Kurvendiskussion mit Parameter < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Misssy |
| Aufgabe | fa(x)= X³+(a-1)x²-(2a²+a)x+2a²
Erstellen sie eine komplette Kurvendiskussion (in der Schule haben wir bis jetzt Nullstellen, Horizontalstellen, Relative Extreme, Wendepunkte, Terassenpunkte, Symmetrieverhalten, Monotonieverhalten durchgenommen)
Das ist keine Facharbeit aber wir kriegen solche Aufgaben um diese dann mit der Klasse zu bearbeiten! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nullstellen in Abhängigkeit von a habe ich schon gemacht.
fa(x)=0
für a=0
f(x)= x³-x²0=
x²(x-1)=0 => [mm] x_{1,2}=0 [/mm] doppelte NSt [mm] x_{3}=1 [/mm] einfache NSt
für a [mm] \not=0
[/mm]
x³+ax²-x²-2a²x-ax+2a²=> Polynomdivision (durch ausprobieren [mm] x_{1}=-2a)
[/mm]
(x³+ax²-x²-2a²x-ax+2a²):(x+2a)=x²-ax-x+a
[mm] x_{2,3}=\bruch{a+1\pm\wurzel{(a-1)²}}{2}
[/mm]
Diskriminante: (a-1)² für a=1 eine weitere Nullstelle [mm] x_{1}= [/mm] -2 und [mm] x_{2}=1 [/mm] doppelte NSt
für a>1 und a<1 wobei [mm] a\not=0
[/mm]
[mm] x_{1}= [/mm] 2a einfache NSt
[mm] x_{2}=a [/mm] einfache NSt
[mm] x_{3}=-1 [/mm] einfache NSt
Symmetrieverhalten:
Es besteht weder eine Symmetrie zum Ursprung (nicht nur ungerade Exponenten), noch eine Symmetrie zur y-Achse(nicht nur gerade Exponenten)
Soweit kein Problem aber obwohl ich weiß, dass ich für Horizontalstellen die erste Ableitung brauche und Null setzen muss, komme ich auf eine Diskriminante von
7a²-5a+1 habe die dann wieder 0 gesetzt
[mm] a_{1,2}= \bruch{5\pm\wurzel{25-48}}{14} [/mm] jetzt ist aber die Diskriminante negativ also keine lösung
und da hakt es jetzt. Darf ich das überhaupt?
Was war falsch?
Naja die restliche Aufgabenstellung beinhaltet auch total viele Parameter was das ganze ziemlich schwer macht aber die probiere ich nochmal selber aus!
Vielen Dank für die Hilfe
Liebe Grüße
Patrizia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 18.02.2007 | | Autor: | Misssy |
| Aufgabe | fa(x)= X³+(a-1)x²-(2a²+a)x+2a²
Erstellen sie eine komplette Kurvendiskussion (in der Schule haben wir bis jetzt Nullstellen, Horizontalstellen, Relative Extreme, Wendepunkte, Terassenpunkte, Symmetrieverhalten, Monotonieverhalten durchgenommen)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Seite gestellt!!
Hallo nochmal!
Erstmal vielen vielen Dank für die schnelle Bearbeitung!
Ich habe leider noch einige Fragen, die vielleicht total simpel klingen aber ich stehe vor einem riesen Berg von Parametern! Bitte helft mir noch einmal auf die Sprünge.
Bei [mm] x_{3} [/mm] =1 habe ich mich nur vertippt!
Ich habe den Fehler in der Ableitung gefunden. Wie immer ein Vorzeichendreher.
fa'(x)= 3x²+2ax-2x-2a²-a
dann habe ich weiter gemacht wie gestern fa'(x)=0 gesetzt
Die Diskriminante: 28a²+4a+4=0 /:4
7a²+a+1=0
dann
[mm] a_{1,2}= \bruch{-1\pm\wurzel{1-28}}{14}
[/mm]
dabei wird die Diskriminante immernoch negativ 1-28<0
Heißt das jetzt dass es keine Horizontalstellen gibt?
