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| Aufgabe | | Eine Parabel vierter Ordnung ist symmetrisch zur y-Achse und hat in W (1/2) einen Wendepunkt, dessen Wendetangente durch den Ursprung verläuft. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung und machen Sie die Probe! Skizze! |
Wie lautet die Funktionsgleichung und die Probe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Di 07.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Martin,
ich geb' dir gern ein paar Hinweise - aber rechnen musst du selber! 
Eine Polynomfunktion vierten Grades muss ja irgendwie so aussehen:
[mm] $f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$, [/mm] wobei [mm] $a,b,c,d,e\in\IR$, $a\not=0$ [/mm] irgendwelche Konstanten sind, die wir bestimmen müssen.
"Deine" Funktion soll aber achsensymmetrisch zur $y$-Achse sein, d.h. es muss $f(x)=f(-x)$ gelten für alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Und das ist genau dann der Fall, wenn $b=d=0$ ist, also nur gerade Potenzen im Funktionsterm auftauchen. (Mach' dir das gegebenenfalls nochmal klar, indem du es dir explizit ausrechnest!)
Wir haben es also mit einer Funktion [mm] $f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e$ [/mm] zu tun, wobei [mm] $a,c,e\in\IR$, $a\not=0$ [/mm] ist.
Um diese drei Unbekannten zu bestimmen, brauchen wir drei Informationen über den Graphen der Funktion - und die haben wir auch. Wir wissen:
1.) An der Stelle $x=1$ liegt ein Wendepunkt vor, d.h. $f''(1)=0$ (denn das ist eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt!).
Bilde jetzt mal $f''(1)$. Wir haben damit eine von drei Gleichungen gefunden, mit denen sich die Konstanten $a,c,e$ berechnen lassen.
2.) Der Punkt $(1,2)$ ist Punkt des Graphen, d.h. es gilt $f(1)=2$. Damit haben wir die zweite Gleichung!
3.) Die Wendetangente geht durch den Ursprung, d.h. wir kennen die Steigung an der Stelle $x=1$, also $f'(1)$. Das gibt uns die dritte Gleichung!
Wir haben damit drei Gleichungen mit jeweils drei Unbekannten, und diese Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem. Wenn du das löst, hast du die Konstanten $a,c,e$ (und damit auch die Funktion $f(x)$) bestimmt.
Probier' das mal, und schreib uns gegebenenfalls, an welcher Stelle du steckenbleibst, ok?
MFG,
Yuma
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:54 Di 07.03.2006 | | Autor: | jagger135 |
leider hab ich keine ahnung wie die drei gleichungen aussehen sollen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Jagger,
zunächst einmal benötigst du die ersten beiden Ableitungen der Funktion, die YUMA dir gegeben hat.
Wie lauten sie?
Die Ableitungsregeln findest du  hier.
Und für deine Aufgabe brauchst du die Potenzregel.
Liebe Grüße
Herby
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[mm] f(x)'=4ax^3+3bx^2+2cx+d
[/mm]
[mm] f(x)''=12ax^2+6bx+2c
[/mm]
so???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
na ja, fast -- lies' dir Yumas Artikel nochmal durch, dann wirst du festellen, dass in der ersten Ableitung zwei Terme und in der zweiten Ableitung ein Term verschwindet (wegen 0).
jetzt setzt du für x den passenden x-Wert ein und für y den passenden y-Wert (steht alles hier) <--- click it
Du bekommst dann das versprochene Gleichungssystem 
Liebe Grüße
Herby
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was ist denn falsch??
und was fällt weg??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
falsch ist nix (ich schrieb' ja auch "fast richtig"), nur, da du eine gerade Funktion hast, die symmetrisch zur Y-Achse verläuft, fallen in der Orginalfunktion die ungeraden Potenzen weg.
Diese brauchst du dann natürlich auch nicht mehr beim Differenzieren berücksichtigen.
Jetzt klarer?
lg
Herby
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also falle alle therme mit nem [mm] x^3 [/mm] oder x komplett raus und tauchen in der nächsten ableitung nicht mehr auf??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
ja, das stimmt!
bei deiner Aufgabe ist b=d=0 und somit der entsprechende Term weg!
Liebe Grüße
Herby
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also [mm] 4ax^3+2cx [/mm] und [mm] 12ax^3+2c [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") alles korrekt
Jetzt die Punkte einsetzen und das Gleichungsystem lösen.
lg
Herby
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das gleichungssystem komplett??
hab doch nur die beiden ableitungen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
> das gleichungssystem komplett??
> hab doch nur die beiden ableitungen??
und die Orginalfunktion mit [mm] f(x)=ax^{4}+cx²+e
[/mm]
sind drei Gleichungen und drei Unbekannte!
hier würde sich sogar das Einsetzverfahren lohnen, da die Gleichungen relativ klein sind.
lg
Herby
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soweit ist mir jetzt alles klar!!
wie ist das jetzt mit dem einsetzen?? was wo und vorallem warum??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
> soweit ist mir jetzt alles klar!!
