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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Jack |
Hi Leute!
Ich habe mal wieder eine Frage!
Ich habe eine Funktion gegeben, die für mich einige Fragen aufwirft.
Die Funktion lautet:
[mm] f(x)=0,5x^3-(a/x) [/mm] oder auch anders geschrieben so [mm] f(x)=0,5x^3-ax^-1 [/mm] (hoffe, dass das richtig ist)
dabei ist natürlich x [mm] \in \IR \backslash \{0 \}
[/mm]
Ich habe eine ganz normal Kurvendiskussion durchgeführt, hänge jetzt aber bei den Extremstellen bzw. auch bei den Ableitungen.
Die Ableitungen sind bei mir wie folgt:
[mm] f'(x)=1,5x^2+ax^-2
[/mm]
f''(x)=3x-2ax^-3
f'''(x)=3+6ax^-4
Für a soll dann -5;0;5 eingesetzt werden.
Eines ist mir auch noch aufgefallen. Dadurch, dass 0 ja nicht in dem Graphen auftauchen kann und somit nicht bei 0 vorbeikommt, wie kann dann der Graph (relative) Extrempunkte bzw. Wendepunkte haben?
Bitte helft mir!
Danke schon mal!!!
Gruß Jack
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jack!
> Ich habe mal wieder eine Frage!
> Ich habe eine Funktion gegeben, die für mich einige Fragen
> aufwirft.
Kein Problem, wir sind ja dafür da diese zu beantworten. 
> Die Funktion lautet:
>
> [mm]f(x)=0,5x^3-(a/x)[/mm] oder auch anders geschrieben so
> [mm]f(x)=0,5x^3-ax^-1[/mm] (hoffe, dass das richtig ist)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dabei ist natürlich x [mm]\in \IR \backslash \{0 \}
[/mm]
> Ich habe eine ganz normal Kurvendiskussion durchgeführt,
> hänge jetzt aber bei den Extremstellen bzw. auch bei den
> Ableitungen.
>
> Die Ableitungen sind bei mir wie folgt:
>
> [mm]f'(x)=1,5x^2+ax^-2
[/mm]
> f''(x)=3x-2ax^-3
> f'''(x)=3+6ax^-4
Das ist alles richtig. Perfekt!! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
> Für a soll dann -5;0;5 eingesetzt werden.
Kein Problem, das kann man machen.
> Eines ist mir auch noch aufgefallen. Dadurch, dass 0 ja
> nicht in dem Graphen auftauchen kann und somit nicht bei 0
> vorbeikommt, wie kann dann der Graph (relative)
> Extrempunkte bzw. Wendepunkte haben?
Hmm. Was meinst du damit, dass $0$ nicht in dem Graphen auftauchen kann? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Der Graph von $f$ besteht ja aus Punkten $(x,f(x))$, also aus Punkten mit $x$- und $y$-Werten. Die Bedingung [mm] $x\ne [/mm] 0$ bedeutet ja nur, dass $x$ nicht im Definitionsbereich von $f$ liegt und somit $(0,f(0))$ nicht auf dem Graphen von $f$ liegt. Das hat aber nichts mit Extrem- oder Wendestellen zu tun!
Extremstellen sind ja Nullstellen der ersten Ableitung, also solche $x$, für die $f'(x)=0$ gilt (in Verbindung mit einem Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an dieser Stelle). Hier siehst du zweierlei: Erstens geht es hier gar nicht um die Funktion $f$, sondern um deren Ableitung $f'$. Zweitens muss man nicht $x=0$ einsetzen, sondern $y=0$ muss im Wertebereich von $f'$ vorkommen, d.h. man sucht ein $x$ mit $f'(x)=0$. Das alles hat nichts damit zu tun, dass $x$ nicht im Definitionsbereich von $0$ liegt. Oder meintest du das gar nicht? Was meintest du dann?
