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| Aufgabe | [mm] f(x)=x^4+4x^2
[/mm]
Grenzverhalten:
[mm] x^2(x^2+4)
[/mm]
Wendestellen:
[mm] f''(x)=12x^2+8
[/mm]
[mm] =4(3x^2+2)
[/mm]
Die notwendige Bedingung wird nicht erfüllt.
Wertebreich:
?
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Hallo,
ich hab paar Fragen zu obrigen Punkten.
Zum Grenzverhalten:
Meine Lehrerin meinte, so wie ich das zumindest verstanden habe, dass man es bestimmen kann, indem man zuerst den größten Exponenten ausklammert.
Brauche ich in diesem Fall nicht einfach zu gucken ob der größte ausgeklammerte Exponent gerade oder ungerade ist? (bei gerade wird der grenzwert immer positiv und bei ungeraden immer negativ)
Oder muss man da noch irgendeine Rechnung aufschreiben?
Wie bestimmt man den Wertebreich? Wozu brauche ich es?
Wann sehe ich einer Funktion an, dass ich polynomdivision anwenden muss? Wenn der Exponent höher ist als 2?
Gruß und vielen Dank für eure Mühe!
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Hallo Tokhey-Itho,
> [mm]f(x)=x^4+4x^2[/mm]
>
> Grenzverhalten:
>
> [mm]x^2(x^2+4)[/mm]
>
> Wendestellen:
>
> [mm]f''(x)=12x^2+8[/mm]
> [mm]=4(3x^2+2)[/mm]
> Die notwendige Bedingung wird nicht erfüllt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Begründe kurz, wieso nicht ...
>
> Wertebreich:
> ?
>
>
> Hallo,
>
> ich hab paar Fragen zu obrigen Punkten.
>
> Zum Grenzverhalten:
>
> Meine Lehrerin meinte, so wie ich das zumindest verstanden
> habe, dass man es bestimmen kann, indem man zuerst den
> größten Exponenten ausklammert.
> Brauche ich in diesem Fall nicht einfach zu gucken ob der
> größte ausgeklammerte Exponent gerade oder ungerade ist?
> (bei gerade wird der grenzwert immer positiv und bei
> ungeraden immer negativ)
Ja, wenn du die Funktion wie hier in ein Produkt aufteilen kannst, musst du schauen, wie die einzelnen Faktoren sich für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] verhalten.
Es könnte ja sein, dass der eine Faktor etwa für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt und der andere gegen $-1$, dann würde das Ganze gegen [mm] $-\infty$ [/mm] streben.
Hier ist es so, dass in [mm] $x^2(x^2+4)$ [/mm] sowohl [mm] $x^2$ [/mm] als auch [mm] $x^2+4$ [/mm] für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$ [/mm] streben, das Produkt und damit die Ausgangsfunktion also gegen [mm] "\infty\cdot{}\infty=\infty"
[/mm]
Es genügt aber, sich die höchste Potenz von x anzusehen (mitsamt dem Koeffizienten), um zu entscheiden, wogengen das Ding strebt
Hier ist das [mm] $\red{1}\cdot{}x^4+....$ [/mm] Das strebt für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$
[/mm]
anders etwa bei [mm] $\red{-3}x^4+...$, [/mm] das strebt für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] gegen [mm] $-\infty$
[/mm]
Noch ne Möglichkeit: höchste Potenz ausklammern: [mm] $x^4+4x^2=x^4\cdot{}\left(1+\frac{4}{x^2}\right)$
[/mm]
Hier kannst du das Grenzverhalten gut ablesen: was passiert mit dem [mm] $x^4$, [/mm] was mit der Klammer für [mm] $x\to\pm\infty$?
[/mm]
> Oder muss man da noch irgendeine Rechnung aufschreiben?
Kurz begründen reicht bzw. eine kleine Umformung, vllt. einfach wie erwähnt ausklammern, da ist es ziemlich ersichtlich
>
> Wie bestimmt man den Wertebreich? Wozu brauche ich es?
Was ist $f(0)$? Außerdem kennst du [mm] $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)$
[/mm]
Hat f außer in 0 weitere Nullstellen?
Was sagen dir diese Infos (zusammen mit der Tatsache, das f stetig ist) ?
>
> Wann sehe ich einer Funktion an, dass ich polynomdivision
> anwenden muss? Wenn der Exponent höher ist als 2?
Du brauchst PD immer dann, wenn du Linearfaktoren bei einem Polynom abspalten willst. Wenn ein Polynom eine NST [mm] $x_0$ [/mm] hat, so kannst du [mm] $f(x):(x-x_0)$ [/mm] rechnen und bekommst als Ergebnis ein Polynom g, deren höchste Potenz von x genau um 1 kleiner ist als die von f.
Also [mm] $f(x):(x-x_0)=g(x)$ [/mm] bzw. umgestellt [mm] $f(x)=(x-x_0)\cdot{}g(x)$
[/mm]
Abspaltung einer Linearfaktors ...
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> Gruß und vielen Dank für eure Mühe!
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | f [mm] (x)=2x^4-4x^2+2=0
[/mm]
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Hallo!
Ich hab noch zwei weitere Fragen.
Der höchste Exponent gibt doch die Anzahl der lösungen für eine Funktion. Aber bei der obrigen Funtkion MUSS es 4 Lösungen geben oder ist das nicht immer der Fall, dass der höchste Exponent die Anzahl der Lösungen angibt?
Für die obrige Gleichung hab nur ich nur zwei Lösungen (1 und-1)gefunden.
Meine zweite Frage wäre wie ich die obrige gleichung nach x auflösen kann.
Ich wollte damit die Schnittstelle mit der x-Achse ausrechnen. Oder kann man die Gleichung nach x nicht auflösen?
Gruß
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> f [mm](x)=2x^4-4x^2+2=0[/mm]
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> Hallo!
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> Ich hab noch zwei weitere Fragen.
> Der höchste Exponent gibt doch die Anzahl der lösungen
> für eine Funktion. Aber bei der obrigen Funtkion MUSS es 4
> Lösungen geben oder ist das nicht immer der Fall, dass der
> höchste Exponent die Anzahl der Lösungen angibt?
> Für die obrige Gleichung hab nur ich nur zwei Lösungen
> (1 und-1)gefunden.
diese lösungen sind jeweils doppelte nullstellen (also nur berührpunkte der x-achse, schneiden tun sie nicht)
>
> Meine zweite Frage wäre wie ich die obrige gleichung nach
> x auflösen kann.
> Ich wollte damit die Schnittstelle mit der x-Achse
> ausrechnen. Oder kann man die Gleichung nach x nicht
> auflösen?
doch, wenn du [mm] x^2 [/mm] mit z ersetzt kommst du auf die gleichung:
[mm] 2*z^2-4*z+2=0
[/mm]
die löst du dann nach z auf und schreibst am ende wieder [mm] x^2=z [/mm] und löst dann für x auf
>
> Gruß
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Gibt es denn noch zwei andere Lösungen oder nicht?
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Hallo, hast du denn schon Substitution gemacht
[mm] 0=2x^{4}-4x^{2}+2
[/mm]
Substitution [mm] z:=x^{2}
[/mm]
[mm] 0=2z^{2}-4z+2
[/mm]
[mm] 0=z^{2}-2z+1
[/mm]
die Lösung sieht man doch schon, z=.... dann aber nicht die Rücksubstitution vergessen, du bekommst zwei Nullstellen
Steffi
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