Kurvendiskussion am Graphen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Mi 09.06.2010 | | Autor: | Angie19 |
| Aufgabe | | Zeigen sie graphisch die Zusammenhänge zwischen f, F, f' auf. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
HAllo Leute,
also habe folgendes Problem...
Ich muss morgen ein Referat über die Zusammenhänge zwischen der Funktion f, F, f' erklären. Allerdings am Graphen. Ich versteh aber nicht wie ich mir anhand der gezeichneten Funktion f(x) die Aufleitung, bzw. Ableitung herleiten kann. Bis jetzt weiß ich nur dass an der Stelle an der f(x) eine Nullstelle hat, die Aufleitung einen Extrmepunkt aufweist und wenn f(x) einen Extrempunkt hat die Aufleitung einen Wendepunkt haben muss. Wisst ihr vielleicht noch weitere "Regeln" mit denen ich mir die Zusammenhänge graphisch erschließen kann.
Wäre echt super nett.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Mi 09.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hier wird das ganze ziemlich verständlich erklärt, finde ich:
![[]](/images/popup.gif) *Hier*
Gruss
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@chrisno: matux hat mich rausgeworfen, während ich fleißig geschrieben habe, und Du schreibst nun gerade eine Antwort.
Ich poste meins jetzt als Mitteilung, denn wenn's für den Müll wäre, wäre mein Tag komplett verdorben...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Ich muss morgen ein Referat über die Zusammenhänge
> zwischen der Funktion f, F, f' erklären. Allerdings am
> Graphen.
Dein Referat handelt also vom graphischen Differenzieren
> Ich versteh aber nicht wie ich mir anhand der
> gezeichneten Funktion f(x) die Aufleitung, bzw. Ableitung
> herleiten kann. Bis jetzt weiß ich nur dass an der Stelle
> an der f(x) eine Nullstelle hat, die Aufleitung einen
> Extrmepunkt aufweist und wenn f(x) einen Extrempunkt hat
> die Aufleitung einen Wendepunkt haben muss. Wisst ihr
> vielleicht noch weitere "Regeln" mit denen ich mir die
> Zusammenhänge graphisch erschließen kann.
Wir betreiben die Sache erstmal "abwärts", gehen also davon aus, daß wir den Graphen von f vorliegen haben und nun den von f' skizzieren sollen.
(Ich lasse meine Schüler das nie ins selbe Koordinatensystem machen, sondern in eins, was direkt unter dem von f liegt.)
Jetzt schauen wir erstmal den Graphen von f an. Markiere seine Extremwerte. Das sind die Stellen, an denen man den Berg erklommen bzw. das Tal erreicht hat. Die Tangente ist waagerecht, also Steigung =0.
Du kannst also an den x-Stellen, an denen Extrema liegen, für die Ableitung Nullstellen eintragen.
Wenn Du einen zusammenhängenden Graphen hast, verläuft die Ableitung zwischen den Nullstellen jeweils komplett im pos. bzw. negativen Bereich, die x-Achse wird höchstens noch tangiert, aber nicht mehr geschnitten.
(Ich markiere mir die Bereiche, in denen die Ableitungsfunktion verlaufen darf, immer leicht farbig. Dann macht man nicht so viele Fehler.)
Zwischen einem Minimum und einem Maximum muß f jeweils einen Wendepunkt haben. Du findest ihn, wenn Du Dir vorstellst, daß Du den Graphen entlangradelst. Dort, wo die Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht, ist ein Wendepunkt.
Markiere die Wendepunkte.
Zeichne dünn die Tangente und entscheide, wie groß ihre Steigung ist.
Damit kennst Du die Ableitung an dieser Stelle und kannst den Punkt für den Graphen von f' einzeichnen.
Überlege Dir, daß der Graph von f' hier einen Extremwert hat.
Bei Sattelpunkten von f hat f' an der entsprechenden Stelle eine Nullstelle. Die x-Achse wird jedoch nicht geschnitten, sondern berührt.
Wenn Du nun noch schaust, was der Graph von f für [mm] \pm\infty [/mm] macht, kannst Du die Ableitungsfunktion schon ganz gut skizzieren.
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Jetzt gehen wir "aufwärts", versuchen also, zu einer gegebenen Funktion f die Stammfunktion F zu skizzieren.
Zunächst mal ist es wichtig zu wissen, daß eine Stammfunktion F von f ja gerade die Eigenschaft hat, daß F'=f gilt.
Wir müssen also eine Funktion F suchen, deren Ableitung F' gerade der vorgegebene Graph von f ist.
(Ich lasse immer ein Koordinatensystem zeichnen, welches direkt über dem von f liegt.)
Schauen wir nun f an.
Markante Punkte für unser Vorhaben, den Graphen von F zu skizzieren, sind die Nullstellen und Extremwerte.
Ich behandle hier zunächst nur solche Nullstellen, die nicht gleichzeitig auch Extremwerte sind, also Stellen, an denen die x-Achse wirklich geschnitten und nicht nur tangiert wird.
An den Nullstellen ist f rechts pos und links neg. oder umgekehrt.
Nun soll f ja die Steigung von F beschreiben.
Was wissen wir nun? An den Nullstellen von f hat F die Steigung 0, rechts steigt F, links fällt F (bzw. umgekehrt). Also hat F hier ein Min bzw. ein Max.
Zwischen je zwei Nullstellen von f liegt ein Extremum (- fiesere Fälle mit mehreren Extremwerten zwischen den Nullstellen betrachte ich hier nicht. Wen nDu sowas hast, müßtest Du ggf. nachfragen.)
Auf F bezogen: das sind die Stellen, an denen F die größte Steigung bzw. das größte Gefälle hat. Die Krümmungsrichtung von F wechselt hier, also hat man einen Wendepunkt. Das ist nichts Neues für Dich, Du schriebst es schon eingangs.
Auch hier würde man abschließend wieder die beiden Enden von f betrachten und schauen, was der Graph dort macht. Geht er gegen [mm] \pm\infty? [/mm] nähert er sich einem konstanten Wert?
Im ersten Fall wächst bzw. fällt F zu den Enden hin unermeßlich, in zweitem Fall würde der Graph von F sich am Ende einer Geraden annähern.
Nun betrachten wir noch den Fall, daß f ein Minimum hat, welches gleichzeitig Nullstelle ist.
Nullstelle bei f - waagerechte Tangente bei F.
Minimum bei f - Wendepunkt bei F
==> wir haben hier einen Sattelpunkt, einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente bei F.
Der Fall, daß f ein Max hat, welches gleichzeitig Nullstelle ist, geht entsprechend.
Bei Rückfragen ist es sicher sinnvoll, wenn Du Deine Skizzen mitpostest, Du kannst sie als Anhang einstellen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Mi 09.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Ihr habt doch den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung gehabt? Sonst geht es darauf hinaus.
Auf dem Grafen von f wird in x-Richtung gewandert. Wie steil gerade der Anstieg ist, wird für jedes x festegehalten und als Funktion f' dargestellt. Also es geht ganz steil aufwärts: f' hat einen großen Wert. Die Wanderung ist in der Ebene: f' = 0. Nun geht es wieder Bergab: f' ist negativ.
Sinngemäß für F. Wir schauen uns f an: Wenn f = 0, dann muss F waagerecht verlaufen. Wenn f > 0, dann muss F ansgteigen, je größer f, umso steiler wird F.
Zeichne drei zusammengehörende F, f und f' versetzt übereinander und erläutere daran diese Zusammenhänge für ein paar ausgesuchte Werte von x.
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