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Kurvendiskussion: Beispiellösung für Martin
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:55 Mo 28.02.2005
Autor: Max

Untersuche die Funktion $f$ mit

A1) [mm] $f(x)=\frac{\left|x^2-2x-3\right|}{2(x+1)}$ [/mm]

A2) [mm] $f(x)=e^x+\left|x^3-2x^2\right|$. [/mm]

        
Bezug
Kurvendiskussion: A1
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Mo 28.02.2005
Autor: Max

1. Definitionsbereich:

Die Funktion $f$ ist nur dann definiert, wenn die Nennerfunktion $n(x)=2(x+1)$ nicht $0$ ist. Wenn die Zählerfunktion [mm] $z(x)=\left|x^2-2x-3\right|$ [/mm] eine gemeinsame Nullstelle mit $n$ hat, handelt es sich evtl. um eine hebbare Stelle, d.h. es gibt eine stetige Fortsetzung der Funktin $f$.

Man erhält die möglichen Definitionslücken, indem man $n$ auf Nullstellen untersucht.

Aus $n(x)=0 [mm] \Rightarrow$ [/mm]

$2(x+1)=0 [mm] \gdw [/mm] x+1=0 [mm] \gdw [/mm] x=-1$

Es gilt $z(-1)=0$. D.h. die Definitionslücke könnte hebbar sein. Dazu müsste man der Funktion $f$ an für $x=-1$ einen Wert zu weisen, so dass die Funktion in $x=-1$ stetig ist.
Da $z(-1)=0$ erkennt man leicht die Faktorisierung [mm] $z(x)=\left|(x+1)(x-3)\right|=|x+1| \cdot [/mm] |x-3|$.
Für $x<-1$ gilt [mm] $f(x)=\frac{|x+1|\cdot |x-3|}{2(x+1)}=\frac{(-x-1)\cdot (-x-3)}{2(x+1)}=\frac{(x+1)(x+3)}{2(x+1)}=\frac{1}{2}(x+3)$. [/mm] Damit müsste $f(-1)=1$ definiert werden.
Für $x>-1$ gilt [mm] $f(x)=\frac{|x+1|\cdot |x+3|}{2(x+1)}=\frac{(x+1)(x+3)}{2(x+1)}=\frac{1}{2}(x+3)$. [/mm] Damit müsste $f(-1)=1$ sein.


Setzt man  $ [mm] f_{-1}(x)=\begin{cases}\frac{\left|x^2-2x-3\right|}{2(x+1)}, & \mbox{für } x \neq -1 \\ 1, & \mbox{für } x=-1 \end{cases}=\frac{1}{2}(x+3)$ [/mm]  ist die Funktion [mm] $f_{-1}$ [/mm] überall stetig definiert.

Also ist  der Definitionsbereich von $f$ gegeben durch [mm] $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. [/mm] Es gibt eine Funktion [mm] $f_{-1}$ [/mm] die an jeder Stelle des Definitionsbereichs mit $f$ übereinstimmt und für $x=-1$ stetig ist [mm] ($\mathbb{D}=\mathbb{R}$). [/mm] Im weiteren werde ich nur noch [mm] $f_{-1}$, [/mm] d.h. die stetige Fortsetzung von $f$, untersuchen, aber trotzdem nur mit $f$ bezeichen (weil es sonst zu viele Indizes werden:-)).

2. Symmetrie:

Wie man bereits aus 1. weiß handelt es sich bei dem Graphen von $f$ um eine Gerade, d.h. die Funktion ist zu jedem Punkt des Graphen punktsymmetrisch (die Untersuchung auf beliebige Symmetrien ist normalerweise nicht erfoderlich).

Die Funktion $f$ ist weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse [mm] ($f(-x)\neq [/mm] f(x)$) noch punktsymmetrisch zum Ursprung ($f(-x)=-f(x)$).


3. Verhalten im Unendlichen:

Die Funktion $f$ verhält sich für [mm] $x\neq [/mm] -1$ wie [mm] $\frac{1}{2}(x+3)$, [/mm] daher gilt:

[mm] $\lim_{x \to \infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty$ [/mm]
[mm] $\lim_{x \to -\infty} [/mm] f(x) = [mm] -\infty$ [/mm]


4. Nullstellen:

Aus $f(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] z(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-3$. Die Nullstelle $x=-1$ des Zählers entfällt ja, da man definiert hat dass $f(-1)=1$ gelten soll. Damit hat $f$ als einzige Nullstelle $N(-3|0)$.


