Kurvendiskussion - ABI 98 < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Di 03.01.2006 | | Autor: | AbS0LuT3 |
| Aufgabe 1 | Gegeben ist die Schar der Funktionen
kx
-----------
x²-k²
mit k R+
1b) Untersuchen sie fk auf Monotonie! |
| Aufgabe 2 | Zeigen sie, dass der Ursprung der einzige Wendepunkt ist, und geben sie die Gleichung der Wendetangente an
Lsg:
2. Ableitung:
2kx(x²+3k²)
----------------
(x²-k²)²
Zähler > 0 f. x R+ \ {k}
Zähler < 0 f. x R- \ {-k}
Nenner > 0 f. x ]-oo;k[ u ]k; +oo[
Nenner < 0 f. x ]-k; k[
=> einziger Wendepunkt (0|0) |
Aufgabe 1: Wie untersuche ich die Monotonie zu k und -k hin? (dort sind die def. lücken)
In der Lsg steht sowas:
lim fk(x) = k² / 0+ = +oo
x -> k+
wie kommt man da auf + unendlich?
Aufgabe 2: Was haben diese betrachtungen mit dem wendepunkt zu tun?
genügt es auch zu schreiben:
2kx (x²+3k²) = 0 => x=0
x² = -3k² -> geht nicht
=> wendepunkt (0|0) ?
Und noch eine Bitte: kann mit jemand die 2. Ableitung mal vorrechnen? bei mir kommen da [mm] x^{5} [/mm] raus, was irgendwie garnicht passt :(
danke im vorraus
mfg
abso
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Di 03.01.2006 | | Autor: | ocram |
Hallo abso
Ich weiß ja nicht, welches Aufgabenblatt du hast, aber bei dieser Aufgabe ist 1b die Untersuchung des Verhaltens von f an den Rändern des Definitionsbereichs und nicht die Monotonie.
um dieses Verhlaten zu untersuchen, musst du den Limes für x gegen plus und minus Unendlich und gegen +k von links und rechts und gegen -k von links und rechts
[mm] \limes_{x\rightarrow\ k+}=\bruch{k^{2}}{0+}=plus [/mm] unendlich, da eine Zahl durch eine sehr sehr kleine Zahl immer gegen unendlich geht. Da sowohl Zähler als auch im Nenner größer Null ist gegen + unendlich.
auf diese art und weise musst auch noch die anderen 3 fälle untersuchen
Also ich muss sagen, dass ich diese Schlussfolgerungen in 2b auch nicht ganz versteh, man macht vermutlich, um einen Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung im Ursprung zu zeigen. Ich hötte auch einfach den Wendepunkt ausgerechnet und dann mit der dritten Ableitung geprüft. Bitte korrigiert mich, wenn ich mit meiner Vermutung falsch liege.
Also die zweite Ableitung ist ja dolle aufwendig, also
[mm] f''(x)=\bruch{-2kx(x²-k²)²+k(x²+k²)2(x²-k²)2x}{(x²-k²)^{4}}
[/mm]
Quotienten- und Kettenregel angewandt, dann kannst ein paar faktoren ausklammern und was wegkürzen, dann kommst aufs richtige ergebnis
mfg ocram
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Di 03.01.2006 | | Autor: | AbS0LuT3 |
ja, sorry, das verhalten an den def.rändern wars.
wie weiss ich, dass das 0+ ist? oder ist das eh irrelevant?
gegen + und - unendlich ahb ichs gemacht, nur mit den deflücken, hier -k und k hab ich noch prebs .. gehabt hoff ich
zur ableitung .. werd ich mir ma anscahun .. die lösung im buch is etwas *confused* :(
danke für die antwort!
mfg
abso
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Di 03.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Absolut!
> wie weiss ich, dass das 0+ ist? oder ist das eh
> irrelevant?
Nein, das ist nicht irrelevant. Es kommt hier darauf an, von welcher Seite wir uns der Definitionslücke annähern (ob von rechts mit $x \ > \ +k$ oder von links mit $x \ < \ +k$).
Denn wenn gilt $x \ > \ +k$ , gilt für den Ausdruck (= Nenner): [mm] $x^2-k^2 [/mm] \ > \ 0$
Und umgekehrt: $x \ < \ +k$ [mm] $\Rightarrow$ $x^2-k^2 [/mm] \ < \ 0$
Je nachdem, ob wir uns also von rechts oder links annähern ist der entsprechende Grenzwert [mm] $+\infty$ [/mm] bzw. [mm] $-\infty$ [/mm] .
Wir haben also eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Genauso funktioniert das auch an der 2. Definitionslücke [mm] $x_0\ [/mm] = \ -k$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
|
