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| Aufgabe | Eine Parabel 4. Ordnung ist symmetrisch zur x-Achse und hat in W(1/2) einen Wendepunkt, dessen Wendetangente durch den Ursprung verläuft.
Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion |
Hallo,
auch diese Frage habe ich in keinem weiteren Forum gestellt.
Bei dieser Aufgabe ging mein Mathelehrer wie folgt vor:
y(1) = 2 ...y an der Stelle 1 = 2
y''(1) = 0 ...y'' (2. Ableitung) an der Stelle 1 = 0
y'(1) = 2 ...y' (1. Ableitung) an der Stelle 1 = 2
Bitte kann mir jemand seine Vorgehensweise erklären?
Den ersten Schritt mit "y an der Stelle 1 ist 2" kann ich nachvollziehen und dieser ist mir soweit auch klar.
Aber die beiden weiteren leider nicht.
Viele Grüße
Stephan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 So 02.04.2006 | | Autor: | MxM |
Hi
Ich gehe jetzt mal davon aus, dass das in der Fragestellung heißen sollte "Symmetrisch zu y-Achse", nicht zur x-Achse da es ansonsten keine Funktion mehr wäre.
Gesucht ist ja eine Funktion der Form [mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e [/mm] (Parabel 4. Ordnung), folglich benötigen wir, um die 5 Parameter a bis e berechnen zu können ein lineares Gleichungssystem mit 5 "Informationen".
Zählen wir mal, was wir Informationen wir haben:
Eine hast du bereits erkannt: f(1)=2 .
Das heisst, die erste Gleichung für unser LGS lautet
[mm] a*1^4+b*1^3+c*1^2+d*1+e = 2 [/mm]
Es fehlen also noch 4 weitere.
Wir wissen, dass im Punkt (1|2) ein Wendepunkt ist, folglich gilt für die 2. Ableitung [mm] f''(1)=0 [/mm]
Also bilden wir die 2. Ableitung:
[mm] f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d
f''(x)=12ax^2+6bx+2c [/mm]
Setzten wir nun den Wendepunkt ein lautet die Gleichung:
[mm] 0=12a*1^2+6b*^+2c
[/mm]
Jetz haben wir also schon 2 Gleichungen.
Vielleicht kannst du von hier an alleine weiterrechnen wenn du bedenkst, was für eine Steigung f(x) im Punkt (1|2) ([mm]f'(x)=?[/mm]) hat wenn die Tangente durch diesen Punkt durch den Punkt (0|0) gehen soll (aufmalen hilft wenn du es nicht sofort hinkriegst).
Außerden wissen wir ja, dass das was für den Punkt (1|2) gilt , auf Grund der Symmetrie auch für den Punkt (-1|2) gilt. Der Spiegelpunkt ist also auch Wendepunkt und seine Tangente geht auch durch den Ursprung. Probier mal ob du es jetzt hinkriegst, wenn nicht, mald dich wieder ;)
MfG
MxM
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