5. Ableitungen:

Die Funktion $f$ wird über den Intervallen [mm] $I_1=(-\infty; [/mm] -1)$ und [mm] $I_2=(-1; \infty)$ [/mm] durch die ganzrationale Funktion [mm] $\frac{1}{2}(x+3)$ [/mm] beschrieben und ist damit über [mm] $I_1$ [/mm] und [mm] $I_2$ [/mm] stetig und beliebig oft differenzierbar mit [mm] $f'(x)=\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $f^{n}(x)=0$ [/mm] für $n >1$. Es beleibt zu zeigen, dass $f$ auch für $x=-1$ differenzierbar ist.

Für den Grenzwert $x [mm] \to [/mm] -1$ gilt:

[mm] $\lim_{x \to -1} [/mm] f(x)= [mm] \lim_{x \to -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} [/mm] = [mm] \lim_{x \to -1} \frac{ \frac{1}{2} \cdot (x+3)-1 }{x+1}=\lim_{x \to -1} \frac{\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}{x+1}=\lim_{x \to -1}\frac{ \frac{1}{2}(x+1)}{x+1}=\lim_{x \to -1} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ [/mm]

Damit ist $f$ überall differenzierbar. Da $f'(x) [mm] =\frac{1}{2}$ [/mm] auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] sind auch an $-1$ alle weiteren Ableitungen $0$.


6. Extrempunkte:

Notwendige Bedingung für Extrempunkte $f'(x)=0$: Wegen [mm] $f'(x)=\frac{1}{2}\neq [/mm] 0$ hat $f$ also keine Extremstellen.

7. []Wendepunkte:

Notwendige Bedingung für Wendepunkte: $f''(x)=0$
Wegen $f''(x)=0$ kommen alle $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] in Frage.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: $f''(x)=0 [mm] \wedge f'''(x)\neq [/mm] 0$
Wegen $f'''(x)=0$ läßt sich aus der hinreichenden Bedingung keine Aussage treffen. Damit wird es nötig $f''$ aus einen Vorzeichenwechsel zu untersuchen. Da $f''$ konstant $0$ ist - und damit keine Vorzeichenwechsel hat, gibt es keinen Wendepunkt.

8. Graph

Bei dem Graphen handelt es sich um die Gerade $y=0,5x+1,5$.


Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: einige Fehler!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 Sa 23.12.2006
Autor: Loddar

Hallo an alle Leser!


Hier sind  Max leider so einige Fehler im Umgang mit den Beträgen unterlaufen.

Zum einen unterschlägt er völlig das Intervall [mm][ \ -1;+3 \ ][/mm] bei der Fallunterscheidung und der Ersatzfunktion [mm]f^{\star}[/mm] .

Nach Kürzen mit dem Nenner verbleibt als Ersatzfunktion immer noch eine Funktion mit Betragsstrichen: [mm]f^{\star}(x) \ = \ \pm\bruch{1}{2}*\red{|}x-3\red{|}[/mm] .


Es verbleibt hier sogar eine Unstetigkeitsstelle bei [mm]x \ = \ -1[/mm] und eine nicht differenzierbare Stelle bei [mm]x \ = \ +3[/mm] .

Dadurch erhalten wir als Sonderfall sogar ein absolutes Maximum ohne Nullstelle der 1. Ableitung.


Dieses Beispiel findet ihr unter MBFunktionsuntersuchung in der MatheBank (wird aber gerade noch überarbeitet, Stand: 23.12.2006).


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Kurvendiskussion: A2
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:26 Di 01.03.2005
Autor: Max

1. Definitionsbereich:

Die Funktion $f$ auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] definiert. Man kann $f$ umformen zu [mm] $f(x)=e^x+\left|x^3-2x^2\right|=e^x+\left|x^2(x-2)\right|=e^x+x^2\cdot \left|x-2\right|=\begin{cases} e^x+x^2(x-2), & \mbox{für } x\ge 2 \\ e^x-x^2(x-2), & \mbox{für } x<2 \end{cases}$. [/mm]

2. Symmetrie:

Die Funktion $f$ weißt keinerlei Symmetrie auf, da der Summand [mm] $e^x$ [/mm] keinerlei Symmetrie hat.


