Kurvendiskussion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:51 Mi 07.01.2009 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | Führen Sie für folgende Funktionen eine verkürzte Kurvendiskussion durch
* max. Def-bereich
* Grenzwertverhalten bei [mm] \pm\infty [/mm] und bei Def-lücke
* Extremstellen
* Wendepunkte
* zum Abschluss qualifizierte Skizze der Funktion machen
(i) [mm]f(x)=x\bruch{|x|+1}{x-1}[/mm]
(ii) [mm]f(x)=ax*ln(|ax|)[/mm] mit a>0 |
hallo zusammen!
bleiben wir erst einmal nur bei der ersten.
der def-bereich müsste wie folgt lauten: [mm]D=R\setminus\{1\}[/mm]
das grenzwertverhalten. mmh. was ist damit genau gemeint? soll ich prüfen, ob es einen grenzwert gibt?
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x(|x|+1)}{x-1}[/mm]
hier habe ich einen bruch kann ich dann mit l'hospital was machen?
dabei müsste ich prüfen, ob eine 0/0 oder [mm] \infty/\infty-situation [/mm] vorliegt.
im skript habe ich folgendes stehen, das ich nicht mehr nachvollziehen kann:
[mm] "\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{x}=0/0
[/mm]
wenn x gegen 0
wenn 0 gegen 0
dann nur zähler ableiten
dann nur nenner ableiten
komm ich dann durch 0/0 raus?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)'}{(x)'}=1"
[/mm]
heißt das, dass ich hierbei l'hospital nicht anwenden kann?
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Hallo dicentra!
Bevor Du dich hier an die Aufgabe machst, solltest Du die Betragsstriche eliminieren durch Anwendung der Definition für den Betrag:
$$|x| \ := \ [mm] \begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Das bedeutet hier:
$$f(x) \ = \ [mm] x*\bruch{|x|+1}{x-1} [/mm] \ := \ [mm] \begin{cases}x*\bruch{-x+1}{x-1}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ x*\bruch{+x+1}{x-1}, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Im ersten Fall kann man nun noch etwas zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mi 07.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Bevor Du dich hier an die Aufgabe machst, solltest Du die
> Betragsstriche eliminieren durch Anwendung der Definition
> für den Betrag:
> [mm]|x| \ := \ \begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Das bedeutet hier:
> [mm]f(x) \ = \ x*\bruch{|x|+1}{x-1} \ := \ \begin{cases}x*\bruch{-x+1}{x-1}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ x*\bruch{+x+1}{x-1}, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Im ersten Fall kann man nun noch etwas zusammenfassen.
hi roadrunner, mmh. was kann ich denn im ersten fall noch zusammenfassen was im zweiten fall nicht zusammengefasst werden kann? ich kann doch in beiden fällen das x auf den bruchstrich schreiben... oder meinst du es so:
[mm]\bruch{x*(1-x)}{x-1}[/mm]
[mm]\bruch{x-x^2}{x-1}[/mm] ?
aber das kann ich doch auch beim zweiten fall machen...
[mm]\bruch{x^2+x}{x-1}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Gauss |
Hallo dicentra!
Ich würde es eher mit Kürzen versuchen:
für x<0 ist:
[mm] x*\bruch{|x|+1}{x-1}=x*\bruch{1-x}{x-1}=x*\bruch{-(x-1)}{x-1}=-x
[/mm]
Gauss
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mi 07.01.2009 | | Autor: | dicentra |
okay, heißt das, dass ich prinzipiell eine fallunterscheidung machen muss?
Fall 1: [mm]f(x)=-x, & \mbox{für } x < 0 \mbox{ } \[/mm]
Fall 2: [mm]f(x)=x\cdot{}\bruch{+x+1}{x-1}, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \[/mm]
aber irgendwie weiß ich im moment noch nicht wie mir das bei dem grenzwertproblem hilft.
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> okay, heißt das, dass ich prinzipiell eine
> fallunterscheidung machen muss?
Wenn Betragsstriche auftauchen, ja. In seltenen Fällen können sie entfallen (z.B. nach Quadrieren).
> Fall 1: [mm]f(x)=-x, & \mbox{für } x < 0 \mbox{ } \[/mm]
>
> Fall 2: [mm]f(x)=x\cdot{}\bruch{+x+1}{x-1}, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \[/mm]
>
> aber irgendwie weiß ich im moment noch nicht wie mir das
> bei dem grenzwertproblem hilft.
Na, du schaust jetzt erstmal, ob [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(-x)=\limes_{x\rightarrow 0}x\cdot{}\bruch{x+1}{x-1} [/mm] ist. Angesichts der ursprünglichen Position der Betragsstriche ist das aber zu erwarten. 
Dann hast Du noch eine Definitionslücke bei x=1 zu bearbeiten. Jetzt, wo die Funktion an der Stelle ohne Betrag vorliegt, geht das ja überhaupt erst...
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mi 07.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> > okay, heißt das, dass ich prinzipiell eine
> > fallunterscheidung machen muss?