Egal, ich gebe dir den ersten Schritt sowieso jetzt mal vor :
Also, nun bestimmen wir mal alle $x$ mit $f'(x)=0$ (besser wäre es, was ich im Folgenden auch mache, [mm] $f_a'(x)$ [/mm] statt $f'(x)$ zu schreiben, da es sich ja um eine Funktionenschar in Abhängigkeit von $a$ handelt). Wir haben
$0 = [mm] f_a'(x) [/mm] = [mm] 1,5x^2 [/mm] + [mm] \frac{a}{x^2}$,
[/mm]
also:
[mm] $1,5x^2 [/mm] = - [mm] \frac{a}{x^2}$,
[/mm]
und somit
[mm] $x^4 [/mm] = - [mm] \frac{2a}{3}$.
[/mm]
Jetzt frage ich dich: Hat diese Gleichung eine Lösung? Hat sie immer eine Lösung? Hängt das von $a$ ab? Wenn sie eine Lösung hat, wie sieht diese dann aus? Ist das dann wirklich eine Extremstelle?
Versuche es bitte mal...
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Jack |
Danke Julius!!!
Ich habe das auch alles so gemacht wie du, die f'(x)=0 gesetzt und ich habe einfach einen Vorzeichenfehler begangen. Ich habe nämlich:
[mm] 0=1,5x^2 [/mm] -ax^-2
Das Minus ist natürlich falsch, es muss ja ein Plus hin, wie ich es schon bei den Ableitungen eigentlich stehen hatte.
Das ist peinlich, wenn man die Funktion zum Weiterrechnen einfach falsch abschreibt.
Achso, und auf deine Frage zurückzukommen, ob es Extrempunkte gibt. Natürlich nicht, weil man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.
Danke nochmals, dass du mich auf den Fehler hingewießen hast!
Gruß Jack
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Jack |
Stimmt, du hast Recht!
Wenn a < 0 ist, dann könnte man die Wurzel daraus ziehen.
Dann müsste man noch eine Fallunterscheidung machen, oder?
So z.B.:
1.Fall: Wenn x [mm] \ge [/mm] 0 ist, dann gibt es keine Extrempunkte
2.Fall: Wenn x < 0 ist, dann gibt es Extrempunkte (, und zwar 2, oder?)
Gruß Jack
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Jack |
Hi Julius!
Ich hänge jetzt bei den Wendepunkten fest.
Ich komme auf:
x= [mm] \wurzel[4]{2a/3}
[/mm]
Dann muss man ja wieder eine Fallunterscheidung machen, wobei ich das raus habe.
1. Fall: Wenn [mm] a\ge0 [/mm] ist, dann hat die Funktion einen Wendenpunkt.
2. Fall: Wenn a<0 ist, dann hat die Funktion keinen Wendepunkt.
Ist das so richtig, oder gibt es einen Fehler?
Bei 2.Fall bin ich mir ziemlich sicher, nur wo ich unsicher bin, ist, dass wenn a>0, dann auch wirklich ein Wendepunkt vorhanden ist.
Bitte um Hilfe!
Danke schon mal!
Gruß Jack
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Max |
Ich habe das Gefühl, dass deine 2. Ableitung falsch ist, soweit ich sehe führt $f''_a(x)=0$ zu einer Gleichung dritten Grades. Ich habe
$f''_a(x)=1- [mm] \frac{2a}{x^3}$ [/mm] für die zweite Ableitung raus. Überprüf mal bitte deine Rechnung! Dann ist die Fallunterscheidung für die Extremstelle auch leichter...
FEHLER: $f''_a(x)=3- [mm] \frac{2a}{x^3}$ [/mm] ist die ricgtige Ableitung. Sorry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Max!
Ich denke du hast dich vertan bzw. vermutlich verlesen. Aus meiner Sicht hat Jack Recht. Kannst du das bitte noch einmal überprüfen?
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jack!
> Ich hänge jetzt bei den Wendepunkten fest.
> Ich komme auf:
>
> x= [mm]\wurzel[4]{2a/3}
[/mm]
, aber was ist mit der negativen Lösung? Warum ignorierst du die hier?
> Dann muss man ja wieder eine Fallunterscheidung machen,
> wobei ich das raus habe.
>
> 1. Fall: Wenn [mm]a\ge0[/mm] ist, dann hat die Funktion einen
> Wendenpunkt.
Im Falle $a=0$ keinen (da $x=0$ nicht im Definitionsbereich liegt), im Falle $a>0$ zwei!
> 2. Fall: Wenn a<0 ist, dann hat die Funktion keinen
> Wendepunkt.
