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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
F(x) = [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^x
[/mm]
Definitionsbereich D=|R (glaube ich)
die Ableitungen habe ich wie folgt gebildet:
f' = [mm] 2x*e^x+e^x*x^2
[/mm]
f'' = [mm] 2e^x+4x*e^x+e^x*x^2
[/mm]
f''' = [mm] 6e^x+6x*e^x+e^x*x^2
[/mm]
vorausgesetzt, diese Ableitungen sind richtig (bitte prüfen)
komme ich zu dem Ergebnis, dass die Funktion eine Nullstelle bei x=0 hat.
(ich denke, dies muss man nicht rechnerisch belegen, das sieht man, oder?)
Extremwerte, Wendepunkte und Sattelpunkte:
wenn ich f' gleich 0 setze, komme ich ebenfalls auf x=0, allerdings sind damit auch f'' und f''' = 0, die jeweiligen hinreichenden Kriterien sind somit nicht erfüllt; bedeutet das nun, dass es keine Extremwerte, Wendepunkte und/oder Sattelpunkte gibt?
oder sind alle diese markanten Punkte im Punkt (0;0) vereint ?
ich bin etwas irritiert, denn wie soll man diese Funktion graphisch darstellen, ohne zig Wertepaare rechnerisch zu ermitteln ? (mal von Funktionsplottern abgesehen:) )
Könnte mir bitte jemand auf die Sprünge helfen ?
Ich danke Euch schon mal.
Gruss Nefe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Sa 09.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> f' = [mm]2x*e^x+e^x*x^2[/mm]
> f'' = [mm]2e^x+4x*e^x+e^x*x^2[/mm]
> f''' = [mm]6e^x+6x*e^x+e^x*x^2[/mm]
>
> vorausgesetzt, diese Ableitungen sind richtig (bitte
> prüfen)
> komme ich zu dem Ergebnis, dass die Funktion eine
> Nullstelle bei x=0 hat.
Ja, deine Ableitungen sind richtig !
Aber du betrachtest ja nur eine Nullstelle, was ist jeweils mit den anderen?
Bsp:
$ f' = [mm] 2x*e^x+e^x*x^2 [/mm] = [mm] (2x+x^2)*e^x [/mm] = [mm] x*(x+2)*e^x [/mm] $
hier sieht man beide Nullstellen der ersten Ableitung bei x=0 und bei x=-2
( [mm] e^x [/mm] wird niemals 0)
Das heißt doch nur, dass du nicht alle möglichen Extremstellen angeschaut hast.
Weiterhin ist deine zweite Ableitung bei x=0 nicht 0, denn du hast ja einen konstanten Faktor da mit drinne, der nicht 0 wird (er ist positiv)
Kommst du damit weiter?
viele Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge,
danke für die Antwort; mal schauen, ob ich das verstanden habe:
der konstante faktor ist [mm] e^x, [/mm] weil selbst bei der Potenz 0 die Funktion [mm] e^x [/mm] den Wert 1 hat?
also:
f=0; wenn x=0
f'=0; wenn x=0 , x=-2
damit wäre f''=2, wenn x=0, also Minimum bei x=0
und f''=-0,28, wenn x=-2, also Maximum bei x=-2
f'' kann ich umschreiben in: f''= [mm] e^x*(x^2+4x+2),
[/mm]
dann komme ich über die quadratische Ergänzung zu den Nullstellen
x=-3,41 und x=-0,59
da dies in [mm] f'''=e^x*(x^2+6x+6) [/mm] Ergebnisse ungleich 0 ergibt, handelt es sich bei x=-3,41 und x=-0,59 um Wendepunkte
Sattelpunkte gibt es nicht.
Soweit, sogut ... ich hoffe das ist jetzt richtig
weitere Frage, muss ich die Grenzwerte bestimmen für eine vollständige Kurvendiskussion im GK ?
