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| Aufgabe | Führen sie eine Kurvendiskussion der Kurvenschar [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) a} [/mm] durch.
a) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) a}= [/mm] x³ - ax
b) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) a}= [/mm] -x³ + 2ax²
c) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) a}= [/mm] a²x³ + 6ax² + 9x |
Allgemeine Kurvendiskussionen sind für mich kein Problem, jedoch verwirrt mich die Variable a - mir fällt es schwer für sie 'Bedingungen' zu formulieren.
a) Meine Ableitungen habe ich bereits formuliert, erster Ansatz für die Nullstellen wäre folgender:
0 = x * (x² - a)
-> x(1) = 0
0 = x² - a
[mm] +-\wurzel{a} [/mm] = x
-> x(2) = [mm] +\wurzel{a} [/mm] x(3) = [mm] -\wurzel{a}
[/mm]
Wäre dies als Angabe für die Nullstellen ausreichend?
Meine Extremstellen lauten folgendermaßen:
x(1) = [mm] +\wurzel{a/3} [/mm] x(2) = [mm] -\wurzel{a/3}
[/mm]
-> Wie wären jedoch die dazugehörigen y-Werte?
Wendepunkt wäre (0|0), wie bestimme ich diesbezüglich jedoch das Krümmungsverhalten?
b) Ähnlicher Stand
c) Hier scheitere ich bereits beim Berechnen der Nullstellen, denn um die pq-Formel anwenden zu können muss ich die komplette Gleichung durch a² teilen, oder?
Ich hoffe ihr könnt mir meine Fragen beantworten und mir einen Ansatz bzgl. c) geben! Vielen Dank (:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Mir ist ein Missgeschick beim Eingeben der Aufgabenstellung unterlaufen, muss natürlich alles f(x) heißen.
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Hallo fackelschein,
> Führen sie eine Kurvendiskussion der Kurvenschar
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) a}[/mm] durch.
>
> a) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) a}=[/mm] x³ - ax
> b) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) a}=[/mm] -x³ + 2ax²
> c) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) a}=[/mm] a²x³ + 6ax² + 9x
> Allgemeine Kurvendiskussionen sind für mich kein Problem,
> jedoch verwirrt mich die Variable a - mir fällt es schwer
> für sie 'Bedingungen' zu formulieren.
>
> a) Meine Ableitungen habe ich bereits formuliert, erster
> Ansatz für die Nullstellen wäre folgender:
>
> 0 = x * (x² - a)
> -> x(1) = 0
>
> 0 = x² - a
> [mm]+-\wurzel{a}[/mm] = x
> -> x(2) = [mm]+\wurzel{a}[/mm] x(3) = [mm]-\wurzel{a}[/mm]
>
> Wäre dies als Angabe für die Nullstellen ausreichend?
Ja, aber nur für den Fall, daß [mm]a \ge 0[/mm].
Sofern an a keine Bedingungen gestellt worden sind,
ist der Fall a < 0 noch zu behandeln.
> Meine Extremstellen lauten folgendermaßen:
>
> x(1) = [mm]+\wurzel{a/3}[/mm] x(2) = [mm]-\wurzel{a/3}[/mm]
>
Das sind die Extremstellen für den Fall [mm]a \ge 0[/mm].
> -> Wie wären jedoch die dazugehörigen y-Werte?
>
Einsetzen in die Funktionsgleichung.
> Wendepunkt wäre (0|0), wie bestimme ich diesbezüglich
> jedoch das Krümmungsverhalten?
>
Das Krümungsverhalten ändert sich nur an den Wendepunkten.
> b) Ähnlicher Stand
>
> c) Hier scheitere ich bereits beim Berechnen der
> Nullstellen, denn um die pq-Formel anwenden zu können muss
> ich die komplette Gleichung durch a² teilen, oder?
>
Ja.
> Ich hoffe ihr könnt mir meine Fragen beantworten und mir
> einen Ansatz bzgl. c) geben! Vielen Dank (:
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Erst einmal vielen Dank.
Bezüglich c)
Die Funktion lautet f(x) = a²x³ + 6ax² + 9x
1. Abl.: f`(x) = 3a²x² + 12ax + 9
2. Abl.: f``(x) = 6a²x + 12a
Nullstellen: f(x) = 0 ---- 0 = a²x³ + 6ax² + 9x | : (a²)
0 = x³ + 6x²/a + 9x/a² <-- Stimmt das? Wie würde dann meine pq-Formel 'aussehen'? Entschuldigung, falls ich derzeit blödsinnige Fragen stelle, aber ich bin etwas... verzweifelt.
