Kurvendiskussion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ein doppelrundbogenfenster werde von drei seiten eines Rechtecks sowie von 2 Halbkreisen, deren Durchmesser x jeweils die halbe Seitenlänge der vierten Rechteckseite ist, begrenzt. Wie müssen x und die Seitenlängen des Rechtecks in Abhängigkeit vom Umfang U des Fensters gewählt sein, damit die Gesamtfläche des Fensters bei vorgegebenem Umfang maximal ist?
|
Ich hab mir jetzt erstmal ne Skizze von dem Ding gemacht und weis jetzt so ungefähr wie dies aussehen soll!
ich weis auch dass ich mit ner gleichung die ich aufstellen soll/muss, nen hochpunkt berechnen muss! aber ich komm nicht auf die gleichung! kann mir da jemand helfen? Vielen dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Di 06.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo KaiTracid!
Wir suchen hier also zunächst die Hauptbedingung (= Fläche) sowie die Nebenbedingung (= Umfang).
Seien $b_$ und $h_$ die Abmessungen des Rechteckes. Dann gilt für den Flächeninhalt:
$A \ = \ A(b,h) \ = \ [mm] b*h+2*\bruch{1}{2}*\pi*\left(\bruch{b}{4}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] b*h+\bruch{1}{16}*\pi*b^2$
[/mm]
Der Umfang berechnet sich zu:
$U \ = \ [mm] 2*h+b+2*\bruch{1}{2}*\underbrace{\blue{2}*\pi*\bruch{b}{4}}_{= \ 2*\pi*r} [/mm] \ = \ [mm] 2*h+b+\bruch{1}{\blue{2}}*\pi*b$
[/mm]
Wenn Du nun die Umfangsformel nach $h \ = \ ...$ umformst und in die Flächenformel einsetzt, hast Du die gesuchte Zielfunktion $A(b)_$ , welche nur noch von der Variablen $b_$ abhängig ist.
Für diese Funktion $A(b)_$ musst Du dann die Extremwertberechnung (= Nullstellen der 1. Ableitung usw.) durchführen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Vielen Dank erstmal!
hab ne frage dazu und zwar
woher kommen denn die b/4 ?
muss dass nicht b/2 heißen? weil der radius ist ja die hälfte von der länge von b!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 06.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen Dank erstmal!
>
> hab ne frage dazu und zwar
> woher kommen denn die b/4 ?
> muss dass nicht b/2 heißen? weil der radius ist ja die
> hälfte von der länge von b!
Nein, du hast ja zwei Halbkreise "auf" b. Das heisst, deren Durchmesser ist jeweils [mm] \bruch{b}{2}, [/mm] also ist der Radius: [mm] \bruch{b}{4}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
oh klar stimmt!
ok und wie kommt man auf die 1/2?
weil die formel ist doch 2 [mm] \pi [/mm] r²
und hier wurde ja geschrieben: 2 1/2 [mm] \pi [/mm] (b/4)²
|
|
|
| |
|
Hallo,
du hast zwei Halbkreise als Rundbögen, der Durchmesser eines Halbkreises ist [mm] \bruch{b}{2}, [/mm] also ist der Radius [mm] \bruch{b}{4}, [/mm] den Flächenihalt eines Kreises berechnest du [mm] \pi r^{2}, [/mm] also [mm] \pi (\bruch{b}{4})^{2} [/mm] da ein Rundbogen ein Halbkreis ist also [mm] \bruch{1}{2} \pi (\bruch{b}{4})^{2}, [/mm] da es zwei Halbkreise sind kommt der Faktor 2 noch davor [mm] 2*\bruch{1}{2} \pi (\bruch{b}{4})^{2}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
ok vielen dank!
ich hab des jetzt auf h aufgelöst: h= - 1/16 [mm] \pi [/mm] b
stimmt dies so?