Danke, Gruss Nefe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Sa 09.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Halli Hallo,
Das sieht alles sehr richtig aus !
nur hier:
> f=0; wenn x=0
> f'=0; wenn x=0 , x=-2
Dir ist schon bewusst, dass du da zum einen die Nullstellen ausrechnest und danach die Steigung betrachtest (also Extremstellen).
Es sieht nur gerade so aus, als ob das was miteinander zu tun hätte...
Man sollte sich gleich angewöhnen alles ein bishcen lesbarer für den Lehrer zu machen, also:
Nullstellenbestimmung : bla, bla
Extremwerte : bla, bla ...
usw.
Und ob du die Grenzfälle betrachten musst, kann ich dir nicht sagen, das musst du deinen Unterlagen entnehmen.
Aber ansonsten : super gemacht ! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
viele Grüße
DaMenge
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nochmals herzlichen Dank, manchmal braucht man eben nur einen kleinen Denkanstoss ... mit 33 ist man nicht mehr so schnell im kopf :);
ich komme bestimmt wieder ins Forum, hab nämlich noch eine Menge Mathe vor mir und will im März 2006 meine Abiprüfung machen
also bis bald
Gruss Nefe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Moin.
> F(x) = [mm]x^2[/mm] * [mm]e^x[/mm]
>
> Definitionsbereich D=|R (glaube ich)
>
> die Ableitungen habe ich wie folgt gebildet:
>
> f' = [mm]2x*e^x+e^x*x^2[/mm]
> f'' = [mm]2e^x+4x*e^x+e^x*x^2[/mm]
> f''' = [mm]6e^x+6x*e^x+e^x*x^2[/mm]
>
> vorausgesetzt, diese Ableitungen sind richtig (bitte
> prüfen)
> komme ich zu dem Ergebnis, dass die Funktion eine
> Nullstelle bei x=0 hat.
> (ich denke, dies muss man nicht rechnerisch belegen, das
> sieht man, oder?)
Kommt ganz auf den Zweck drauf an. Begründungen/Rechnungen sind aber eigentlich immer gerne gesehen - zwar nicht hier im Forum, aber in der Welt da draussen.
Nun ja, auf den Rest hat DaMenge ja vorbildlich geantwortet. Auch, wenn dieser Satz: "Aber du betrachtest ja nur eine Nullstelle, was ist jeweils mit den anderen?" zu Verwirrungen führen könnte (Als Nichtmathematiker behaupte ich das einfach einmal)
> Extremwerte, Wendepunkte und Sattelpunkte:
>
> wenn ich f' gleich 0 setze, komme ich ebenfalls auf x=0,
> allerdings sind damit auch f'' und f''' = 0, die jeweiligen
> hinreichenden Kriterien sind somit nicht erfüllt; bedeutet
> das nun, dass es keine Extremwerte, Wendepunkte und/oder
> Sattelpunkte gibt?
>
Als hinreichende Bedingung für das Extremum gibt es neben [mm] f''(x_{0}) [/mm] > 0 oder [mm] f''(x_{0}) [/mm] < 0 [mm] (x_{0} [/mm] ist eine Nullstelle) noch ein anderes "Verfahren".
Hierzu kann das Monotonieverhalten bzw. der sogenannte Vorzeichenwechsel betrachtet werden.
Wenn f'(x) > 0 für x < [mm] x_{0} [/mm] und f'(x) < 0 für x > [mm] x_{0}
[/mm]
dann ist [mm] x_{0} [/mm] eine Maximumstelle. (Für x setzt man einmal einen kleineren Wert als [mm] x_{0} [/mm] (Bsp.: -0,2, wenn wir von [mm] x_{0} [/mm] = 0 ausgehen, wie das auch der Fall ist) ein und einmal einen größeren Wert als [mm] x_{0} [/mm] (Bsp.: 0,2).
