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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 27.08.2005 | | Autor: | rhea |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo zusammen...
ich habe gerade eine kurvendiskussion durgerechnet.
f(x)= [mm] x^4-4x^3+4x^2
[/mm]
ich bin auf eine einzige Nullstelle N(0/0) gekommen, auf den TP(0/0). Einen Wendepunkt gibt es nach meiner rechnung nicht. Kann das stimmen? Mir kam das ein bisschen "strange" vor....:)..
würde mich über antworten freuen...
lieber gruß..
Rhea..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo rhea!
Das kommt dir zu recht "strange" vor. 
Zu den Nullstellen:
$0 = f(x) = [mm] x^2 \cdot (x^2-4x+4) [/mm] = [mm] x^2 \cdot (x-2)^2$.
[/mm]
Wir haben also zwei (zweifache) Nullstellen: [mm] $x_1=0$ [/mm] und [mm] $x_2=2$.
[/mm]
Zu den Extremstellen:
$f'(x) = [mm] 4x^3-12x^2+8x [/mm] = 4x [mm] \cdot (x^2-3x+2) [/mm] = 4x [mm] \cdot [/mm] (x-2) [mm] \cdot [/mm] (x-1)$.
Wir haben also drei potentielle Extremstellen: [mm] $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=2$.
[/mm]
Nun gilt:
$f''(x)= [mm] 12x^2-24x+8$,
[/mm]
also:
$f''(0)=8>0$,
$f''(1) = -4<0$,
$f''(2) = 8>0$.
Wir haben also zwei Tiefpunkte [mm] $T_1(0/0)$ [/mm] und [mm] $T_2(2/0)$ [/mm] und einen Hochpunkt $H(1/1)$.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Sa 27.08.2005 | | Autor: | rhea |
Danke erstmal für deine schnelle Antwort!.:)..
Du bist ja von f(x)= [mm] x^2*(x^2-4x*4) [/mm] auf [mm] x^2*(x-2)^2 [/mm] gekommen....wie das?...mit der binomischen formel, oder?...ok...aber wie dann auf die Nullstelle 2?.....ich hatte das mit der pq-Formel gerechnet. Ist das nicht möglich?..
Ebenfalls kann ich nicht nachvollziehen, um von [mm] 4x*(x^2-3x+2) [/mm] auf 4x*(x-2)*(x-1) zu kommen?...
wäre lieb wenn Du mir das noch mal erklären könntest?..:)
lieber gruß..
Rhea..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Genau, mit der binomischen Formel. Und
[mm] $(x-2)^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x-2=0 [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x=2$,
denn ein Quadrat einer Zahl ist genau dann Null, wenn die Zahl selbst Null ist.
Es geht aber auch (umständlicher) mit der $p/q$-Formel von
[mm] $x^2-4x-4$, [/mm]
dann ist der Term unter der Wurzel $0$.
> Ebenfalls kann ich nicht nachvollziehen, um von
> [mm]4x*(x^2-3x+2)[/mm] auf 4x*(x-2)*(x-1) zu kommen?...
Nun, ich habe die Nullstellen $x=2$ und $x=1$ von [mm] $x^2-3x+2$ [/mm] sofort gesehen, du kannst die aber auch mit Hilfe der $p/q$-Formel berechnen oder dem  Satz von Vieta, klar.
Viele Grüße
Stefan
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