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Kurvendiskussion: Aufgabe, Laplace Operator
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Mi 20.07.2005
Autor: Susanne1979

Hallo Leute habe folgende Aufgabe , bei dir ich leider nicht über den Ansatz hinauskomme:

Gegeben sei die Funktion f: [mm] R^2 \to [/mm] R* mit

                                 f( x,y ) : [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ) * [mm] e^{y-x} [/mm]

Bestimmen Sie alle relativen Extremalpunkte und Sattelpunkte von f.

Zuerst erste Ableitung von f (x)  und f(y)

f´(x) = [mm] e^{y-x} (2x-x^2 -y^2) [/mm]   und bekomme somit x=0  [mm] \vee [/mm]  x=2

f´(y) = [mm] e^{y-x} [/mm] (2y + [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] und bekomme somit y=0 [mm] \vee [/mm]  y=-2

somit ( 0/2) ; ( 0/-2)

Nun muss ich den Laplace Operator anwenden und da weiss ich nicht genau wie das funktioniert also habe noch :

f´´xx [mm] =e^{y-x}( [/mm] -6x + [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2)

f´´yy= [mm] e^{y-x}( x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 4y + 2) und nun muss ich ja glaube ich f´´xy ausrechnen , das weiss ich aber nicht wie das gehen soll kann mir jemand das erklären und dann vielleicht sagen wie ich auf die Extremal und Sattelpunkte komme am besten mit Lösüngsweg , das wäre sehr lieb.

Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kurvendiskussion: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:00 Mi 20.07.2005
Autor: statler


> Hallo Leute habe folgende Aufgabe , bei dir ich leider
> nicht über den Ansatz hinauskomme:
>  
> Gegeben sei die Funktion f: [mm]R^2 \to[/mm] R* mit
>  
> f( x,y ) : [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] ) * [mm]e^{y-x}[/mm]
>  
> Bestimmen Sie alle relativen Extremalpunkte und
> Sattelpunkte von f.
>  
> Zuerst erste Ableitung von f (x)  und f(y)
>  
> f´(x) = [mm]e^{y-x} (2x-x^2 -y^2)[/mm]   und bekomme somit x=0  [mm]\vee[/mm]
>  x=2
>  
> f´(y) = [mm]e^{y-x}[/mm] (2y + [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] und bekomme somit y=0 [mm]\vee[/mm]
>  y=-2
>  
> somit ( 0/2) ; ( 0/-2)
>  

Wie du darauf kommst, verstehe ich im Moment nicht. Ich brauche doch Punkte, an denen beide partiellen Ableitungen gleich Null sind. Weil e hoch irgendwas immer ungleich Null ist, müssen die beiden Klammern gleich Null sein, und das ergibt die Punkte (0/0) und (1/-1), wenn ich nix übersehen habe.

> Nun muss ich den Laplace Operator anwenden und da weiss ich
> nicht genau wie das funktioniert also habe noch :
>  
> f´´xx [mm]=e^{y-x}([/mm] -6x + [mm]2x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2)
>  
> f´´yy= [mm]e^{y-x}( x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 4y + 2) und nun muss ich ja
> glaube ich f´´xy ausrechnen , das weiss ich aber nicht wie
> das gehen soll kann mir jemand das erklären und dann
> vielleicht sagen wie ich auf die Extremal und Sattelpunkte
> komme am besten mit Lösüngsweg , das wäre sehr lieb.
>  

Laplace-Operator? Man muß gucken, wie groß die Determinante aus den 2. partiellen Ableitungen an dieser Stelle ist. Vieleicht später mehr.

> Danke

Da nich für
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:18 Mi 20.07.2005
Autor: Susanne1979

Also wir müssen da irgendwie das nennt man auch die Hesse Matrix und nicht Laplace Operator rechnen glaube ich. Wie lauten denn bei diesem Term die Ableitung f´´xy = ??? könnten Sie mir diese vielleicht nennen und wie drauf kommen.

Danke
Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Partielle Ableitungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Mi 20.07.2005
Autor: Loddar

Hallo Susanne!


Die []Hesse-Matrix lautet in diesem Falle bei einer Funktion mit zwei Unbekannten:

$H(f) \ = \ [mm] \pmat{ \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial x} & \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial y} } [/mm] \ = \ [mm] \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} }$ [/mm]



> Wie lauten denn bei diesem Term die Ableitung f´´xy = ???

Zunächst einmal etwas formales: bei den partiellen Ableitungen arbeitet man nicht mehr mit diesen Hochstrichen zur Markierung der Ableitungen, sondern verwendet als Abkürzung eher die Schreibweise [mm] $f_{xy}$. [/mm]

Dies bedeutet, daß man die partielle Ableitung [mm] $f_x$ [/mm] nun nach $y_$ ableitet.


Du hast doch völlig richtig die beiden partiellen Ableitungen [mm] $f_x$ [/mm] und [mm] $f_y$ [/mm] ermittelt. Dabei hast Du stets alle Variablen, nach denen Du gerade nicht ableitetest, als konstant angesehen.


Genauso machen wir nun weiter ...

Zur Bildung von [mm] $f_{xy}$ [/mm] nehmen wir die partielle Ableitung [mm] $f_x$ [/mm] und leiten diese nun nach $y_$ ab. Das heißt: hier wird nun $x_$ als konstant angesehen.


Ich zeige Dir das mal an [mm] $f_{xy}$ [/mm] und die anderen drei Ableitungen [mm] $f_{xx}$ [/mm] ,  [mm] $f_{yx}$ [/mm]  und  [mm] $f_{yy}$ [/mm] probierst Du dann mal selber, okay?


Wir hatten ja:   [mm] $f_x [/mm] \ = \ [mm] e^{y-x} [/mm] * [mm] \left(2x - x^2 - y^2\right)$ [/mm]


Mit der MBProduktregel wird daraus nun:

[mm] $f_{xy} [/mm] \ = \ [mm] e^{y-x} [/mm] * [mm] \left(2x - x^2 - y^2\right) [/mm] + [mm] e^{y-x} [/mm] * [mm] \left(0 - 0 - 2y\right) [/mm] \ = \ [mm] e^{y-x} [/mm] * [mm] \left(2x - 2y - x^2 - y^2\right)$ [/mm]


Gruß
Loddar


PS: Hast Du denn nun auch dieselben Punkte wie statler erhalten?


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