Für's Minimum, was an der Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] ist, gilt:
f'(x) < 0 für x < [mm] x_{0} [/mm] und f'(x) > 0 für x > [mm] x_{0}
[/mm]
Bei der Funktion kommst du also um den Vorzeichenwechsel nicht drumrum (Ein schlichteres Verfahren ist mir jedenfalls nicht bekannt).
Ansonsten ist der Vorzeichenwechsel etwas für die Formelsammlung => in der sogenannten MatheBank (in diesem Forum) steht meiner Meinung nach nichts wertvolles zum Vorzeichenwechsel drin.
Das selbe gilt auch bei Wendepunkten, nur muss ein Vorzeichenwechsel bei f''(x) bei [mm] x_{0} [/mm] erfolgen.
> oder sind alle diese markanten Punkte im Punkt (0;0)
> vereint ?
>
> ich bin etwas irritiert, denn wie soll man diese Funktion
> graphisch darstellen, ohne zig Wertepaare rechnerisch zu
> ermitteln ? (mal von Funktionsplottern abgesehen:) )
Letzendlich bleibt es dir überlassen, ob du neben Nullstellen, Y-Achsenabschnitt, Extrema oder Wendepunkten weitere Punkte berechnest. Grundsätzlich gilt: Je mehr Punkte du errechnest, desto genauer wird auch der Graph
> Könnte mir bitte jemand auf die Sprünge helfen ?
>
> Ich danke Euch schon mal.
> Gruss Nefe
Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Sa 09.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Auch, wenn dieser Satz: "Aber du betrachtest
> ja nur eine Nullstelle, was ist jeweils mit den anderen?"
> zu Verwirrungen führen könnte (Als Nichtmathematiker
> behaupte ich das einfach einmal)
Stimmt, unglücklich ausgedrückt.
Ich meinte, man muss sowohl die andere Nullstelle der ersten Ableitung betrachten als auch diese dann in den weiteren Ableitungen überprüfen.
> Als hinreichende Bedingung für das Extremum gibt es neben
> [mm]f''(x_{0})[/mm] > 0 oder [mm]f''(x_{0})[/mm] < 0 [mm](x_{0}[/mm] ist eine
> Nullstelle) noch ein anderes "Verfahren".
> Hierzu kann das Monotonieverhalten bzw. der sogenannte
> Vorzeichenwechsel betrachtet werden.
>
> Wenn f'(x) > 0 für x < [mm]x_{0}[/mm] und f'(x) < 0 für x > [mm]x_{0}[/mm]
> dann ist [mm]x_{0}[/mm] eine Maximumstelle. (Für x setzt man einmal
> einen kleineren Wert als [mm]x_{0}[/mm] (Bsp.: -0,2, wenn wir von
> [mm]x_{0}[/mm] = 0 ausgehen, wie das auch der Fall ist) ein und
> einmal einen größeren Wert als [mm]x_{0}[/mm] (Bsp.: 0,2).
Ähm, das sind (wenn ich mich jetzt nicht irre) keine verschiedene Verfahren.
f'' gibt doch die Steigung von f' an, wenn f' in [mm] x_0 [/mm] eine Nullstelle hat und dort negative Steigung hat (also f''<0) dann ist links von [mm] x_0 [/mm] also noch positiv und rechts davon also negativ.
Dies an bestimmten Werten zu überprüfen ist eigentlich falsch.
Du musst eigentlich nachweisen, dass es für jede Epsilon-Umgebung gilt ! (Aber dann kannst du es gleich über die zweite Ableitung machen)
Es gibt sogar Funktionen (im Komplexen), die in beliebig kleinen Abständen zu einer Stelle alle möglichen Werte annehmen - sowohl positiv als auch negativ. Wenn man sich da jetzt einfach links und rechts was aussucht, bekommt man garantiert nicht das richtige Ergebnis.
Der Vorzeichenwechsel ist also nur etwas um sich mal eben etwas graphisch klar zu machen - er hat keinerlei mathematische Aussagekraft.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Disap |
> Hi,
Hey,
> Ähm, das sind (wenn ich mich jetzt nicht irre) keine
> verschiedene Verfahren.