Das wirft eine weitere Frage auf. Für das Monotonieverhalten brauche ich ja auch die 1. Ableitung komme ich wieder auf die selbe Diskriminante und die ist ja negativ! Es kann aber doch nicht sein, dass es kein Monotonie gibt in einer Funktion gibt, oder?
Muss ich dann vielleicht wieder alle Werte von a einsetzen?
Same procedure beim Wendepunkt.
Da braucht man doch die zweite Ableitung
fa''(x)= 6x+2a-2
fa''(x)=0
=> 6x+2a-2=0 /:2
3x+a-1=0/+1-a
3x=1-a/: 3
[mm] x=\bruch{1-a}{3}
[/mm]
Das habe ich dann in fa(x) eingesetzt den Hauptnenner 27 ermittelt, die ganze Gleichung mit 27 multipliziert und komme dann, sollte ich mich nicht wieder verrechnet haben (das war ein langer Term!) auf
[mm] fa(\bruch{1-a}{3})=22a³+39a+6a-11
[/mm]
Was jetzt?
Um wenigstens noch herauszufinden ob der Wendepunkt einen Vorzeichenwechsel hat wollte ich es in fa'''(x) einsetzen aber fa'''(x)=6 ohne dass ich etwas mache deshalb mit Vorzeichenwechsel oder?
Ich stehe wohl ziemlich auf der Leitung, oder?
Kann ich für denn nicht irgendwas einsetzen?
Also viele Fragen und die nehmen kein Ende.
Sorry aber nochmal Danke im voraus
Lg Patrizia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Mo 19.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Patrizia
[mm] f_{a}(x)=x³+(a-1)x²-(2a²+a)x+2a² [/mm]
[mm] f_{a}'(x)=3x²+2(a-1)x-(2a²+a)
[/mm]
Und hiervon suchst du jetzt die Nullstellen.
0=3x²+2(a-1)x-(2a²+a)
[mm] \gdw 0=x²+\underbrace{\bruch{2(a-1)}{3}}_{p}x-\underbrace{\bruch{2a²+a}{3}}_{q}
[/mm]
Und das in die P-Q-Formel eingesetzt ergibt:
[mm] x_{1;2}=\bruch{a-1}{3}\pm\wurzel{\bruch{(a-1)²}{9}+\bruch{2a²+a}{3}}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1;2}=\bruch{a-1}{3}\pm\wurzel{\bruch{a²-2a+1+3(2a²+a)}{9}}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] x_{1;2}=\bruch{a-1}{3}\pm\wurzel{\bruch{7a²+3a+1}{9}}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1;2}=\bruch{a-1\pm\wurzel{7a²+3a+1}}{3}
[/mm]
Jetzt klarer?
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:13 Mo 19.02.2007 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
Da ist ein Rechenfehler bei der Diskriminante!
[mm] $-2\,a [/mm] + [mm] 3\,a [/mm] = a$
Gruß
mathemak
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Misssy |
| Aufgabe | fa(x)= X³+(a-1)x²-(2a²+a)x+2a²
Erstellen sie eine komplette Kurvendiskussion |
Langsam wirds peinlich
Wie es so läuft-ich verstehe das immernoch nicht so ganz also nochmal von vorne!
fa'(x)=3x²+2(a-1)x-(2a²+a)
fa'(x)= 0 und dann durch 3 dividieren!
Soweit habe ich es verstanden
In die Formel eingesetzt ergibt sich dann bei mir
[mm] x_{1,2}=\bruch{\bruch{-2(a-1)}{3}\pm\wurzel{\bruch{[2(a-1)]²}{9}-4*\bruch{-(2a²+a)}{3}}}{2}=
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{-2a+2}{3}\pm\wurzel{\bruch{4a²-8a+4}{9}-\bruch{-24a²+12a}{9}}}{2}=
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{-2a+2}{3}\pm\wurzel{\bruch{28a²-20a+4}{9}}}{2}=
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{-2a+2}{3}\pm\bruch{2}{3}\wurzel{\bruch{7a²-5a+1}{3}}}{2}
[/mm]
Wo liegt mein fehler???