> wie ist das jetzt mit dem einsetzen?? was wo und vorallem
> warum??
du musst jetzt die Unbekannte a,c,e bestimmen.
die Werte für x und y hast du in der Aufgabenstellung gegeben.
wie gesagt: "Yuma" hat das sehr schön aufgeschrieben!
(man muss zwischendurch auch mal einen Artikel drei oder x- Mal lesen, bevor man ihn versteht - das ist ganz normal)
Ein Beispiel: Wir kennen eine Wendepunkt W mit den Koordinaten [mm] (\red{1}|\blue{2})
[/mm]
Den Wendepunkt findest du nur in der Orginalfunktion, dass heißt, den Punkt kannst du auch nur in diese Gleichung einsetzen.
[mm] ax^{4}+cx²+e=y [/mm] das ergibt [mm] a(\red{1})^{4}+c(\red{1})²+e=\blue{2}
[/mm]
und somit hast du die erste Gleichung.
Versuch mal die anderen beiden.
lg
Herby
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:51 Di 07.03.2006 | | Autor: | jagger135 |
also gleichung 1 4a+c=2
und wie mach ich das denn mit der tangente und so??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> also gleichung 1 4a+c=2
... kannst mal erklären, wie du da drauf gekommen bist, dann können wir besser helfen - denn hier ist etwas nicht richtig, ich würde gerne wissen, was.
> und wie mach ich das denn mit der tangente und so??
das machen wir danach.
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Di 07.03.2006 | | Autor: | jagger135 |
bin im moment etwas konfus sorry!!
so also gleichung eins mit eigesetztem wendepunkt ist klar!!!
darf ich den wendepunkt auch in die anderen beiden gleichungen einsetzen oder wie komme ich auf die???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich hatte deine Frage nur ein Stückchen verrutscht, dass der Strang nicht zu breit wird.
sie ist nicht weg, sondern hier <-- click it
Gruß
Herby
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ich mache jetzt aus dieser Frage eine Mitteilung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Martin,
wie sieht es mit einer Begründung aus?
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Di 07.03.2006 | | Autor: | jagger135 |
hab mich verklickt sorry weis nicht womit ich antworten sollte!!
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na aus [mm] a1^4 [/mm] wied dann doch nur a oder??
und dann a+c=2 oder kann man das nicht so zusammen fassen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Di 07.03.2006 | | Autor: | Herby |
> na aus [mm]a1^4[/mm] wied dann doch nur a oder??
>
> und dann a+c=2 oder kann man das nicht so zusammen fassen
nein, meine Gleichung war fertig 2=a+c+e!
nimm mal diese hier: Wendepunkt an der Stelle W(1|2), daraus folgt, die zweite Ableitung in dem Punkt W ist Null.
Gruß
Herby
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bin im moment etwas konfus sorry!!
so also gleichung eins mit eigesetztem wendepunkt ist klar!!!
darf ich den wendepunkt auch in die anderen beiden gleichungen einsetzen oder wie komme ich auf die???
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ok also hab ich als 2 gleichung 0=12a+2c
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Di 07.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Martin,
ich will mich auch mal wieder einschalten!
Mit meiner ersten Antwort konntest du ja anscheinend nicht sehr viel anfangen, wenn ich mir den Verlauf der weiteren Diskussion anschaue.
Ich versuche immer, meine Antworten an den mathematischen Background des Fragestellers anzupassen. Und da du Mathematik studierst, dachte ich, dass du mir folgen kannst - denn schließlich ist das alles Schulstoff!
Aber nun zur Sache!
Herby hat es ja schon gesagt: Die Tangente am Punkt $(1,2)$ hat dieselbe Steigung wie der Graph an der Stelle $x=1$, d.h. $m=f'(1)$. Wenn du also die Steigung der Tangenten kennst, kannst du die dritte und letzte Gleichung aufstellen: [mm] $f'(1)=4a\cdot 1^{3}+2c\cdot [/mm] 1=m$.
Wir kennen die Steigung der Tangente, weil ein zweiter Punkt gegeben ist! Die Tangente verläuft durch $(1,2)$ und durch $(0,0)$.
Frage (an dich): Welche Steigung $m$ hat eine Gerade, die durch die Punkte $(1,2)$ und $(0,0)$ verläuft?
Versuch wirklich mal, diese Frage selbst zu beantworten!
MFG,
Yuma
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ich studiere Mathematik??? wie kommst da drauf
bin an der fachschule!!
also y=m*x+n und ich hab zwei punkte gegeben.........
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Di 07.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Martin,
> ich studiere Mathematik??? wie kommst da drauf
> bin an der fachschule!!