>
> Wenn Betragsstriche auftauchen, ja. In seltenen Fällen
> können sie entfallen (z.B. nach Quadrieren).
>
> > Fall 1: [mm]f(x)=-x, & \mbox{für } x < 0 \mbox{ } \[/mm]
> >
> > Fall 2: [mm]f(x)=x\cdot{}\bruch{+x+1}{x-1}, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \[/mm]
>
> >
> > aber irgendwie weiß ich im moment noch nicht wie mir das
> > bei dem grenzwertproblem hilft.
>
> Na, du schaust jetzt erstmal, ob [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(-x)=\limes_{x\rightarrow 0}x\cdot{}\bruch{x+1}{x-1}[/mm]
> ist. Angesichts der ursprünglichen Position der
> Betragsstriche ist das aber zu erwarten.
>
> Dann hast Du noch eine Definitionslücke bei x=1 zu
> bearbeiten. Jetzt, wo die Funktion an der Stelle ohne
> Betrag vorliegt, geht das ja überhaupt erst...
>
> lg,
> reverend
wenn rechtsseitiger und linkseitiger grenzwert gleich sind, dann ist die funktion diff-bar.
hier ist doch aber nicht rechtsseitiger und linksseitiger grenzwert gemeint.
es sind doch zwei verschiedene fälle. warum prüfe ich sie auf gleichheit?
und verzeih, ich hab keinen plan, wie ich das machen soll...
irgendwie habe ich mal was vom gpin(?) gehört.
vlt hat wer die muse mir das zu erklären. wäre echt dankbar dafür.
dann die lücke. wozu muss ich die bearbeiten. ich meine, klar, es steht in der aufgabe, aber gibt es da noch was dahinter?
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Hallo, überprüfe mal deine Grenzwerte, hast du denn mal für x=0 eingesetzt? Du solltest dann jeweils den Grenzwert Null erhalten, wenn nicht, stelle doch mal bitte deine Rechnung hier vor! Nun schau dir mal den Nenner an, dort steht x-1, für x=1 erhälst du 1-1=0, jetzt sollten aber die Alarmglocken klingeln, die Division durch Null!!! Jetzt untersuche den Grenzwert für x gegen 1 von links und von rechts, gpin ist mir nicht bekannt,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Do 08.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo, überprüfe mal deine Grenzwerte, hast du denn mal für
> x=0 eingesetzt? Du solltest dann jeweils den Grenzwert Null
> erhalten, wenn nicht, stelle doch mal bitte deine Rechnung
> hier vor! Nun schau dir mal den Nenner an, dort steht x-1,
> für x=1 erhälst du 1-1=0, jetzt sollten aber die
> Alarmglocken klingeln, die Division durch Null!!! Jetzt
> untersuche den Grenzwert für x gegen 1 von links und von
> rechts, gpin ist mir nicht bekannt,
>
> Steffi
>
hallo, warum soll ich denn für x=0 einsetzen?
die definitionslücke ist doch bei x=1 und der grenzwert sol doch gegen unendlich bestimmt werden.
ich habe da folgendes:
[mm]f(x)=x\bruch{-x+1}{x-1} & \mbox{für x<0}[/mm]
da kam ja -x raus.
[mm]\limes_{n\rightarrow\pm\infty}-x=\pm\infty[/mm]
für den anderen fall
[mm]f(x)=x\bruch{x^2+x}{x-1} & \mbox{für x\ge}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\pm\infty}\bruch{x^2+x}{x-1} = x = \pm\infty[/mm]
hier habe ich mir gedacht ich streiche vom bruch alle konstanten und behalte vom zähler und nenner nur den x-anteil vom hächsten grad. dann habe ich noch gekürzt und erhalte das x.
aber was ist mit der definitionslücke?
wenn ich genauso vorgehe wie oben, kommt da zweimal 1 raus?
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Hallo dicentra,
> > Hallo, überprüfe mal deine Grenzwerte, hast du denn mal für
> > x=0 eingesetzt? Du solltest dann jeweils den Grenzwert Null
> > erhalten, wenn nicht, stelle doch mal bitte deine Rechnung
> > hier vor! Nun schau dir mal den Nenner an, dort steht x-1,
> > für x=1 erhälst du 1-1=0, jetzt sollten aber die
> > Alarmglocken klingeln, die Division durch Null!!! Jetzt
> > untersuche den Grenzwert für x gegen 1 von links und von
> > rechts, gpin ist mir nicht bekannt,
> >
> > Steffi
> >
>
> hallo, warum soll ich denn für x=0 einsetzen?
Um zu schauen, ob die Funktion dort einen eindeutigen Wert besitzt.
(ob die Funktion an der Stelle x=0 stetig ist)
>
> die definitionslücke ist doch bei x=1 und der grenzwert sol
> doch gegen unendlich bestimmt werden.