Deswegen habe ich auch Verfahren in Anführungszeichen gesetzt, da mir kein anderer Ausdruck bekannt ist.
> f'' gibt doch die Steigung von f' an, wenn f' in [mm]x_0[/mm] eine
> Nullstelle hat und dort negative Steigung hat (also f''<0)
> dann ist links von [mm]x_0[/mm] also noch positiv und rechts davon
> also negativ.
>
> Dies an bestimmten Werten zu überprüfen ist eigentlich
> falsch.
> Du musst eigentlich nachweisen, dass es für jede
> Epsilon-Umgebung gilt ! (Aber dann kannst du es gleich über
> die zweite Ableitung machen)
wie würde man es in diesem Fall "zeigen", dass bei [mm] x_{0} [/mm] = 0 ein Minimum ist? Auch mit der netten Erklärung verstehe ich nicht ganz, wie man es mathematisch zeigt.
> Es gibt sogar Funktionen (im Komplexen), die in beliebig
> kleinen Abständen zu einer Stelle alle möglichen Werte
> annehmen - sowohl positiv als auch negativ. Wenn man sich
> da jetzt einfach links und rechts was aussucht, bekommt man
> garantiert nicht das richtige Ergebnis.
>
> Der Vorzeichenwechsel ist also nur etwas um sich mal eben
> etwas graphisch klar zu machen - er hat keinerlei
> mathematische Aussagekraft.
>
> viele Grüße
> DaMenge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Sa 09.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal 
> wie würde man es in diesem Fall "zeigen", dass bei [mm]x_{0}[/mm] =
> 0 ein Minimum ist? Auch mit der netten Erklärung verstehe
> ich nicht ganz, wie man es mathematisch zeigt.
du musst , wie oben auch getan, [mm] x_0=0 [/mm] in die zweite Ableitung einsetzen und schauen, was da raus kommt.
also:
$ f''(0)= [mm] 2e^0+4*0e^0+e^0*0^2 [/mm] = [mm] 2*e^0=2 [/mm] > 0 $
also ein Minimum.
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo nochmal
Na.
>
> > wie würde man es in diesem Fall "zeigen", dass bei [mm]x_{0}[/mm] =
> > 0 ein Minimum ist? Auch mit der netten Erklärung verstehe
> > ich nicht ganz, wie man es mathematisch zeigt.
Ach, Mist. Da habe ich nicht die Ableitungen betrachtet. Was aber wirklich in meinem Hinterkopf war:
Grunsätzlich kann man sagen, dass alle Funktionen
f(x) = [mm] x^{2n} [/mm] n [mm] \in\IR [/mm] {}
ein Extremum haben. Nehmen wir beispielsweise die Funktion
f(x) = [mm] x^4
[/mm]
f'(x) = [mm] 4x^3
[/mm]
f''(x) = [mm] 12x^2
[/mm]
Für Extremum : notwendige Bedingung
f'(x) = 0 => [mm] x_{0} [/mm] = 0
hinreichende Bedingung:
f''(0) = [mm] 12*0^2 [/mm]
f'' (0) = 0 => statt f''(0) größer Null.
Was macht man denn hier, wenn Vorzeichenwechsel mathematischunbedeutend ist?
> viele Grüße
> DaMenge
Grüße Disap
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi,
erste Ableitung gleich Null, zweite ungleich Null ist nur eine hinreichende Bedingung für Existenz eines Extremums!
Ich bekomme immer wieder mit, dass sogar Lehrer diesen Unterschied nicht genau erklären.
Hinreichend für die Existenz eines Extremums ist nämlich etwas allgemeiner (also bei mehrfachen Nullstellen):
1.Ableitung gleich Null.
Die erste folgende Ableitung die ungleich Null ist, ist eine gerade Ableitung (zweite, vierte,sechste etc...).
Man kann das schön mit der Taylorentwicklung begründen.