> Ist das so richtig, oder gibt es einen Fehler?
Siehe oben
> Bei 2.Fall bin ich mir ziemlich sicher, nur wo ich unsicher
> bin, ist, dass wenn a>0, dann auch wirklich ein Wendepunkt
> vorhanden ist.
Stimmt, das musst du noch genau überprüfen!! Setze im Falle $a>0$ die beiden Werte in die dritte Ableitung ein. Du wirst sehen, dass in beiden Fällen ein von $0$ verschiedener Wert rauskommt. Daher handelt es sich in der Tat um Wendestellen.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Jack |
Hi Julius!
Nochmal eine Frage zu den Wendepunkten. Mal angenommen, ich würde jetzt für a 0 einsetzen, dann würde der Wendepunkt ja genau bei (0/0) liegen. Aber das geht doch gar nicht, weil bei dem Definitionsbereich bei der Ausgangsfunktion defenitiv ausgeschlossen ist.
Ausgangsfunktion nochmal: [mm] fa(x)=0,5x^3-(a/x)
[/mm]
Das widerspricht sich doch, oder liege ich dabei falsch?
Gruß Jack
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Jack |
Hi Julius!
Theoretisch könnte man ja noch weiterherumspinnen. Denn mir stellt sich die Frage, ob es überhaupt Wendepunkte gibt, weil ich jetzt mal die Graphen gezeichnet habe (ohne die Wendepunkte zu beachten) für a=5 und a=-5. Ich bekomme bei beiden Funktionen jeweils einen Graphen heraus, wobei sie nie x=0 überschreiten, wegen dem Definitionsbereich ebenhalt. Deshalb frage ich mich, ob es überhaupt Wendepunkte gibt.
Ist alles ein bisschen schwer zu erklären, aber ich hoffe du verstehst auf was ich hinaus will bzw. was für eine Frage sich mir stellt.
Gruß Jack
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jack!
Nein, das kann ich jetzt nicht nachvollziehen. Schaut man sich den roten Graphen an (den für $a=5$), dann sieht man ganz deutlich die beiden Wendepunkte. Umgekehrt sieht man im Falle $a=-5$ auch, dass keine Wendepunkte existieren.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Julius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 So 06.02.2005 | | Autor: | Jack |
Hi Julius!
Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden! Ich hatte bis jetzt immer die Annahme, dass ein Wendepunkt immer nur zwischen Extrempunkten liegen kann, weil es ebenhalt eine "Wende" geben muss, damit erst 2 Extrempunkte entstehen können (in der Schule hatte wir bis jetzt nämlich auch immer nur Aufgaben, wo auch auf jeden Fall Extrempunkte vorkamen). Deshalb hat es mich die ganze Zeit so verwirrt, bei der Aufgabe mit a=5, weil es dei dieser Funktion ja keine Extrempunkte gibt. Ich hoffe, ich habe es jetzt richtig verstanden, dass es auch so Wendepunkte geben kann, auch wenn es keine Extrempunkte gibt.
Bitte schreib nochmal zurück, wenn ich das jetzt so richtig verstanden habe.
Gruß Jack
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 So 06.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jack!
Das hast du ganz ausgezeichnet verstanden! Eine Wendestelle muss nicht zwischen zwei Extremstellen liegen! Schau dir mal die Funktion [mm] $f(x)=x^3$ [/mm] an! Dort ist $x=0$ eine Wendestellen, und es gibt gar keine Extremstellen!
Es gilt aber die Umkehrung unter bestimmten Voraussetungen: Ist $f [mm] :\IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar (also gibt es keine Lücken und Ecken), dann liegt zwischen zwei Extremstellen immer eine Wendestelle. Umgekehrt muss aber eine Wendestelle nicht zwangsläufig zwischen zwei Extremstellen liegen. Verstehst du den Unterschied?
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 So 06.02.2005 | | Autor: | Jack |
Ja, jetzt habe ich alles verstanden und die Aufgabe ist komplett!
Danke vielmals nochmal für deine Hilfe, Geduld und Angagement!!!
Bis demnächst, wenn ich wieder deine Hilfe in Anspruch nehmen muss.
Gruß Jack
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, da habe ich wirklich gepennt. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
