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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Tony1234 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Nullstellen
[mm] \(f(x)=x^2*e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] |
Hallo, es geht gleich mit den Nullstellen los...
hierfür gilt f(x)=0
in der Musterlösung steht nun einfacht
[mm] \(x^2=0
[/mm]
[mm] \(x=0
[/mm]
Was ist mit der e-funktion??, wieso fällt diese einfach weg?
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> Bestimmen Sie die Nullstellen
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> [mm]\(f(x)=x^2*e^{-\bruch{x}{2}}[/mm]
> Hallo, es geht gleich mit den Nullstellen los...
>
> hierfür gilt f(x)=0
>
> in der Musterlösung steht nun einfacht
>
> [mm]\(x^2=0[/mm]
>
> [mm]\(x=0[/mm]
>
>
> Was ist mit der e-funktion??, wieso fällt diese einfach
> weg?
Die Funktionswerte der e-Funktion sind immer [mm] \not=0.
[/mm]
Deswegen wird wie folgt gerechnet:
[mm] f(x)=0=x^2*e^{-\frac{x^2}{2}} [/mm] . [mm] |:e^{-\frac{x^2}{2}}
[/mm]
[mm] f(x)=0=x^2
[/mm]
...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Tony1234 |
Danke!
Sollte also bei der Extrema berechnung erneut die e-funnktion auftauchen, hau ich sie einfach raus?
gibt es noch mehr solcher Fälle? wäre gut in der Klausur nicht an solchen kleinen Hindernissen zu scheitern...
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Hi!
> Danke!
> Sollte also bei der Extrema berechnung erneut die
> e-funnktion auftauchen, hau ich sie einfach raus?
Falls du genau so ein Produkt vorliegen hast, wie in der Beispielaufgabe, also:
$f(x)=irgendwas [mm] \cdot e^{irgendwas}$ [/mm]
Dann musst du die e-Funktion nicht für die Nullstellenbestimmung mit in betracht ziehen.
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren gleich Null ist. Da die e-Fkt nicht null werden kann, musst du diese also auch nicht betrachten.
> gibt es noch mehr solcher Fälle? wäre gut in der Klausur
> nicht an solchen kleinen Hindernissen zu scheitern...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Hi!
>
> Falls du genau so ein Produkt vorliegen hast, wie in der
> Beispielaufgabe, also:
>
> [mm]f(x)=irgendwas \cdot e^{irgendwas}[/mm]
>
Hi Valerie,
Es geht sogar, wenn man im Exponenten nicht das gleiche stehen hat, wie als Vorfaktor.
[Spaß aus]
;)
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> gibt es noch mehr solcher Fälle? wäre gut in der Klausur
> nicht an solchen kleinen Hindernissen zu scheitern...
Hi,
Leider ist das dann alles nicht pauschal.
Angenommen du hast eine Funktion, und man definiert diese auf einem Intervall, wo die Funktion selbst nicht null wird. Dann kannst du ebenfalls so rechnen.
Bsp.: [mm] f(x)=x^2+x-6=(x-2)(x+3) [/mm] auf dem Intervall [mm] x\in[2,5]
[/mm]
Man bestimme die Nullstellen.
0=(x-2)(x+3) - Nun wird aber in dem Intervall [2,5] der Faktor (x+3) niemals 0
Also:
0=(x-2) => x=2 ist eine Nullstelle (und liegt auch im Intervall.)
Das ist ein ziemlich einfaches Beispiel (und man würde es natürlich anders rechnen - ist ja nur zur Demonstration). Es gibt da viel viel komplizierte Ausdrücke. Was also das Entscheidende ist: Man viel vereinfachen, wenn man sich das definierte Intervall anschaut. Wird irgendetwas Null, dann darf man nicht einfach dadruch teilen...
Ich hoffe das war verständlich.
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Hi!
Genauer gesagt ist die E-Funktion sogar immer größer Null. Also:
[mm]e^x > 0[/mm] [mm]\forall x \in\IR[/mm]
Lass dir die Funktion doch mal mit einem Funktionenplotter plotten.