>
> ich habe da folgendes:
>
> [mm]f(x)=x\bruch{-x+1}{x-1} & \mbox{für x<0}[/mm]
>
> da kam ja -x raus.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\pm\infty}-x=\pm\infty[/mm]
>
Hier darfst Du nur den Grenzwert für [mm]x \rightarrow -\infty[/mm] betrachten,
da sich diese Funktion nur ergibt, wenn x<0 ist.
>
> für den anderen fall
>
> [mm]f(x)=x\bruch{x^2+x}{x-1} & \mbox{für x\ge}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\pm\infty}\bruch{x^2+x}{x-1} = x = \pm\infty[/mm]
Hier darfst Du nur den Grenzwert für [mm]x \rightarrow +\infty[/mm] betrachten,
da sich diese Funktion nur ergibt, wenn [mm]x \ge 0[/mm] ist.
>
> hier habe ich mir gedacht ich streiche vom bruch alle
> konstanten und behalte vom zähler und nenner nur den
> x-anteil vom hächsten grad. dann habe ich noch gekürzt und
> erhalte das x.
>
Das geht etwas anders:
[mm]\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x^2+x}{x-1}=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x*\left(x+1\right)}{x*\left(1-\bruch{1}{x}\right)}=\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{x+1}{1-\bruch{1}{x}}=+\infty[/mm]
>
>
> aber was ist mit der definitionslücke?
>
> wenn ich genauso vorgehe wie oben, kommt da zweimal 1
> raus?
Die Definitionslücke ist nur für die Funktion zu betrachten,
die sich für [mm]x \ge 0[/mm] ergibt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 13.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra,
>
> > > Hallo, überprüfe mal deine Grenzwerte, hast du denn mal für
> > > x=0 eingesetzt? Du solltest dann jeweils den Grenzwert Null
> > > erhalten, wenn nicht, stelle doch mal bitte deine Rechnung
> > > hier vor! Nun schau dir mal den Nenner an, dort steht x-1,
> > > für x=1 erhälst du 1-1=0, jetzt sollten aber die
> > > Alarmglocken klingeln, die Division durch Null!!! Jetzt
> > > untersuche den Grenzwert für x gegen 1 von links und von
> > > rechts, gpin ist mir nicht bekannt,
> > >
> > > Steffi
> > >
> >
> > hallo, warum soll ich denn für x=0 einsetzen?
>
>
> Um zu schauen, ob die Funktion dort einen eindeutigen Wert
> besitzt.
> (ob die Funktion an der Stelle x=0 stetig ist)
ich habe mir mal aufgeschrieben, dass eine funktion stetig ist, wenn man sie ohne absetzen zeichnen kann. jetzt ist diese bei x=1 nicht definiert. hier liegt eine polstelle vor, wie die zeichnung zeigt. doch wie kommt man denn darauf, dass es sich um eine polstelle handelt? dafür muss man doch berechnen, ob die definitionslücke hebbar ist oder nicht. wenn ja, hat man eine sprungstelle, wenn nicht eine polstelle. so, wie prüfe ich darauf? indem ich prüfe, ob die nullstellen kürzbar sind. das mach ich mal:
zähler: x+1=0
also: x=-1
nenner: x-1=0
also: x=1
demnach nicht kürzbar, also polstelle. ist das richtig?
nun noch mal zur stetigkeit. das habe ich nicht ganz verstanden.
warum soll die funktion denn keinen eindeutigen wert da haben, wenn doch das mit dem definitionsbereich hinhaut?
und noch eine frage zum grenzwert bei definitionslücke.
dort muss ich mich von beiden seiten nähern, um zu kucken was die funktion im bereich minimal vor und nach der 1 macht. meine frage ist hierbei, setze ich da einfach werte ein?
[mm]f(0,999999)=0,999999\bruch{0,999999+1}{0,999999-1}[/mm]
[mm]\limes_{x \to 1^{-}}=-\infty[/mm]
für die andere seite kommt [mm] +\infty [/mm] raus.
mmh, oder habe ich hiermit bewiesen, dass es eine polstelle ist?
oder musste das hier sogar rauskommen, weil auch die nicht hebbarkeit rausgekommen ist?
demnach müsste das grenzwertverhalten bei nicht behebaren definitionslücke doch immer gegen [mm] \pm\infty [/mm] gehen. macht für mich grade sinn  ...
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Hallo dicentra,
> > Hallo dicentra,
> >
> > > > Hallo, überprüfe mal deine Grenzwerte, hast du denn mal für
> > > > x=0 eingesetzt? Du solltest dann jeweils den Grenzwert Null
> > > > erhalten, wenn nicht, stelle doch mal bitte deine Rechnung
> > > > hier vor! Nun schau dir mal den Nenner an, dort steht x-1,
> > > > für x=1 erhälst du 1-1=0, jetzt sollten aber die
> > > > Alarmglocken klingeln, die Division durch Null!!! Jetzt
> > > > untersuche den Grenzwert für x gegen 1 von links und von
> > > > rechts, gpin ist mir nicht bekannt,
> > > >
> > > > Steffi
> > > >
> > >
> > > hallo, warum soll ich denn für x=0 einsetzen?
