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Kurvendiskussion: Verhalten im Unendlichen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Do 09.08.2007
Autor: espritgirl

Hallo Zusammen [winken],

Wir Wiederholengerade die Kurvendiskussion und ich habe ein Problem mit dem "Verhalten im Unendlichen". Kann mir bitte Jemand sagen, wie ich das ausrechnen kann oder ermitteln kann (mein damaliger Kurs ist nur bis zur Nullstellenberechnung gekommen).

Die zu untersuchende Funktion lautet:

[mm] f(x)=x^{3}-3x-2 [/mm]

Das einzige was ich weiß, ist das man irgendeine Zahl gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen muss. Aber ich weiß weder welche Zahl, noch ob ich diese Zahl in eine Ableitung, in die Ursprungsfunktion oder sonst wo einsetzen muss.


Danke :-)


Liebe Grüße,

Sarah :-)




















        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Do 09.08.2007
Autor: M.Rex

Hallo.

Ich nehme mal an, du betrachtest ganzrationale Funktionen von Typ [mm] f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0} [/mm]

Dann gibt es zwei Dinge, auf die du schauen musst.

1. der höchste Exponent n
2. das Vorzeichen von dessen Koeffizeienten [mm] a_{n} [/mm]

Also in deinen Beispiel:

n=3
[mm] a_{n}=\red{+}1 [/mm]

Dann gibt es folgende Möglichkeiten:

n gerade/ungerade
[mm] a_{n} [/mm] positiv/negativ

Fall 1:
n gerade, [mm] a_{n} [/mm] positiv.
(Diese Graphen sehen aus wie ein W - zumindest näherungsweise)
Dann gilt:
[mm] f(x)\to+\infty [/mm] für [mm] x\to+\infty [/mm]
und [mm] f(x)\to+\infty [/mm] für [mm] x\to-\infty [/mm]

Fall 2:
n gerade, [mm] a_{n} [/mm] negativ.
(Diese Graphen sehen aus wie ein M)
Dann gilt:
[mm] f(x)\to-\infty [/mm] für [mm] x\to+\infty [/mm]
und [mm] f(x)\to-\infty [/mm] für [mm] x\to-\infty [/mm]

Fall 3:
n ungerade, [mm] a_{n} [/mm] positiv.
(Diese Graphen sehen aus wie ein "gekipptes S")
Dann gilt:
[mm] f(x)\to+\infty [/mm] für [mm] x\to+\infty [/mm]
und [mm] f(x)\to-\infty [/mm] für [mm] x\to-\infty [/mm]

Fall 4:
n ungerade, [mm] a_{n} [/mm] positiv.
(Diese Graphen sehen auch aus wie ein "gekipptes S")
Dann gilt:
[mm] f(x)\to-\infty [/mm] für [mm] x\to+\infty [/mm]
und [mm] f(x)\to+\infty [/mm] für [mm] x\to-\infty [/mm]

Das sind die vier Fälle bei einer ganzrationalen Funktion, für dein Beispiel trifft Fall 3 zu.

Hilft das erstmal weiter?

Marius

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Do 09.08.2007
Autor: espritgirl

Hey Marius  [winken],

So scheint mir das klar zu sein...

Sollte ich gleich bei den anderen Funktionen noch Probleme haben, dann melde ich mich wieder ;-)


Danke für deine Hilfe [ok]!


Liebe Grüße,

Sarah :-)

Bezug
        
Bezug
Kurvendiskussion: Extremstelle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Do 09.08.2007
Autor: espritgirl

Hallo nochmal [winken],

Von der Funktion

[mm] f(x)=x^{3}-3x-2 [/mm] muss ich die Extremstellen berechnen.

Dafür bilde ich die erste und zweite Ableitung:

[mm] f'(x)=3x^{2}-3 [/mm] sowie

f'' (x)=6x

Jetzt muss man ja von f'(x) die Nullstellen berechnen und hier kommt mein Problem:

In der ersten Ableitung fehlt ja das "2ab", somit kann ich ja so keine quadratische Ergänzung machen.

Deshalb habe ich mir überlegt, dass ich einfach ein 0x einfüge, also

[mm] 3x^{2} [/mm] - 0x - 3 =0
= [mm] x^{2} [/mm] - 0x - 1 = 0
= [mm] (x-0)^{2} [/mm] - 1 = 0
= [mm] (x-0)^{2} [/mm] = 1
x=1 oder x=-1

Geht das so oder ist mine Überlegung falsch?

Liebe Grüße,

Sarah :-)

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Do 09.08.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

[mm] 0=3x^{2}-3 [/mm]
[mm] 0=x^{2}-1 [/mm]
[mm] x^{2}=1 [/mm]

[mm] x_1=1 [/mm]
[mm] x_2=-1 [/mm]

geht doch so wesentlich eleganter!!
Steffi

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Do 09.08.2007
Autor: espritgirl

Hey Steffi [winken],

> Hallo,
>  
> [mm]0=3x^{2}-3[/mm]
>  [mm]0=x^{2}-1[/mm]
>  [mm]x^{2}=1[/mm]
>  
> [mm]x_1=1[/mm]
>  [mm]x_2=-1[/mm]


Hmmm... Ja, da könntest du in der Tat mit Recht haben ;-)

Danke für deine prompte Hilfe!


Liebe Grüße,

Sarah :-)

Bezug
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