Gruß Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Di 19.06.2012 | | Autor: | Tony1234 |
Danke für die super antworten! Ihr habt mir sehr geholfen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Di 19.06.2012 | | Autor: | Tony1234 |
Hallo,
Wie sieht es aus, wenn ich zb
[mm] f''(x)=\(2x^2+e^\bruch{x}{2}+5 [/mm]
habe und die Nullstellen berechnen möchte??
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Hallo,
> Hallo,
> Wie sieht es aus, wenn ich zb
>
> [mm]f''(x)=\(2x^2+e^\bruch{x}{2}+5[/mm]
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> habe und die Nullstellen berechnen möchte??
hier kann man nicht faktorisieren, also kann auch der Satz vom Nullprodukt, der weiter oben erwähnt wurde, nicht angewendet werden.
Die e-Funktion, wie auch die trigonometrischen Funktionen, gehört zur Klasse der transzendenten Funktionen. Eine Gleichung, in der eine transzendente Funktion vorkommt, kann im allgemeinen überhaupt nicht aufgelöst werden, bis auf Spezialfälle. Diese bestehen im wesentlichen aus folgenden Möglichkeiten:
- die transzendente Funktion kann durch ihre Umkehrfunktion aufgelöst werden
- die Gleichung kann durch geschicktes Faktorisieren gelöst werden
- die Gleichung kann durch Substitution in eine algebraische Gleichung überführt werden
In deinem Fall funktioniert all dies nicht. Wenn du diese Ableitung im Rahmen einer Schulaufgabe erhalten hast, so ist sicherlich an eine Rechnung per GTR/CAS gedacht.
Ich hätte auch einfach nur schreiben könnnen, dass es nicht geht. Aber irgendwie kommt die Tatsache heutzutage immer mehr unter die Räder, dass die Lösbarkeit von Gleichungen keine Selbstverständlichkeit ist. In der Schule lernt man gerade einmal lineare und quadratische Gleichungen zu lösen. Diese gehören zu den algebraischen Gleichungen. Die Mathematik ist darüber hinaus noch in der Lage, algebraische Gleichungen dritter und vierter Ordnung zu lösen. Damit sind dann auch bestimmte Wurzelgleichungen grundsätzlich lösbar, weil man sie in algebraische Gleichungen überführen kann. Alle anderen Gleichungen sind prinzipiell unlösbar, wenn es doch geht, dann liegt irgendein Spezialfall vor. Durch diese blödsinnigen Grafik-Taschenrechner und die damit verbundenen Aufgaben (bei denen sich die Autoren über Lösbarkeit kaum mehr Gedanken machen müssen), geht für diese Sachverhalte jegliches Bewusstsein so langsam aber sicher vor die Hunde! 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Di 19.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Diophant,
du sagst
$ [mm] f''(x)=\(2x^2+e^\bruch{x}{2}+5 [/mm] $
gehört zu den transzendenten Fkt.
Haben die auch eine allg. Form, sowie lin.Fkt. y=mx+b?
Wenn ja, wie würde die lauten?
Für Antw. vielen DANK
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Di 19.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Sabine,
> Hallo Diophant,
> du sagst
> [mm]f''(x)=\(2x^2+e^\bruch{x}{2}+5[/mm]
> gehört zu den transzendenten Fkt.
> Haben die auch eine allg. Form, sowie lin.Fkt. y=mx+b?
> Wenn ja, wie würde die lauten?
Nein, aber sie haben etwas anderes gemeinsam: man kann ihre Werte nicht in endlich vielen Rechenschritten mit Hilfe der vier Grundrechenarten berechnen, sondern man benötigt unendliche Reihen, sog. Potenzreihen, deren Grenzwert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] dann eben der Funktionswert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ist. So ist die e-Funktion etwa der Grenzwert der folgenden Reihe:
[mm]e^x=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^k}{k!} [/mm]
So ein Wert der e-Funktion ist also das Resultat unendlich vieler Additionen und der Wert aus dem Taschenrechner ist einfach nur ein Näherungswert.
Gruß, Diophant
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