> >
> >
> > Um zu schauen, ob die Funktion dort einen eindeutigen Wert
> > besitzt.
> > (ob die Funktion an der Stelle x=0 stetig ist)
>
> ich habe mir mal aufgeschrieben, dass eine funktion stetig
> ist, wenn man sie ohne absetzen zeichnen kann. jetzt ist
> diese bei x=1 nicht definiert. hier liegt eine polstelle
> vor, wie die zeichnung zeigt. doch wie kommt man denn
> darauf, dass es sich um eine polstelle handelt? dafür muss
> man doch berechnen, ob die definitionslücke hebbar ist oder
> nicht. wenn ja, hat man eine sprungstelle, wenn nicht eine
> polstelle. so, wie prüfe ich darauf? indem ich prüfe, ob
> die nullstellen kürzbar sind. das mach ich mal:
>
> zähler: x+1=0
> also: x=-1
>
> nenner: x-1=0
> also: x=1
>
> demnach nicht kürzbar, also polstelle. ist das richtig?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Im Grund hast Du eine Polstelle vorliegen, wenn die Vielfachheit der Nullstelle(n) des Nenners größer der Vielfachheit derselben Nullstellen im Zähler ist.
Beispiel:
Die Funktion [mm]f_{1}\left(x\right)=\bruch{x^{2}-1}{x+1}[/mm] ist an der Stelle x=-1 nicht definiert, also Polstelle.
Diese Polstelle ist aber hebbar:
[mm]f_{1}\left(x\right)=\bruch{x^{2}-1}{x+1}=\bruch{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}=x-1[/mm]
Beispiel 2:
Die Funktion [mm]f_{1}\left(x\right)=\bruch{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}[/mm] ist an der Stelle x=-1 nicht definiert, also Polstelle.
Diese Polstelle ist auch nicht hebbar, da
[mm]x^{2}-1=\left(x+1\right)*\left(x-1\right)[/mm]
[mm]x^{2}+2x+1=\left(x+1\right)\left(x+1\right)[/mm]
Demnach ist die Vielfachheit der Nullstelle x=-1 im Nenner größer als im Zähler.
>
>
> nun noch mal zur stetigkeit. das habe ich nicht ganz
> verstanden.
> warum soll die funktion denn keinen eindeutigen wert da
> haben, wenn doch das mit dem definitionsbereich hinhaut?
>
Na ja, mit der Betragsfunktion ist das so eine Sache.
Hier muß man untersuchen:
[mm]\limes_{x \rightarrow 0,x<0}-x[/mm]
und
[mm]\limes_{x \rightarrow 0,x>0}x*\bruch{x+1}{x-1}[/mm]
Gilt hier die Gleichheit:
[mm]\limes_{x \rightarrow 0,x<0}-x=\limes_{x \rightarrow 0,x>0}x*\bruch{x+1}{x-1}[/mm]
dann ist die so definierte Funktion auch für x=0 stetig.
>
>
> und noch eine frage zum grenzwert bei definitionslücke.
> dort muss ich mich von beiden seiten nähern, um zu kucken
> was die funktion im bereich minimal vor und nach der 1
> macht. meine frage ist hierbei, setze ich da einfach werte
> ein?
>
> [mm]f(0,999999)=0,999999\bruch{0,999999+1}{0,999999-1}[/mm]
Hier betrachtest Du die Vorzeichen von Zähler und Nenner:
Für [mm]0
[mm]x*\left(x+1\right)>0[/mm] und [mm]x-1<0[/mm]
Demnach ist
[mm]\limes_{x \rightarrow 1, x<1}x*\bruch{x+1}{x-1}=-\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x \to 1^{-}}=-\infty[/mm]
>
>
> für die andere seite kommt [mm]+\infty[/mm] raus.
> mmh, oder habe ich hiermit bewiesen, dass es eine polstelle
> ist?
> oder musste das hier sogar rauskommen, weil auch die nicht
> hebbarkeit rausgekommen ist?
>
> demnach müsste das grenzwertverhalten bei nicht behebaren
> definitionslücke doch immer gegen [mm]\pm\infty[/mm] gehen. macht
> für mich grade sinn ...
Nicht immer, der Grenzwert kann auch nur [mm]-\infty[/mm] oder [mm]+\infty[/mm] sein.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 07.01.2009 | | Autor: | dicentra |
ich befasse mich grade auch schon mal mit den extremstellen.
etwas zum verständnis.
die erste ableitung lautet: [mm]f(x)=\bruch{-x^2+2x+1}{(x-1)^2}[/mm]
setz ich das gleich null finde ich die kandidaten für die extremstellen.
die zwei ergebnisse setzte ich für x in die zweite ableitung ein, die da lautet:
[mm]f(x)=\bruch{4}{(x-1)^3}[/mm]
sollten das ergebnis größer null sein, habe ich ein maximum,
wenn kleiner ein minimum.
für den wendepunkt gilt: ein wendepunkt kann vorliegen, wo f''(x)=0 ist.
hier kommt aber raus 4=0 also habe ich hier keine wendepunkte.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Di 13.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra,
>
> > ich befasse mich grade auch schon mal mit den
> > extremstellen.
