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Hallo,
ich habe die Funtkion
[mm] 1/2x+\wurzel{3-2x-x^2}+1/2
[/mm]
Ich soll den Definitionsbereich und die Extrema bestimmen.
Aber ich habe schon ein Problem mit dem Definitionsbereich.
Die Wurzel darf nicht 0 werden, also [mm] 3-2x-x^2=0 [/mm] berechnen. Aber wenn ich pq anwende habe ich 1-3 unter der Wurzel.
Und die Ableitung ist mir auch nicht gelungen. Es bleibt 1/2, aber was ist mit der Wurzel? Ich kann sie schreiben als [mm] (3-2x-x^2)^{1/2}, [/mm] dann [mm] 1/2(3-2x-x^2)^{-1/2}, [/mm] aber fehlt da nicht noch was? Wie schreibe ich außerdem diesen Ausdruck wieder als Bruch, damit tu ich mir schwer, wegen des Bruchs vorne und dem Minus im Exponent.
Lieben Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe die Funtkion
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> [mm]1/2x+\wurzel{3-2x-x^2}+1/2[/mm]
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> Ich soll den Definitionsbereich und die Extrema bestimmen.
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> Aber ich habe schon ein Problem mit dem Definitionsbereich.
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> Die Wurzel darf nicht 0 werden,
doch, sie darf [mm] $\,=\,0$ [/mm] werden, aber der Term unter der Wurzel (Radikand/Wurzelbasis) sollte es tunlichst vermeiden, [mm] $<\,0$ [/mm] zu werden (zumindest, wenn Deine Funktion nach [mm] $\IR$ [/mm] abbilden soll; ansonsten einigt man sich manchmal darauf, [mm] $\sqrt{-x}:=\sqrt{x}*i$ [/mm] ($x > 0$) zu interpretieren).
> also [mm]3-2x-x^2=0[/mm] berechnen.
> Aber wenn ich pq anwende habe ich 1-3 unter der Wurzel.
Wie wendest Du das denn an? Du kannst ja den Term unter der Wurzel $=0$ setzen, und Dir danach überlegen, für genau welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] dieser [mm] $\ge [/mm] 0$ ist. Für genau diese $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist die Funktion dann definiert.
D.h.
[mm] $$3-2x-x^2=0 \gdw x^2+\underbrace{2}_{=p}x+\underbrace{(-3)}_{=q}=0\,.$$
[/mm]
Mit der [mm] $pq\,-$Formel [/mm] erhälst Du dann [mm] $x_{1,2}=-1\pm \sqrt{1+3}\,,$ [/mm] also [mm] $x_1=1$ [/mm] und [mm] $x_2=-3\,.$
[/mm]
Übrigens: Ist $1/2x$ bei Dir als $(1/2)x$, oder als $1/(2x)$ zu lesen? Entweder bitte Klammern setzen, oder schreibe mit dem Formeleditor [mm] [nomm]$\bruch{1}{2x}$[/nomm] [/mm] bzw. [mm] [nomm]$\frac{1}{2}x$[/nomm], [/mm] dann ist klar, was Du meinst. Offenbar meinst Du aber [mm] $1/2x=\frac{1}{2}x\,,$ [/mm] das entnehme ich den folgenden Überlegungen Deinerseits.
Nun musst Du Dir noch überlegen, für genau welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass [mm] $3-2x-x^2=-(x^2+2x-3)=-(x-x_1)*(x-x_2)=-(x-1)(x+3) \ge [/mm] 0$ gilt.
> Und die Ableitung ist mir auch nicht gelungen. Es bleibt
> 1/2, aber was ist mit der Wurzel? Ich kann sie schreiben
> als [mm](3-2x-x^2)^{1/2},[/mm] dann [mm]1/2(3-2x-x^2)^{-1/2},[/mm] aber fehlt
> da nicht noch was?
Doch, da fehlt die innere Ableitung (Kettenregel!). Und zwar:
Betrachte [mm] $h(x):=\sqrt{3-2x-x^2}$ [/mm] (auf ihrem größtmöglichen Definitionsbereich [mm] $\subset \IR$). [/mm] Dann gilt mit [mm] $f(g)=\sqrt{g}$ [/mm] und [mm] $g(x):=3-2x-x^2\,,$ [/mm] dass $h=f [mm] \circ g\,,$ [/mm] also nach der Kettenregel
[mm] $h\!\,'(x)=(f\circ g)\!\,'(x)=(f(g(x)))\!\,'=f\!\,'(g(x))*g\!\,'(x)\,.$
[/mm]
Du hast oben [mm] $f\!\,'(g(x))=\frac{1}{2}(3-2x-x^2)^{-1/2}$ [/mm] stehen, aber Dir fehlt noch [mm] $g\!\,'(x)\,,$ [/mm] was Du da noch dran multiplizieren musst.
> Wie schreibe ich außerdem diesen
> Ausdruck wieder als Bruch, damit tu ich mir schwer, wegen
> des Bruchs vorne und dem Minus im Exponent.
Es gelten (grob, d.h. ohne Erwähnung der genauen Voraussetzungen) die Rechenregeln [mm] $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ [/mm] und [mm] $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\,.$ [/mm] Damit ist [mm] $(3-2x-x^2)^{-1/2}=\frac{1}{(3-2x-x^2)^{1/2}}=\frac{1}{\sqrt[2]{3-2x-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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