Aber bei dir steht doch "Mathe-Student im Grundstudium"?! Deshalb ging ich von einer Universität aus... sorry, wenn ich da falsch lag!
> also y=m*x+n und ich hab zwei punkte gegeben.........
Sagt dir der Begriff des Steigungsdreiecks etwas? Die Steigung $m$ einer Geraden ist ja so definiert: [mm] $m=\bruch{\Delta y}{\Delta x}$. [/mm] Dabei ist [mm] $\Delta y=y_{2}-y_{1}$ [/mm] die Differenz der $y$-Werte der beiden gegebenen Punkte. Entsprechendes gilt für [mm] $\Delta [/mm] x$.
Also ist die Steigung [mm] $m=\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$. [/mm] In diese Formel musst du die beiden gegebenen Punkte der Geraden einsetzen.
Man kann aber auch anschaulich sehen, was die Steigung ist: Wenn eine Gerade bei $x=0$ Null ist und bei $x=1$ Zwei, um wieviel ist sie dann gestiegen?
Kannst du damit die Steigung $m$ bestimmen und die letzte Gleichung aufstellen?
MFG,
Yuma
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also ist m=2 und wie gehe ich damit jetz in die gleichung??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Di 07.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Martin,
ich hab's dir doch oben schon hingeschrieben:
[mm] $f'(1)=4a\cdot 1^{3}+2c\cdot [/mm] 1=4a+2c=m=2$.
Also lautet die Gleichung $4a+2c=2$.
Wir haben jetzt drei Gleichungen, jeweils mit den unbekannten $a,c,e$. Kannst du das lineare Gleichungssystem lösen?
MFG,
Yuma
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also lautet die funktionsgleichung [mm] y=-4x^4+24x^2-18 [/mm] oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 07.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Martin,
> also lautet die funktionsgleichung [mm]y=-4x^4+24x^2-18[/mm] oder??
Nein, das stimmt nicht, denn dann wäre $f'(1)=32$ - du musst dich irgendwo verrechnet haben!
Ich erhalte [mm] $a=-\bruch{1}{4}$, $c=\bruch{3}{2}$ [/mm] und [mm] $e=\bruch{3}{4}$.
[/mm]
MFG,
Yuma
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ich kome immer auf a=-4
(0=12a+2c)
-(2= 4a+2c)
=(-2=8a)>>>> a=-4?????????????????
auch wenn ich umstelle und einsetze kommt -4 raus??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Di 07.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Martin,
> ich komme immer auf a=-4
>
> (0=12a+2c)
> -(2= 4a+2c)
>
> =(-2=8a)>>>> a=-4?????????????????
Warum das? $8a=-2$ ist richtig, aber [mm] $-\bruch{2}{8}=-\bruch{1}{4}$, [/mm] oder nicht? Du teilst doch durch $8$, nicht durch $(-2)$.
MFG,
Yuma
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ups dummer fehler ist klar!!
jetz komme ich auch auf deine a,c,e
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Di 07.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Martin,
super, dann hast du ja die Funktion gefunden!
Du sollst jetzt noch die Probe machen, das heißt wahrscheinlich, dass du eine Kurvendiskussion der Funktion [mm] $f(x)=-\bruch{1}{4}x^{4}+\bruch{3}{2}x^{2}+\bruch{3}{4}$ [/mm] durchführst und dabei nachprüfst, ob diese Funktion wirklich achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist, einen Wendepunkt $(1,2)$ hat und die Wendetangente durch den Ursprung verläuft.
Eine Skizze spendier' ich dir mal:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hast du noch Fragen, oder ist dir die Lösung und das weitere Vorgehen nun klar?
MFG,
Yuma
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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ab hier ist dann alles klar!!
außer eins noch wie ich mit der 2.ableitung und m=2 zu der gleichung 2=4a+2c komme???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 07.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Martin,
> ab hier ist dann alles klar!!
Super - ich hab' gerade gesehen, du hast deinen "mathematischen Background" geändert?!
> außer eins noch wie ich mit der 2.ableitung und m=2 zu der
> gleichung 2=4a+2c komme???
Die Gleichung $4a+2c=2$ kommt eigentlich aus der Gleichung $f'(1)=m$. Letzteres gilt deswegen, weil eine Tangente an einem Punkt ja immer dieselbe Steigung hat wie die Funktion in diesem Punkt (sonst wär's ja auch keine Tangente!). Die Steigung der Funktion im Punkt $(1,2)$ ist $f'(1)$ und das ist gleich [mm] $4a\cdot 1^{3}+2c\cdot [/mm] 1$. Und dies muss gleich der Steigung der Tangenten im Punkt $(1,2)$ sein. Diese Steigung konnten wir ausrechnen, weil wir neben dem Berührpunkt $(1,2)$ noch einen weiteren Punkt der Geraden, nämlich $(0,0)$ gegeben hatten.