> > etwas zum verständnis.
> >
> > die erste ableitung lautet:
> > [mm]f(x)=\bruch{-x^2+2x+1}{(x-1)^2}[/mm]
>
>
> Kleiner Vorzeichenfehler:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\red{+}x^2\red{-}2x\red{-}1}{(x-1)^2}[/mm]
>
>
> >
> > setz ich das gleich null finde ich die kandidaten für die
> > extremstellen.
>
>
> Beachte aber hier, daß nur Extremstellen [mm]x \ge 0[/mm] zu
> berücksichtigen sind, da diese Funktion nur für [mm]x \ge 0[/mm]
> gilt.
>
>
> > die zwei ergebnisse setzte ich für x in die zweite
> > ableitung ein, die da lautet:
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{4}{(x-1)^3}[/mm]
>
>
>
>
>
> >
> > sollte das ergebnis größer null sein, habe ich ein
> > maximum,
> > wenn kleiner ein minimum.
> >
>
>
>
ich habe hier nun als kandidat mittels 1. ableitung nullsetzen [mm] 1+\wurzel{2} [/mm] raus. [mm] 1-\wurzel{2} [/mm] fällt ja raus.
setz ich das in die zweite ableitung ein, kommt da 1,414 raus. somit habe ich da ein maximum vorliegen.
doch wo finde ich das in der zeichnung wieder?
die skizze kann ich aus den errechneten werten zeichnen!?
was ich verstanden habe ist, dass ich die polstelle bei der definitionslücke habe.
wo kommt die funktion denn im 1. quadrant her?
müsste sie nicht eigentlich fallen, wenn ich ein maximum habe?
danke schon mal, dic
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Hallo dicentra,
> > Hallo dicentra,
> >
> > > ich befasse mich grade auch schon mal mit den
> > > extremstellen.
> > > etwas zum verständnis.
> > >
> > > die erste ableitung lautet:
> > > [mm]f(x)=\bruch{-x^2+2x+1}{(x-1)^2}[/mm]
> >
> >
> > Kleiner Vorzeichenfehler:
> >
> > [mm]f'(x)=\bruch{\red{+}x^2\red{-}2x\red{-}1}{(x-1)^2}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > setz ich das gleich null finde ich die kandidaten für die
> > > extremstellen.
> >
> >
> > Beachte aber hier, daß nur Extremstellen [mm]x \ge 0[/mm] zu
> > berücksichtigen sind, da diese Funktion nur für [mm]x \ge 0[/mm]
> > gilt.
> >
> >
> > > die zwei ergebnisse setzte ich für x in die zweite
> > > ableitung ein, die da lautet:
> > >
> > > [mm]f(x)=\bruch{4}{(x-1)^3}[/mm]
> >
> >
> >
> >
> >
> > >
> > > sollte das ergebnis größer null sein, habe ich ein
> > > maximum,
> > > wenn kleiner ein minimum.
> > >
> >
> >
> >
>
> ich habe hier nun als kandidat mittels 1. ableitung
> nullsetzen [mm]1+\wurzel{2}[/mm] raus. [mm]1-\wurzel{2}[/mm] fällt ja raus.
> setz ich das in die zweite ableitung ein, kommt da 1,414
> raus. somit habe ich da ein maximum vorliegen.
Nein, da liegt ein Minimum vor,
wie Du leicht am Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung feststellen kannst.
> doch wo finde ich das in der zeichnung wieder?
>
>
> die skizze kann ich aus den errechneten werten zeichnen!?
> was ich verstanden habe ist, dass ich die polstelle bei
> der definitionslücke habe.
> wo kommt die funktion denn im 1. quadrant her?
> müsste sie nicht eigentlich fallen, wenn ich ein maximum
> habe?
Das ist schon richtig, hier liegt aber ein Minimum vor.
>
> danke schon mal, dic
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Di 13.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra,
>
>
> > > Hallo dicentra,
> > >
> > > > ich befasse mich grade auch schon mal mit den
> > > > extremstellen.
> > > > etwas zum verständnis.
> > > >
> > > > die erste ableitung lautet:
> > > > [mm]f(x)=\bruch{-x^2+2x+1}{(x-1)^2}[/mm]
> > >
> > >
> > > Kleiner Vorzeichenfehler:
> > >
> > > [mm]f'(x)=\bruch{\red{+}x^2\red{-}2x\red{-}1}{(x-1)^2}[/mm]
> > >
> > >
> > > >
> > > > setz ich das gleich null finde ich die kandidaten für die
> > > > extremstellen.
> > >
> > >
> > > Beachte aber hier, daß nur Extremstellen [mm]x \ge 0[/mm] zu
> > > berücksichtigen sind, da diese Funktion nur für [mm]x \ge 0[/mm]
> > > gilt.