Gruß,
Jazzy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Disap |
> Hi,
Moin.
> erste Ableitung gleich Null, zweite ungleich Null ist nur
> eine hinreichende Bedingung für Existenz eines Extremums!
>
> Ich bekomme immer wieder mit, dass sogar Lehrer diesen
> Unterschied nicht genau erklären.
NRW hat ja auch nicht sonderlich gut beim PISA-Test abgeschnitten
> Hinreichend für die Existenz eines Extremums ist nämlich
> etwas allgemeiner (also bei mehrfachen Nullstellen):
>
> 1.Ableitung gleich Null.
> Die erste folgende Ableitung die ungleich Null ist, ist
> eine gerade Ableitung (zweite, vierte,sechste etc...).
>
> Man kann das schön mit der Taylorentwicklung begründen.
Das übersteigt meine Kompetenzen, deswegen habe ich in meiner Frage gesagt: wie zeigt man ... , und nicht: kann da mal jemand rum argumentieren?
Da verstehe ich auch nicht wirklich, was damit gemeint ist: die zweite Ableitung der Funktion [mm] f(x)=x^4 [/mm] ist ungleich Null und eine gerade Ableitung.
> Gruß,
> Jazzy
Nicht desto trotz, danke für den Ansatz.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Hi.
> ich wusste noch aus geraumer Vorzeit, dass deine genannte
> hinreichende Bedingung auch verallgemeinert werden kann:
> siehe zum Beispiel
> ![[]](/images/popup.gif) HIER (§6)
>
> oder auch bei
> WIKI (allgemeiner Fall)
>
> man muss dann bei n-facher Ableitung nur darauf achten, ob
> n gerade oder ungerade ist...
Erst einmal danke für die Antwort, die ich erst einmal verstehen muss, und auf den Hinweis mit dem Vorzeichenwechsel.
> Ich weiß aber durchaus, dass die Vorzeichenwechselmethode
> sehr weit verbreitet ist - sie kann also gar nicht sooo
> falsch sein, wie ich hier geschrieben hatte - Dennoch es
> widerspricht meiner Vorstellung etwas durch Beispiel-punkte
> zu beweisen
> (was ist, wenn man zu weit weg ist? Was ist weit? was ist
> nah-genug?)
Wenn man mal den komplexen Bereich weglässt, wären wohl alle Werte nahgenug, die in einem Bereich bis zu einem anderen Extrema liegen.
Bei irgendeiner Funktion gibt es Extrema bei den Stellen [mm] x_{0}=0 [/mm] und [mm] x_{1}=3 [/mm] und [mm] x_{2}= [/mm] -3
Dann könnte man, um zu zeigen, dass bei [mm] x_{0} [/mm] ein Extrema ist, alle Werte von -2,9999 bis 2,9999 nehmen => Ich beziehe mich jetzt nur auf ganzrationale Funktionen und stelle Vermutungen auf.
Hoffentlich ist es verständlich, was ich meine, aber ich kann gerade nicht meine Gedanken artikulieren.
>
> viele Grüße
> DaMenge
Liebe Grüße Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Sa 09.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du hast recht!
Wenn man alle Nullstellen kennt und die Funktion stetig ist, dann klappt das so, denn der Mittelwertsatz liefert dann, dass die einzige Nullstelle in dem kleinen ausgwählten Bereich liegt und deshalb dort der Vorzeichenwechsel stattfindet. (Und daraus leitet sich die lokale Extremstelle her)
Nachteil ist dann natürlich, dass man erstmal alle Nullstellen der Ableitung in der Umgebung berücksichtigen muss, aber das kann man im Normalfall schon absehen...
Ob das zum Beispiel auch bei extrem gestauchten Sinus-Kurven geht oder ähnlichen Fällen, weiß ich jetzt nicht, aber du hast mich schon überzeugt, dass man es auch mit dem Vorzeichenwechsel machen kann.
Danke für die Diskussion !
viele Grüße
DaMenge
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