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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Fr 05.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Nullstellen und Extremwerte bestimmen
v(x)=ln(|sin(x)|) |
Hallo bei obenstehender Aufgabe habe ich leider Schwierigkeiten.
Hier einmal mein Ansatz
v(x)=ln(|sin(x)|)
v´ [mm] (x)=\bruch{cos(x)}{sin(x)} [/mm]
v´´ [mm] (x)=-1-(\bruch{cos(x)}{sin(x)})^{2}=-\bruch{1}{sin(x)^{2}}
[/mm]
Sind meine Ableitungen schon mal richtig? Wenn ja könnte man sich auch noch anders darstellen. Ist nicht [mm] \bruch{cos(x)}{sin(x)} [/mm] = cot(x)??
Komme ich nun mal zur Nullstellen ermittlung da hab ich schon Schwierigkeiten
v(x)=0
0=ln(|sin(x)|)
Da hab ich schon
Schwierigkeiten denn ln(a) = 0 genau dann wenn a = 1 ist.Ich wei ehrlich gesagt nicht wie ich die nullstellen bestimmen soll. Vllt kann mirjemand einen Tipp geben.
Und bei den Extremstellen komme ich auch nicht so wirklich klar.
[mm] v´(x)=\bruch{cos(x)}{sin(x)} [/mm]
[mm] 0=\bruch{cos(x)}{sin(x)} [/mm]
0=cos(x)
Irgendwie kann ich die Extremstellen so auch nicht bestimmen.
Was mache ich falsch??
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Fr 05.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Bei der zweiten Ableitung ist mir ein Tippfehler unterlaufen.
mfg
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Hallo,
die erste Ableitung ist richtig und es handelt sich um die Kotangensfunktion, wie du ja selbst festgestellt hast.
Bei der zweiten Ableitung ist dir ein Fehler unterlaufen. Tipp: hier lässt sich der trigonometrische Pythagoras
[mm] sin^{2}x+cos^{2}x=1
[/mm]
zur Vereinfachung anwenden. Bezeichne auch deine Ableitungen mit Strichen, etwa v' und v'', damit man sie auseinanderhalten kann.
> ..denn ln(a) = 0 genau dann wenn a = 1
> ist.Ich wei ehrlich gesagt nicht wie ich die nullstellen
> bestimmen soll. Vllt kann mirjemand einen Tipp geben.
Du musst dir hier überlegen, wo |sin(x)| = 1 ist. Das passiert überall dort, wo die Sinusfunktion einen der Werte 1 oder -1 annimmt.
> Und bei den Extremstellen komme ich auch nicht so wirklich
> klar.
>
> [mm]v´(x)=\bruch{cos(x)}{sin(x)}[/mm]
> [mm]0=\bruch{cos(x)}{sin(x)}[/mm]
> 0=cos(x)
>
> Irgendwie kann ich die Extremstellen so auch nicht
> bestimmen. Was mache ich falsch??
cos(x)=0 ist doch genau der richtige Ansatz. Das einzige, was du hier falsch gemacht hast, ist, dass du nicht weitergerrechnet hast. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Fr 05.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
danke für deine schnelle Antwort. Ich hab meine zweite ABleitung noch einmal verbessert hoffe das sie jetzt richtig ist. Aber was ich noch nicht verstanden habe ist das mit der Nullstelle
v(x)=ln(|sin(x)|)
0=ln(|sin(x)|)
Aber der sin(-1) bzw sin(1) ist doch nicht = 1 oder habe ich vorhin etwas falsch verstanden??
mfg
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Hallo,
du hast in der zweiten Ableitung nach wie vor noch einen Vorzeichenfehler. Zur Kontrolle: es muss
[mm] v''(x)=-\bruch{1}{sin^{2}x}
[/mm]
herauskommen.
> Aber der sin(-1) bzw sin(1) ist doch nicht = 1 oder habe
> ich vorhin etwas falsch verstanden??
Es geht nicht um den Sinus von 1, sondern um alle Lösungen der Gleichungen
sin(x)=1 bzw.
sin(x)=-1.
Das sind doch genau die Extremstellen der Sinusfunktion.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Fr 05.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Danke nochmal für deine Hilfe. Hab meinen Vorzeichenfehler gefunden und komme jetzt auch auf dein angegebens Ergebnis.
Glaub jetzt hab ich auch meinen Fehler bei den Nullstellen gefunden und verstanden was du mir gesagt hast.
v(x)=ln(|sin(x)|)
v(x)=0
0=ln(|sin(x)|)
1=|sin(x)|
[mm] x1=\bruch{1}{2}\pi [/mm] (90°)
[mm] x2=-\bruch{1}{2}\pi [/mm] (-90°)
mfg
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Hallo RWBK,
> Danke nochmal für deine Hilfe. Hab meinen Vorzeichenfehler
> gefunden und komme jetzt auch auf dein angegebens
> Ergebnis.
>
> Glaub jetzt hab ich auch meinen Fehler bei den Nullstellen
> gefunden und verstanden was du mir gesagt hast.
>
> v(x)=ln(|sin(x)|)
> v(x)=0
> 0=ln(|sin(x)|)
> 1=|sin(x)|
> [mm]x1=\bruch{1}{2}\pi[/mm] (90°)
> [mm]x2=-\bruch{1}{2}\pi[/mm] (-90°)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wegen der Periodizität des Sinus sind Nullstellen [mm]\bruch{2k+1}{2}*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
> mfg
Gruss
MathePower
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