> > >
> > >
> > > > die zwei ergebnisse setzte ich für x in die zweite
> > > > ableitung ein, die da lautet:
> > > >
> > > > [mm]f(x)=\bruch{4}{(x-1)^3}[/mm]
> > >
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> > > >
> > > > sollte das ergebnis größer null sein, habe ich ein
> > > > maximum,
> > > > wenn kleiner ein minimum.
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> > >
> > >
> >
> > ich habe hier nun als kandidat mittels 1. ableitung
> > nullsetzen [mm]1+\wurzel{2}[/mm] raus. [mm]1-\wurzel{2}[/mm] fällt ja raus.
> > setz ich das in die zweite ableitung ein, kommt da
> 1,414
> > raus. somit habe ich da ein maximum vorliegen.
>
>
> Nein, da liegt ein Minimum vor,
> wie Du leicht am Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung
> feststellen kannst.
welchen vorzeichenwechsel der 1. ableitung meinst du?
wenn ich doch das ergebnis des kandidaten in f''(x) einsetz, das daraus resultierende positiv ist, ist das doch ein maximum....
gruß
dic
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Hallo dicentra,
> > Hallo dicentra,
> >
> >
> > > > Hallo dicentra,
> > > >
> > > > > ich befasse mich grade auch schon mal mit den
> > > > > extremstellen.
> > > > > etwas zum verständnis.
> > > > >
> > > > > die erste ableitung lautet:
> > > > > [mm]f(x)=\bruch{-x^2+2x+1}{(x-1)^2}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Kleiner Vorzeichenfehler:
> > > >
> > > > [mm]f'(x)=\bruch{\red{+}x^2\red{-}2x\red{-}1}{(x-1)^2}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > setz ich das gleich null finde ich die kandidaten für die
> > > > > extremstellen.
> > > >
> > > >
> > > > Beachte aber hier, daß nur Extremstellen [mm]x \ge 0[/mm] zu
> > > > berücksichtigen sind, da diese Funktion nur für [mm]x \ge 0[/mm]
> > > > gilt.
> > > >
> > > >
> > > > > die zwei ergebnisse setzte ich für x in die zweite
> > > > > ableitung ein, die da lautet:
> > > > >
> > > > > [mm]f(x)=\bruch{4}{(x-1)^3}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > sollte das ergebnis größer null sein, habe ich ein
> > > > > maximum,
> > > > > wenn kleiner ein minimum.
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> > > ich habe hier nun als kandidat mittels 1. ableitung
> > > nullsetzen [mm]1+\wurzel{2}[/mm] raus. [mm]1-\wurzel{2}[/mm] fällt ja raus.
> > > setz ich das in die zweite ableitung ein, kommt da
> > 1,414
> > > raus. somit habe ich da ein maximum vorliegen.
> >
> >
> > Nein, da liegt ein Minimum vor,
> > wie Du leicht am Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung
> > feststellen kannst.
>
> welchen vorzeichenwechsel der 1. ableitung meinst du?
Betrachte hier den Wert der 1.Ableitung für [mm]x<1+\wurzel{2}[/mm] und [mm]x>1+\wurzel{2}[/mm]
>
> wenn ich doch das ergebnis des kandidaten in f''(x)
> einsetz, das daraus resultierende positiv ist, ist das doch
> ein maximum....
Das ist ein Minimum.
>
> gruß
> dic
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Mi 14.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra,
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> > > Hallo dicentra,
> > >
> > >
> > > > > Hallo dicentra,
> > > > >
> > > > > > ich befasse mich grade auch schon mal mit den
> > > > > > extremstellen.
> > > > > > etwas zum verständnis.
> > > > > >
> > > > > > die erste ableitung lautet:
> > > > > > [mm]f(x)=\bruch{-x^2+2x+1}{(x-1)^2}[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > Kleiner Vorzeichenfehler:
> > > > >
> > > > > [mm]f'(x)=\bruch{\red{+}x^2\red{-}2x\red{-}1}{(x-1)^2}[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > setz ich das gleich null finde ich die kandidaten für die
> > > > > > extremstellen.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Beachte aber hier, daß nur Extremstellen [mm]x \ge 0[/mm] zu
> > > > > berücksichtigen sind, da diese Funktion nur für [mm]x \ge 0[/mm]
> > > > > gilt.
> > > > >
> > > > >
> > > > > > die zwei ergebnisse setzte ich für x in die zweite
> > > > > > ableitung ein, die da lautet:
> > > > > >
> > > > > > [mm]f(x)=\bruch{4}{(x-1)^3}[/mm]
> > > > >
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> > > > > >
> > > > > > sollte das ergebnis größer null sein, habe ich ein
> > > > > > maximum,
> > > > > > wenn kleiner ein minimum.
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> > > > ich habe hier nun als kandidat mittels 1. ableitung
> > > > nullsetzen [mm]1+\wurzel{2}[/mm] raus. [mm]1-\wurzel{2}[/mm] fällt ja raus.