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Vielen Dank, ist mir (wiedermal) nicht aufgefallen.
Meine Ergebnisse wären dann:
x(1) = 0
x(2) = 24x/a - 3/a
x(3) = -48x/a + 3/a
Stimmt dies soweit?
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> Meine Ergebnisse wären dann:
>
> x(2) = 24x/a - 3/a
> x(3) = -48x/a + 3/a
>
> Stimmt dies soweit?
Hallo Fackelschein,
du willst ja nur noch a als unbekannten Parameter in deiner Lösung haben, daher darf x nicht mehr rechts in deiner Gleichung auftauchen.
f(x) = a²x³ + 6ax² + 9x =0 | x ausklammern
<=> x = 0 [mm] \vee [/mm] a²x² + 6ax +9 = 0 | :a²
<=> x² + [mm] \bruch{6}{a} [/mm] x + [mm] \bruch{9}{a^2} [/mm] = 0
Dies ist der Ausgangspunkt für deine p/q-Formel:
x = [mm] -\bruch{\bruch{6}{a}}{2} \pm \wurzel{(-\bruch{\bruch{6}{a}}{2})^2 - \bruch{9}{a^2}}
[/mm]
Ein anderer Ansatz wäre die erste binomische Formel:
[mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2 [/mm] = [mm] (a+b)^2
[/mm]
=> [mm] a^2x^2 [/mm] + 6ax +9 = ( .... [mm] )^2
[/mm]
versuch deine Gleichung nach obigem Rezept umzuformen und zieh einfach die Wurzel ;)
Jetzt bist du wieder dran. :)
Denk dran: a ist nur ein Parameter => behandle ihn wie eine Zahl (wie du es bei den Ableitungen ja schon richtig getan hast).
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Ihr dürft euch eine Glühbirne über meinem Haupt vorstellen.
Vielen Dank, ich Dummerchen hab das x von p mit in die Formel gezogen.
Noch eine letzte Frage:
Wie gehe ich von, wenn es sich um Definitionen bzgl. Hoch- und Tiefpunkt bzw. Krümmung dreht? Ich habe ja keine 'positiven' bzw. 'negativen' Werte.
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Hallo nochmal :)
Hmm, ich weiß jetzt nicht ob ich dich richtig verstanden habe aber bei den Hoch-, Tief- und Wendepunkten gehst du ja genauso vor wie bei den Nullstellen - bloß mit den Ableitungen.
Hoch-/Tiefpunkte:
N.B.: f' (x) = 0 => x = ... (Dieses Ergebnis in die 2. Abl. einsetzen)
H.B.: f'' (x) < 0 => Hochpunkt
f'' (x) > 0 => Tiefpunkt
f'' (x) = 0 => Pech ;) Du musst den Vorzeichenwechsel überprüfen.
Die ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion f (x) einsetzen und du erhälst die y-Koordinate. Diese darf nicht nur, sie muss ja sogar von a abhängen (also a ist in der y-Koordinate enthalten).
Das gleiche bei den Wendepunkten bloß eine Ableitung tiefer.
War das deine Frage? :)
EDIT:
Halt, ich glaub jetzt hab ich dich verstanden! ;)
Nein du hast keine konkreten Werte für deine Entscheidung zum Hoch- oder Tiefpunkt.
An dieser Stelle hast du dann jeweils 3 Möglichkeiten, die du alle dann angeben musst:
f' (x) = 0 liefert dir ja (wahrscheinlich) 2 Lösungen, in welchen a jeweils enthalten ist. Das heißt dein Ergebnis ändert sich in Abhängigkeit von a.
Die drei Möglichkeiten, die du dann nochmal angeben musst sind
a<0 , a=0 , a>0.
Was passiert mit deinen Ergebnissen für die drei Möglichkeiten? Sie ändern evtl. ihr Vorzeichen.
Also z.B.:
f'' [mm] (x_{1}) [/mm] < 0 für a < 0
> 0 für a > 0
f'' [mm] (x_{2}) [/mm] < 0 für a < 0
> 0 für a > 0
Soweit klar ? :)
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