Ich bin inzwischen schon echt nah daran mich selbst für unfähig zu erklären!
Bitte helft mir nochmal
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mo 19.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest es in der Antwort auf Loddar schon mal richtig!
> fa(x)= X³+(a-1)x²-(2a²+a)x+2a²
> Erstellen sie eine komplette Kurvendiskussion
> Langsam wirds peinlich
> Wie es so läuft-ich verstehe das immernoch nicht so ganz
> also nochmal von vorne!
> fa'(x)=3x²+2(a-1)x-(2a²+a)
> fa'(x)= 0 und dann durch 3 dividieren!
> Soweit habe ich es verstanden
> In die Formel eingesetzt ergibt sich dann bei mir
>
> [mm]x_{1,2}=\bruch{\bruch{-2(a-1)}{3}\pm\wurzel{\bruch{[2(a-1)]²}{9}-4*\bruch{-(2a²+a)}{3}}}{2}=[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\bruch{-2a+2}{3}\pm\wurzel{\bruch{4a²-8a+4}{9}-\bruch{-24a²+12a}{9}}}{2}=[/mm]
>
Hier ist der [mm] Fehler:\bruch{-24a²-12a}{9}
[/mm]
-12a statt +12a
[mm]=\bruch{\bruch{-2a+2}{3}\pm\wurzel{\bruch{28a²-20a+4}{9}}}{2}=[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\bruch{-2a+2}{3}\pm\bruch{2}{3}\wurzel{\bruch{7a²-5a+1}{3}}}{2}[/mm]
dann hast du in der Wurzel [mm] 7a^2+a+1
[/mm]
jetzt untersuchst du, ob diese Diskriminante irgendwo 0 und dann negativ wird.
Du findest heraus, dass es KEIN a gibt, fuer das D= [mm] 7a^2+a+1=0 [/mm] ist, und da D fuer alle positiven a positiv ist, kann es also auch nirgends negativ werden.
D.h. also dass du fuer ALLE a wirklich waagerechte Tangenten hast!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:42 Di 20.02.2007 | | Autor: | Misssy |
| Aufgabe | fa(x)= x³+(a-1)x²-(2a+a)x+2a²
Erstellen Sie eine komplette Kurvendiskussion |
Kaum zu glauben aber es nimmt kein Ende
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Das habe ich schon
Das Krümmungsverhalten Wendepunkt:
fa''(x)= 6x+2(a-1) gleich null gesetzt
=> 6x+2(a-1)=0 das ganze :2
3x+a-1=0
=> [mm] x=\bruch{1-a}{3} [/mm]
kann ich jetzt daraus folgern, wenn
a>1 fa''(x)<0 => rechtskrümmung
a<1 fa''(x)>0 => linkskrümmung
??????
Ein WEP ist es doch nur dann wenn entweder wenn fa''(x)=0 ist und ein Vorzeichenwechsel vorliegt, oder die 3. Ableitung [mm] \not=0 [/mm] ist aber
fa'''(x)=6
kann ich jetzt sagen dass es für alle a einen Wendepunkt bei [mm] (6/\bruch{1-a}{3})gibt [/mm] und da die Terassenpunkte auch so bestimmt werden ist das doch gleichzeitig ein Terassenpunkt, oder?
Kaum zu glauben ich habe noch eine Frage:
Monotonieintervalle bestimmt man doch mit f'(x) und wenn ich so vorgehe ist ja wieder alles das selbe wie bei den Horizontalstellen also wieder die Diskriminante von fa'(x) also 7a²+a+1 und die kann ja weder negativ noch null werden. aber ich brauche ja Punkte um das Intervall zu bestimmen oder??