> > > > setz ich das in die zweite ableitung ein, kommt
> da
> > > 1,414
> > > > raus. somit habe ich da ein maximum vorliegen.
> > >
> > >
> > > Nein, da liegt ein Minimum vor,
> > > wie Du leicht am Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung
> > > feststellen kannst.
> >
> > welchen vorzeichenwechsel der 1. ableitung meinst du?
>
>
> Betrachte hier den Wert der 1.Ableitung für [mm]x<1+\wurzel{2}[/mm]
> und [mm]x>1+\wurzel{2}[/mm]
tut mir leid,
[mm]1+\wurzel{2}[/mm] ist doch ein wert der ersten ableitung ?
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Hallo dicentra,
> > Hallo dicentra,
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> > > > Hallo dicentra,
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> > > > > > > ich befasse mich grade auch schon mal mit den
> > > > > > > extremstellen.
> > > > > > > etwas zum verständnis.
> > > > > > >
> > > > > > > die erste ableitung lautet:
> > > > > > > [mm]f(x)=\bruch{-x^2+2x+1}{(x-1)^2}[/mm]
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> > > > > >
> > > > > > Kleiner Vorzeichenfehler:
> > > > > >
> > > > > > [mm]f'(x)=\bruch{\red{+}x^2\red{-}2x\red{-}1}{(x-1)^2}[/mm]
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> > > > > > > setz ich das gleich null finde ich die kandidaten für die
> > > > > > > extremstellen.
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> > > > > > Beachte aber hier, daß nur Extremstellen [mm]x \ge 0[/mm] zu
> > > > > > berücksichtigen sind, da diese Funktion nur für [mm]x \ge 0[/mm]
> > > > > > gilt.
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> > > > > > > die zwei ergebnisse setzte ich für x in die zweite
> > > > > > > ableitung ein, die da lautet:
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> > > > > > > [mm]f(x)=\bruch{4}{(x-1)^3}[/mm]
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> > > > > > > sollte das ergebnis größer null sein, habe ich ein
> > > > > > > maximum,
> > > > > > > wenn kleiner ein minimum.
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> > > > > ich habe hier nun als kandidat mittels 1. ableitung
> > > > > nullsetzen [mm]1+\wurzel{2}[/mm] raus. [mm]1-\wurzel{2}[/mm] fällt ja raus.
> > > > > setz ich das in die zweite ableitung ein,
> kommt
> > da
> > > > 1,414
> > > > > raus. somit habe ich da ein maximum vorliegen.
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> > > > Nein, da liegt ein Minimum vor,
> > > > wie Du leicht am Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung
> > > > feststellen kannst.
> > >
> > > welchen vorzeichenwechsel der 1. ableitung meinst du?
> >
> >
> > Betrachte hier den Wert der 1.Ableitung für [mm]x<1+\wurzel{2}[/mm]
> > und [mm]x>1+\wurzel{2}[/mm]
>
> tut mir leid,
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> [mm]1+\wurzel{2}[/mm] ist doch ein wert der ersten ableitung ?
>
[mm]1+\wurzel{2}[/mm] ist eine Nullstelle der ersten Ableitung.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:46 Mi 14.01.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra,
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> > > Hallo dicentra,
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> > > > > Hallo dicentra,
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> > > > > > > Hallo dicentra,
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> > > > > > > > ich befasse mich grade auch schon mal mit den
> > > > > > > > extremstellen.
> > > > > > > > etwas zum verständnis.
> > > > > > > >
> > > > > > > > die erste ableitung lautet:
> > > > > > > > [mm]f(x)=\bruch{-x^2+2x+1}{(x-1)^2}[/mm]
> > > > > > >
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> > > > > > > Kleiner Vorzeichenfehler:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]f'(x)=\bruch{\red{+}x^2\red{-}2x\red{-}1}{(x-1)^2}[/mm]
> > > > > > >
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> > > > > > > > setz ich das gleich null finde ich die kandidaten für die
> > > > > > > > extremstellen.
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> > > > > > >
> > > > > > > Beachte aber hier, daß nur Extremstellen [mm]x \ge 0[/mm] zu
> > > > > > > berücksichtigen sind, da diese Funktion nur für [mm]x \ge 0[/mm]
> > > > > > > gilt.
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> > > > > > > > die zwei ergebnisse setzte ich für x in die zweite
> > > > > > > > ableitung ein, die da lautet:
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]f(x)=\bruch{4}{(x-1)^3}[/mm]
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> > > > > > > > sollte das ergebnis größer null sein, habe ich ein
> > > > > > > > maximum,
> > > > > > > > wenn kleiner ein minimum.
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> > > > > >
> > > > > > ich habe hier nun als kandidat mittels 1. ableitung
> > > > > > nullsetzen [mm]1+\wurzel{2}[/mm] raus. [mm]1-\wurzel{2}[/mm] fällt ja raus.
