sin(1/x) strebt gegen 0 für x gegen unendlich, also falsch formuliert!
> gegen - [mm]\infinity[/mm] für x<0.
siehe oben
> Ist der Ansatz korrekt?
falsch aufgeschrieben, Begründung fehlt!
> 2. Bestimmung der Nullstellen:
>
> Hiermit habe ich leider so meine Schwierigkeiten, meine
> Überlegungen sind:
>
> Zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der y-Achse würde ich
> prinzipiell x=0 setzen. Das funktioniert hier natürlich
> nicht, da Nulldivision...
Nullstellen sind die Schnittpkte mit x- Achse also sin (1/x)=0 also [mm] 1/x=n*\pi, [/mm] daraus x=
>
> Zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse würde ich
> y=0 setzten, was mich aber auch nicht wahnsinnig weiter
> bringt.
>
> Für Hilfe wäre ich hier sehr dankbar
siehe oben!!!
> 3. Unstetigkeitsstellen:
> Definitionslücke bei x=0
Echte Unstetigkeit, nicht nur Definitionslücke!
> 4. Verhalten für grosse Beträge von X:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] x strebt gegen 0
siehe assympt. falsch ausgedrückt :
[mm][mm] \limes_{x\rightarrow\infty}sin(1/x)=0[/mm] [mm]
entsprechend für [mm] -\infty. [/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (für x [mm]\to[/mm] - >[mm]\infty)[/mm] x strebt
> gegen 0
>
> 5. Differenzierbarkeit:
> Die Funktion ist beliebig oft differenzierbar
nur für x>0
> Abbild der Funktion:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
ok, besser wäre das Stück um 0 etwas zu dehnen! Dann sieht man die Unstetigkeit bei 0 besser!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 22.01.2006 | | Autor: | Jan41 |
Danke für die Hilfe, bis auf einen Punkt bei 2. ist mir alles klar geworden.
Unter 2. verstehe ich allerdings nicht, wie man von sin(1/x) = 0 auf $ [mm] 1/x=n\cdot{}\pi, [/mm] $ bzw. dadurch auf die Nullstellen kommen soll. Für eine weitere Erklärung wäre ich sehr dankbar, ggf. auch nur einen Hinweis, wo ich den Sachverhalt selbst nochmal nachlesen kann oder etwas derartiges.
Prinzipiell würde Ich so vorgehen (leider ohne Erfolg  )
sin(1/x) = 0 /arcsin
1/x = 0 /*x
1 = 0
Danke und Gruß
Jan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 22.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jan!
Bei Deinem Lösungsanstz übersiehst Du, dass die [mm] $\sin$-Funktion [/mm] periodisch ist, d.h. sie hat ja unendlich viele Nullstellen. Diese liegen bei allen ganzzahligen Vielfachen von [mm] $\pi$ [/mm] (bzw. Vielfache von 90° im Gradmass) :
[mm] $\sin(z) [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $z \ = \ [mm] n*\pi$ [/mm] mit $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$
[/mm]
Für unsere Aufgabe gilt nun $z \ := \ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] n*\pi$ $\gdw$ $x_N [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n*\pi}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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