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich möchte mal meine Variante beenden:
[mm] A=bh+\bruch{1}{16} \pi b^{2}
[/mm]
[mm] u=2h+b+\bruch{1}{2}\pi [/mm] b hier ist noch die Abweichung zu Loddar [mm] \bruch{1}{4}\pi [/mm] b, der Rechenweg ist aber der gleiche,
umgestellt: [mm] h=\bruch{1}{2}u-\bruch{1}{2}b-\bruch{1}{4}\pi [/mm] b
die umgestellte Gleichung für h in Gleichung für A einsetzen:
[mm] A(b)=\bruch{1}{2}bu-\bruch{1}{2}b^{2}-\bruch{1}{4}\pi b^{2}+\bruch{1}{16}\pi b^{2}
[/mm]
[mm] A(b)=\bruch{1}{2}bu-\bruch{1}{2}b^{2}-\bruch{3}{16}\pi b^{2}
[/mm]
[mm] A'(b)=\bruch{1}{2}u-b-\bruch{3}{8}\pi [/mm] b
[mm] 0=\bruch{1}{2}u-b-\bruch{3}{8}\pi [/mm] b
[mm] b=\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die Hilfe! Aber ist des schon alles? muss ich nicht noch was machen jetzt mit dem b?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Do 08.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das b ist deine gesuchte Extremstelle. Jetzt bleibt noch zu prüfen, ob es ein Hoch, oder Tiefpunkt ist. (mit der zeiten Ableitung) und, welchen Flächeninhalt A(b) das Fenster nun hat.
Marius
|
|
|
| |
|
die zweite Ableitung wäre ja:A´´(b)= [mm] -1-(3/8)\pi
[/mm]
in diese gleichung müsste ich doch mein b einsetzetn um dann schauen zu können ob es > oder < 0 ist,was dann Tiefpunkt oder Hochpunkt entsprechen würde.
Aber ich kann es ja nicht einsetzen?!
Und wie berechnet man dann den Flächeninhalt? mein b in die Gleichung von der Fläche einsetzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Do 08.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> die zweite Ableitung wäre ja:A´´(b)= [mm]-1-(3/8)\pi[/mm]
> in diese gleichung müsste ich doch mein b einsetzetn um
> dann schauen zu können ob es > oder < 0 ist,was dann
> Tiefpunkt oder Hochpunkt entsprechen würde.
> Aber ich kann es ja nicht einsetzen?!
Richtig, es gilt A'(b)<0 für alle b, da [mm] -1-\bruch{3\pi}{8} [/mm] immer kleiner als Null ist.
>
> Und wie berechnet man dann den Flächeninhalt? mein b in die
> Gleichung von der Fläche einsetzen?
>
Richtig, das meinte ich mit A(b)
Marius
|
|
|
| |
|
als b in A(b) eingesetzt ergibt dann:
[mm] \bruch{1}{2}(\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi})u [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi})² [/mm] - [mm] \bruch{3}{16}\pi(\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi})²
[/mm]
muss man dann och irgendwas weiter machen? außer vielleicht vereinfachen?
|
|
|
| |
|
das ist dein ergebnis, versuche, so weit wie möglich zu vereinfachen,
steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Di 06.02.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Loddar,
der Umfang setzt sich zusammen aus:
2 fache Höhe: 2h
Breite: b
2 Halbkreise, also ein Vollkreis: [mm] u=\pi d=\pi\bruch{b}{2}
[/mm]
[mm] u=2h+b+\pi\bruch{b}{2} [/mm] ? du hast [mm] \pi\bruch{b}{4} [/mm] stehen, oder mache ich einen Denkfehler?
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Du hast Recht: ich habe schlicht und ergreifend bei der Umfangsformel mit dem Radius $u \ = \ [mm] 2*\pi*r$ [/mm] den Faktor $2_$ unterschlagen.
Es ist oben nun korrigiert ... Danke für den Hinweis und das Aufpassen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