> > > > > > setz ich das in die zweite ableitung ein,
> > kommt
> > > da
> > > > > 1,414
> > > > > > raus. somit habe ich da ein maximum vorliegen.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Nein, da liegt ein Minimum vor,
> > > > > wie Du leicht am Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung
> > > > > feststellen kannst.
> > > >
> > > > welchen vorzeichenwechsel der 1. ableitung meinst du?
> > >
> > >
> > > Betrachte hier den Wert der 1.Ableitung für [mm]x<1+\wurzel{2}[/mm]
> > > und [mm]x>1+\wurzel{2}[/mm]
> >
> > tut mir leid,
> >
> > [mm]1+\wurzel{2}[/mm] ist doch ein wert der ersten ableitung ?
> >
>
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> [mm]1+\wurzel{2}[/mm] ist eine Nullstelle der ersten Ableitung.
ah ja, okay. aber was ist denn der wert der 1. ableitung?
und wenn ich die probe der nullstelle mache kommt da was ganz anderes raus.
setze ich in den zähler [mm]1+\wurzel{2}[/mm] ein kommt da [mm] 1^{-11} [/mm] raus? sollte doch eigentlich null geben.
da müsste doch null raus kommen. und null durch den nenner is ja dann auch null...
gruß, dic
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> > > > > > > > [mm]f'(x)=\bruch{\red{+}x^2\red{-}2x\red{-}1}{(x-1)^2}[/mm]
> > > > > > > > Beachte aber hier, daß nur Extremstellen [mm]x \ge 0[/mm] zu
> > > > > > > > berücksichtigen sind, da diese Funktion nur für [mm]x \ge 0[/mm]
> > > > > > > > gilt.
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > > die zwei ergebnisse setzte ich für x in die zweite
> > > > > > > > > ableitung ein, die da lautet:
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > [mm]f''(x)=\bruch{4}{(x-1)^3}[/mm]
>
> > > > > > > ich habe hier nun als kandidat mittels 1. ableitung
> > > > > > > nullsetzen [mm]1+\wurzel{2}[/mm] raus. [mm]1-\wurzel{2}[/mm] fällt ja raus.
> > > > > > > setz ich das in die zweite ableitung
> ein,
> > > kommt
> > > > da
> > > > > > 1,414
> > > > > > > raus. somit habe ich da ein maximum vorliegen.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Nein, da liegt ein Minimum vor,
> > > > Betrachte hier den Wert der 1.Ableitung für [mm]x<1+\wurzel{2}[/mm]
> > > > und [mm]x>1+\wurzel{2}[/mm]
> > >
> > > tut mir leid,
> > >
> > > [mm]1+\wurzel{2}[/mm] ist doch ein wert der ersten ableitung ?
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> > [mm]1+\wurzel{2}[/mm] ist eine Nullstelle der ersten Ableitung.
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> ah ja, okay. aber was ist denn der wert der 1. ableitung?
Hallo,
wenn Du über den Wert der erten Ableitung sprechen möchtest, gehört dazu die Angabe der Stelle, an welcher man den Wert betrachtet.
Der Wert der 1. Ableitung an der Stelle 2 ist z.B. [mm] f'(2)=\bruch{2^2-2*2-1}{(2-1)^2}=-1.
[/mm]
Du sollst nun das Vorzeichen der Funktionswerte anschauen, die dicht rechts und dicht links der Stelle [mm] x=1+\wurzel{2} [/mm] liegen.
>
> und wenn ich die probe der nullstelle mache kommt da was
> ganz anderes raus.
> setze ich in den zähler [mm]1+\wurzel{2}[/mm] ein kommt da [mm]1^{-11}[/mm]
> raus? sollte doch eigentlich null geben.
Wenn man richtig rechnet, kommt auch 0 heraus. Rechne vor.
Gruß v. Angela
> da müsste doch null raus kommen. und null durch den nenner
> is ja dann auch null...
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> gruß, dic
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:53 Mi 14.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo dicentra,
wenn Dein Taschenrechner Werte wie [mm] 1^{-11} [/mm] anzeigt, dann gibt es zweierlei zu beachten: erstens steht das für [mm] 1*10^{-11}, [/mm] zweitens ist das schon verflixt nah an Null. Dann glaub dem Gerät einfach nicht alles, es rechnet nur viel schneller als Du, aber nicht genauer. Taschenrechner ausschalten, Hirn einschalten, ggf. den Wert "von Hand" (oder "zu Fuß") überprüfen.
Das gilt genauso für den typischen verdächtigen Wert 0,9999999999. Das sieht eher nach Rechenfehler aus. Gemeint ist da doch wahrscheinlich [mm] 0,\overline{9}=1.
[/mm]
lg,
reverend
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> Hallo dicentra,
>
> wenn Dein Taschenrechner Werte wie [mm]1^{-11}[/mm] anzeigt,
Oh.
Ich bin nicht darauf gekommen, daß jemand so etwas mit dem Taschenrechner rechnet.
Gruß v. Angela
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