Kurvendiskussion f_{t}(x)-Fkt. < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch [mm] f_{t}(x)=x³+tx²+(t-1)x [/mm] ist eine Funktionenschar gegeben. Die zugehörigen Schaubilder seien [mm] K_{t}.
[/mm]
a) Zeige, dass alle Schaubilder [mm] K_{t} [/mm] zwei Punkte gemeinsam haben.
b) An welcher Stelle [mm] x_{0} [/mm] haben alle [mm] K_{t} [/mm] Schaubilder die gleiche Steigung. |
a) Die Lösung soll laut meinem Lehrer [mm] S_{1}(0|0) [/mm] und [mm] S_{2}(-1|0) [/mm] sein.
Ich habe x ausgeklammert
[mm] f_{t}(x)=0=x(x²+tx+t-1)
[/mm]
weshalb gilt: [mm] x_{1}=0.
[/mm]
Die zweite Lösung [mm] (S_{2}) [/mm] habe ich aber nur durch Ausprobieren herausbekommen.
Wenn ich für
0=x²+tx+t-1
die p-q-Formel angewandt habe, bin ich nur bis zu diesem Punkt gekommen:
[mm] x_{2}, x_{3}=-\bruch{1}{2}t\pm\wurzel{\bruch{1}{4}t²-(t-1)}.
[/mm]
b) Ich habe die zweite Ableitung gebildet.
[mm] f_{t}'(x)=3x²+2tx+t-1 [/mm] = [mm] x²+\bruch{2}{3}t+\bruch{t-1}{3}
[/mm]
Wenn ich das in die p-q-Formel einsetze, komme ich nur bis zu dieser Stelle:
[mm] x_{1}, x_{2}=-\bruch{1}{3}t\pm\wurzel{\bruch{1}{9}t²-\bruch{1}{3}t-\bruch{1}{3}}
[/mm]
Weiß jemand was ich falsch mache oder auf welchem anderen Weg man zur Lösung kommen kann?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 So 18.05.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Du könntest es "nicht sehr elegant" berechnen, indem du einfach 2 verschiedene Werte für t einsetzt und die Funktionen dann gleichsetzt; also den Gemeinsamen schnittpunkt berechnest.
Das kannst du ja für t=1, t=2 und t=2, t=3 machen.
Wenn es dann für 3 gilt, gehst du einfach davon aus, dass es für alle gilt.
"Elegant" wäre es, wenn du für t 2 unterschiedliche Variablen einsetzt; dann auch die Funktionen gleichsetzen.
Dann solltest du identische Werte erhalten.
Aber wähle ruhig den "uneleganten Weg" ;)
Lg
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 So 18.05.2008 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
Das mit dem Prüfen für 1, 2 und 3 und dann daraus folgern, dass es für alle $t$ gilt ist ehrlich gesagt SCHMARRN.
$p(x) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] 41\,x [/mm] + 41$ liefert Primzahlen für alle natürlichen Zahlen von 0 bis 39. Leider kann daraus nicht gefolgert werden, dass es für alle natürlichen Zahlen so ist.
Gleiches gilt für den "und dann folgern wir für alle ..."-Ansatz.
Sei [mm] $t_1 \neq t_2$. [/mm] Dann setzt man an [mm] $f_{t_1}(x) [/mm] = [mm] f_{t_2}(x)$ [/mm] und rechnet, bis ein von [mm] $t_1$ [/mm] bzw. [mm] $t_2$ [/mm] unbhängiger Wert rauskommt. Dann muss auch noch der Funktionswert an dieser Stelle unabhängig von $t$ sein. Das wäre hier wirklich "elegant".
Für die Punkte mit gemeinsamer Steigung ist genau die selbe Rechnung durchzuführen, nur halt mit anderem Ansatz!
Gruß
mathemak
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 18.05.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ich glaube kaum, dass jeder Lehrer eine "sehr gute Herleitung" verlangt.
Falls man unterschiedliche Zahlenpaare einsetzt, erhält man immer x(x+1)=0; die oben gestellte Frage, wie man also auf die jeweiligen Punkte kommt, die jede Kurve der Schar hat, ist damit meiner Meinung nach damit am einfachsten zu beantworten und wohl auch am einfachsten.
Und zu zweiterem verstehe ich um ehrlich zu sein deine Kritik nicht; das ist es doch, was ich meinte.
Ich befürchte du hast mich lediglich nur "falsch verstanden".
Als Lösung für den Ansatz erhalte ich dann:
x=0 v x= [mm] \bruch{t_{2}-t_{1}}{t_{1}-t_{2}} [/mm] ; zweiteres kann man als -1 auffassen.
Beide x- Werte in die Ausgangsgleichung eingesetzt, ergeben jeweils 0.
Einen schönen Abend noch und Entschuldigung für evtl. von mir ausgehende Missverständnisse oder Fehler meinerseits.
Ciao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 So 18.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Meterbrot!
Fass mal den Ausdruck aus der p/q-Formel weiter zusammen. Dann entsteht eine weitere Lösung, in welcher kein $t_$ mehr vorkommt.
[mm] $$x_{2/3} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}t\pm\wurzel{\bruch{1}{4}t^2-(t-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-t\pm\wurzel{t^2+4*t+4}}{2} [/mm] \ = \ ...$$
Bei Aufgabe b.) musst Du mit der ersten Ableitung rechnen (nicht mit der zweiten).
Gruß
Loddar
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