3. Verhalten im Unendlichen:

Für die Funktion $f$ gilt:

[mm] $\lim_{x \to \infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty$ [/mm]
[mm] $\lim_{x \to -\infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty$ [/mm]


4. Nullstellen:

Aus $f(x)=0 [mm] \Rightarrow$ [/mm]

[mm] $e^x+\left|x^3-2x^2\right| [/mm] = 0$

Wegen der Betragsfunktion wird eine Fallunterscheidung notwendig.

1. Fall: $x>2$

[mm] $e^x+x^2(x-2)=0$ [/mm]

Diese Gleichung läßt sich nur numerisch lösen (z.B.Newtonverfahren oder []Regula falsi). Man erhält z.B. mit diesem []Java-Applet als Näherungswerte für die Nullstellen [mm] $x\approx [/mm] 0,494468$. Diese Nullstelle entfällt wegen der Bedingung $x>2$.

2. Fall: $x<2$

[mm] $e^x-x^2(x-2)=0$ [/mm]

Wiederum mit dem Newtonverfahren oder einem geeignetem []Funktionsplotter sieht man, dass es in diesem Fall keine Nullstelle gibt.

Also hat $f$ auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] keine Nullstelle.

5. Ableitungen:


Die Funktion $f$ ist zusammengesetz aus zwei differenzierbaren Funktionen. Daher muss nur noch überprüft werden, ob die Ableitung für $x=2$ existiert und der rechts- und linksseitige Grenzwert übereinstimmen.

Auf dem Intervall [mm] $(-\infty; [/mm] 2)$ gilt:

[mm] $f'(x)=e^x-3x^2+4x$ [/mm]
[mm] $f''(x)=e^x-6x+4$ [/mm]
[mm] $f'''(x)=e^x-6$ [/mm]

Auf dem Intervall $(2; [mm] \infty)$ [/mm] gilt:

[mm] $f'(x)=e^x+3x^2-4x$ [/mm]
[mm] $f''(x)=e^x+6x-4$ [/mm]
[mm] $f'''(x)=e^x+6$ [/mm]

Damit ist $f$ an der Stelle $x=2$ nicht differenzierbar, da [mm] $\lim_{x \to 2} \left(e^x-3x^2+4x\right)= e^2-4 \neq e^2+4 =\lim_{x \to 2} \left(e^x+3x^2-4x\right)$. [/mm] Entsprechendes gilt auch für die
zweie und dritte Ableitungen für $x=2$.

6. Extrempunkte:

Notwendige Bedingung für Extrempunkte $f'(x)=0 [mm] \RightArrow$ [/mm]

Für $x>2$:
[mm] $e^x+3x^2-4x=0$ [/mm]
Die Lösungen lassen sich wiederum nur numerisch bestimmen. In diesem Fall gibt es keine Lösung.

Für $x<2$:
[mm] $e^x-3x^2+4x=0$ [/mm]
$x [mm] \approx [/mm] -0,183051$

Hinreichende Bedingung für Extremstellen: $f'(x)=0 [mm] \wedge f''(x)\neq [/mm] 0$

Wegen [mm] $f''(-0,183051)\approx [/mm]  5,93103 >0$ liegt für $x [mm] \approx [/mm] -0,183051$ ein Tiefpunkt vor.

Die Funktion $f$ hat den Tiefpunkt [mm] $T\approx [/mm] (-0,183051|0,905875)$.

7. []Wendepunkte:

Notwendige Bedingung für Wendepunkte: $f''(x)=0 [mm] \RightArrow$ [/mm]

1. Fall: $x>2$

[mm] $e^x+6x-4=0$ [/mm]
Numerische Lösung $x [mm] \approx [/mm] 0,414418$. Entfällt wegen $x>2$.

2. Fall: $x<2$

[mm] $e^x-6x+4=0$ [/mm]
Numerische Lösungen: $x [mm] \approx [/mm] 2,2535 [mm] \vee [/mm] x [mm] \approx [/mm] 1,24616$. Eine Lösung entfällt wegen $x<2$.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: $f''(x)=0 [mm] \wedge f'''(x)\neq [/mm] 0$

Wegen [mm] $f'''(1,24616)\approx [/mm] -2.52303$ hat $f$ den Wendepunkt [mm] $W\approx [/mm] (24616|4,64762)$.


8. Graph

Selber machen mit []Funkyplot.


9. Kommentar

Die Funktion die du dort ausgewählt hast ist natürlich Dreck ;-) Ich habe sie mal trotzdem diskutiert. Ich hoffe die Beispiele helfen dir...



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