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| Aufgabe | Diskutieren Sie die rationale Funktion
f(x) = (3x² - 5x) / (3x-9), x ungleich 3 |
Hallo liebe Forummitglieder,
ich bin noch ganz neu hier und weiß gar nicht, wie ich hier anfangen soll.
Also ich bin kein großartiges Mathe Genie, würde aber schon gerne mal richtig nachvollziehen können, wie ich so eine Aufgabe lösen kann. Meine Lehrerin ist leider kein Erklärungstalent und da versteht es keiner.
Ich hoffe, dass sich jemand mal die Zeit nehmen kann und mir das dann mal etwas genauer schildern kann und/oder mich auf meine Fehler aufmerksam machen kann, es wäre sehr lieb!
Aber erstmal zu meinen Lösungsansätzen!
- Da dies nun eine gebrochen rationale Funktion ist, muss man ja ganz bestimmt die Definitionslücken und Asymptoten ausrechnen.
Da liegt leider mein erstes Problem, ich denke, dass ich es falsch gemacht habe.
Definitionslücken:
Ausgangsgleichung:
(3x²-5x)/(3x-9)
So, nun muss man ja herausfinden mit welchem x Wert der Nenner 0 wird.
da ist ja nun - 3*3 - 9 = o
demzufolge ist x=3.
Man setzt nun diesen x-Wert in den Zähler ein und rechnet dies nun aus.
Wenn der Wert gleich 0 ist, dann ist es ein Definitionsloch, wenn dieser Wert ungleich 0 ist, dann ist es eine Polstelle.
Das ist ja nun absolut ungleich 0 --> Polstelle
- Für die Asymptote muss man ja nun eine Polynomdivision machen, oder?
also:
(3x²-5x) : (3x-9) = x + 4/3
Dann leitet man diese Funktionen ja eigentlich ab.
Wo nun schon mein Problem liegt.
F(x) = (3x²-5x)/(3x-9)
f'(x)= [quotientenregel!]
(u'*v - u * v') / (v²)
= (3x²-5x)' * (3x-9) - (3x²-5x)*(3x-9)'/ (3x-9)²
= (6x-5) * (3x-9) - 3x²+ 5x * 3
= 18x² - 54x - 15x + 45 - 3x² + 15x / (3x-9)²
= 15x² - 54x + 45 / (3x-9)²
=> jetzt kommt da leider etwas exorbitantes heraus, was sicherlich nicht stimmt.
Somit ist es mir dann auch in den Weg gelegt, die 2. Ableitung von f(x) herzuleiten.
Ich hoffe ihr findet diesen Fehler!
Wie berechnet man die Wendestellen und Extrempunkte?
Ich weiß, dass es sehr viel ist, jedoch hoffe ich, dass ihr mir dort Schrittweise weiterhelfen könnt.
Das wäre wirklich sehr lieb von euch.
Ein großes Dankeschön schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Fr 24.11.2006 | | Autor: | DesterX |
Hi Sunshine!
> - Für die Asymptote muss man ja nun eine Polynomdivision
> machen, oder?
> also:
>
> (3x²-5x) : (3x-9) = x + 4/3
>
Das stimmt nicht ganz, sondern: (3x²-5x) : (3x-9) = x + 4/3 + [mm] \bruch{12}{3x-9}
[/mm]
Nun geht das ganze für x -> 3 gegen die Asymptote [mm] x+\bruch{4}{3} [/mm] (denn der letzte hier rote Term wird 0)
Dann hast du so weit recht!
Ich editiere hier mal zur Veranschaulichung etwas in deinem Zitat:
> f'(x)= [quotientenregel!]
> (u'*v - u * v') / (v²)
> = [mm] \bruch{(3x²-5x)' * (3x-9) - (3x²-5x)*(3x-9)'}{(3x-9)²}
[/mm]
Bis hier stimmt's - aber nun machst du den Fehler im 2. Term im Zähler nicht die 3 auch mit dem gesamten Ausdruck (3x²-5x) zu multiplizieren, dann ergibt sich:
[mm] \bruch{(18x² - 54x - 15x + 45 -9*x² + 15x)}{(3x-9)²}
[/mm]
= [mm] \bruch{9*x^2-54*x+45}{(3x-9)²}
[/mm]
>
> Somit ist es mir dann auch in den Weg gelegt, die 2.
> Ableitung von f(x) herzuleiten.
Jetzt darfst du wieder loslegen!
>
> Wie berechnet man die Wendestellen und Extrempunkte?
Um bsp'weise die Extremstellen zu berechnen setze f'(x)=0 und löse nach x auf. Die Lösungen sind Kanidaten für deine Extrema, denn:
Extrema:
Notwendige Bdg für Extrema: [mm] f'(x_e)=0
[/mm]
Hinreichende Bdg für Extrema [mm] f'(x_e)=0 [/mm] und [mm] f''(x_e) \not= [/mm] 0
Sollte [mm] f''(x_e)>0 [/mm] sein => Tiefpunkt , [mm] f''(x_e)<0 [/mm] => Hochpunkt
Setze also [mm] x_e [/mm] in f''(x) und überprüfe die hinreichende Bdg.
Für Wendestellen gilt analog:
Wendestellen:
Notwendige Bdg für Extrema: [mm] f''(x_w)=0
[/mm]
Hinreichende Bdg für Extrema [mm] f''(x_w)=0 [/mm] und [mm] f'''(x_w) \not= [/mm] 0
Was mir an deiner Untersuchung ansonsten noch fehlt ist die Untersuchung , was mit f für x gegen [mm] \pm \infty [/mm] passiert und die Nullstellenbestimmung der Funktion allgemein
Dann weiter viel Erfolg
Gruß,
Dester
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