Jetzt klarer? Ansonsten frag' bitte nochmal nach!
MFG,
Yuma
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also ist die zweite ableitung gleich dem anstieg im wendepunkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Di 07.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Martin,
> also ist die zweite ableitung gleich dem anstieg im
> wendepunkt?
Nein, die erste(!) Ableitung beschreibt die Steigung einer Funktion. Die zweite Ableitung haben wir doch für die Gleichung $4a+2c=2$ gar nicht benutzt!
Mit der zweiten Ableitung sucht man nach möglichen Wendepunkten. Wendepunkte können nämlich nur dort vorliegen, wo die zweite Ableitung gleich Null ist. Das hat aber mit der Steigung der Funktion nichts zu tun.
Die zweite Ableitung ist die Steigung der ersten Ableitung. Die zweite Ableitung ist sozusagen die Steigung der Steigung der Funktion!
MFG,
Yuma
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ah ok!!
vielen dank für deine /eure mühe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Di 07.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Martin,
> vielen dank für deine /eure mühe!!!
Gern geschehen! Freut mich, wenn wir dir helfen konnten!
MFG,
Yuma
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 So 26.03.2006 | | Autor: | Moal |
Ich hätte noch eine Frage an Yama. Prinzipiell ist dein Lösungsweg klar. Könntest du mir nur noch vllt formal erklären wieso b und d bei Achsensymetrie wegfällt bzw. alle ungeraden Potenzen. Und des weiteren vllt. noch den Unterschied zwischen Achsen- und Punktsymetrie erklären.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 So 26.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
Achsensymmetrie bedeutet, dass Du die Funktion an der y-Achse spiegeln kannst. Wenn Du also die Funktion zeichnest und sie dann an der y-Achse "zusammenklappst", liegen die beiden "Äste" aufeinander.
Mathematisch muss für Achsensymmetrie gelten:
f(x) = f(-x)
Beispiel1:
f(x) = [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] +2 ist achsensymmetrisch, da nur gerade x-
Potenzen vorkommen...
z.B. gilt
f(1) = [mm] 1^{4} [/mm] + [mm] 1^{2} [/mm] +2 = 4
f(-1) = [mm] (-1)^{4} [/mm] + [mm] (-1)^{2} [/mm] +2 = 4
f(1) = f(-1)
Wenn f(x) achsensymmetrisch sein soll, muss dies allerdings für alle x
gelten,d.h. wir setzen für x = -x in die Funktionsgleichung ein und erhalten:
f(-x) = [mm] (-x)^{4} [/mm] + [mm] (-x)^{2} [/mm] +2 = [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] +2
weil ja beim Potenzieren mit geraden Exponenten das Minus zu Plus wird.
Daher auch die Regel, dass alle Exponenten meines Polynoms, wenn Achsensymmetrie gilt, gerade sein müssen.
Beispiel2:
f(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] +1
Diese Funktion ist nicht achsensymmetrisch, da auch ungerade Potenzen von x vorkommen.
f(1) = [mm] 1^{3} [/mm] + [mm] 1^{2} [/mm] +1 = 3
f(-1) = [mm] (-1)^{3} [/mm] + [mm] (-1)^{2} [/mm] +1 = -1 + 1 + 1 = 1
f(1) [mm] \not= [/mm] f(-1)
oder allgemein, ich setze wieder x= -x in die Funktionsgleichung ein und erhalte
f(-x) = [mm] (-x)^{3} [/mm] + [mm] (-x)^{2} [/mm] +1 = [mm] -x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] +1
f(x) [mm] \not= [/mm] f(-x).
Für Punktsymmetrie gilt das entsprechende. Nur ungerade x-Potenzen dürfen in der Funktion vorkommen.
Eine Funktion ist punktsymmetrisch = punktsymmetrisch zum Ursprung (0/0) !! wenn ich jeden Punkt an diesem Punkt spiegeln kann.
Mathematisch muss gelten:
f(-x) = - f(x)
z.B. f(x) = [mm] (x)^{3} [/mm] + x
f(-1) = [mm] (-1)^{3} [/mm] + (-1) = -2
- f(1) = - [mm] ((1)^{3} [/mm] + [mm] (1)^{2}) [/mm] - (2) = -2
oder allgemein
f(-x) = [mm] ((-x)^{3} [/mm] + (-x)) = [mm] -x^{3} [/mm] -x
- f(x) = [mm] -(x^{3} [/mm] + x) = [mm] -x^{3} [/mm] -x
d.h. f(-x) = - f(x)
Hoffe das hilft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 So 26.03.2006 | | Autor: | Moal |
Hi hase-hh
Danke es hat sehr geholfen.
Ich finde das Forum hier toll, man bekommt sofort Antworten auf fast alles :)
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