Ich hoffe das ist noch einigermaßen verständlich!
Nochmal ganz großes Dankeschön an alle, die mir helfen!
Eure Patrizia
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:20 Di 20.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du stuerzt dich zu sehr auf das a und nicht das x!
Aber was ich von deinem Dateianhang gesehen hab ist eigentlich sehr gut.(hab nicht alles genau gelesen, da ich kein word auf meinem comp. hab. )
> fa(x)= x³+(a-1)x²-(2a+a)x+2a²
> Das Krümmungsverhalten Wendepunkt:
> fa''(x)= 6x+2(a-1) gleich null gesetzt
> => 6x+2(a-1)=0 das ganze :2
> 3x+a-1=0
> => [mm]x=\bruch{1-a}{3}[/mm]
also auf jeden Fall und fuer alle a gibt es einen Wendepunkt, da ja [mm] f'''\ne [/mm] 0
> kann ich jetzt daraus folgern, wenn
> a>1 fa''(x)<0 => rechtskrümmung
> a<1 fa''(x)>0 => linkskrümmung
nein! du musst die x- stelle untersuchen fuer die f'' das Vorzeichen wechselt:
f''(x)>0
heisst 3x+a-1>0 also x>(1-a)/3 also fuer diese x Rechtkr.
je nach groesse von a gibt das natuerlich ne andere Stelle fuer x! (setz immer mal ne beliebige Zahl fuer a ein, dann siehst du klarer! z. Bsp a=-17, f''>0 fuer x>6
entsprechend f''<0 fuer x<(1-a)/3 im Beispiel fuer x<6 und Wendepunkt bei x=6
> Ein WEP ist es doch nur dann wenn entweder wenn fa''(x)=0
> ist und ein Vorzeichenwechsel vorliegt, oder die 3.
> Ableitung [mm]\not=0[/mm] ist aber
> fa'''(x)=6
> kann ich jetzt sagen dass es für alle a einen Wendepunkt
> bei [mm](6/\bruch{1-a}{3})gibt[/mm] und da die
Terassenpunkte auch
> so bestimmt werden ist das doch gleichzeitig ein
> Terassenpunkt, oder?
das 6 ist ja nicht der Funktionswert, dazu musst du den WDP in die Funktion einsetzen, das wird aber allgemein gerechnet unschoen, also lies ich das weg. Einfach bei [mm] x=\bruch{1-a}{3}) [/mm] liegt ein Wendepunkt.
"Terassenpunkt ist kein offizieller mathematischer Name! Ich denk ihr bezeichnet so einen wendepunkt mit waagerechter Tangente. dazu muss aber auch f'(x)=0 sein. da hattest du NICHT x=(1-a)/3 soweit ich mich erinnere.
> Kaum zu glauben ich habe noch eine Frage:
> Monotonieintervalle bestimmt man doch mit f'(x) und wenn
> ich so vorgehe ist ja wieder alles das selbe wie bei den
> Horizontalstellen also wieder die Diskriminante von fa'(x)
> also 7a²+a+1 und die kann ja weder negativ noch null
> werden. aber ich brauche ja Punkte um das Intervall zu
> bestimmen oder??
wieder, du suchst nicht stellen, wo a irgendwas ist, sondern Stellen x fuer die gilt f(x)>0 oder f(x)<0, dazu weisst du schon, wo f(x)=0 ist, nur da kann es von < auf > uebergehen.
Aber du suchst Gebiete mit f(x)<0, und die haengen von a ab.
(wieder im Zweifelsfall mit ner zahl fuer a hantieren.
Ich hoff, es ist jetzt was klarer. Sonst weiterfragen, du hast ja wirklich die meiste Arbeit selbst gemacht.
Gruss leduart
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
(Auch wenn dieser Fall $a \ = \ 0$ nicht hätte gesondert betrachtet werden müssen.)
