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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mo 03.11.2008 | | Autor: | abi09-.- |
| Aufgabe | | f (x) = ( [mm] x^{2} [/mm] - 2x +1) [mm] e^{x} [/mm] |
hallo,
also ich habe bei meiner kurvendiskussion so komische werte raus, das ich einfach mal fragen wollte ob jemand gucken kann was ich falsch gemacht habe... wäre sehr lieb!
ableitungen:
f'(x) = (2x-2) [mm] \* e^{x} [/mm] + [mm] (x^{2}-2x+1) \* e^{x} [/mm]
= [mm] (-1+x^{2}) \* e^{x} [/mm]
f''(x) = 2x [mm] \* e^{x} [/mm] + [mm] (-1+x^{2}) \* e^{x} [/mm]
= (2x - 1 + [mm] (x^{2}) \* e^{x} [/mm]
achsenschnittpunkte:
f(0) = [mm] e^{0} [/mm] = 1
[mm] S_{y} [/mm] (0/1)
f(x) = 0 :
( [mm] x^{2} [/mm] - 2x +1) [mm] e^{x} [/mm] = 0
[mm] x^{2} [/mm] - 2x +1 = 0 , da [mm] e^{x} \not= [/mm] 0, für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] S_{x} [/mm] (1/0)
Extrempunkte:
f'(x) = 0 :
[mm] (-1+x^{2}) \* e^{x} [/mm] = 0
[mm] (-1+x^{2}) [/mm] = 0 , da [mm] e^{x} \not= [/mm] 0, für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
x=1
f''(1) [mm] \approx [/mm] 5,44 > 0
T (1/0)
Verhalten im Unendlichen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\to\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\to [/mm] 0,
da [mm] e^{x} [/mm] im Unendlichen das Verhalten bestimmt.
Wendepunkte:
f''(x) = 0 :
(2x - 1 + [mm] x^{2}) \* e^{x} [/mm] = 0
2x - 1 + [mm] x^{2} [/mm] = 0 ; da [mm] e^{x} \not= [/mm] 0, für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] +2x-1 = 0
x= -1 [mm] \pm \wurzel{2}
[/mm]
x [mm] \approx [/mm] 0,414 [mm] \vee [/mm] x [mm] \approx [/mm] -2,414
f(0,414) [mm] \approx [/mm] 0,52
WP (0,414/0,52)
f(-2,414) [mm] \approx [/mm] 1,043
WP (-2,414/1,043)
... irgendwas stimmt da nicht....
hm^^
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Hallo!
> f (x) = ( [mm]x^{2}[/mm] - 2x +1) [mm]e^{x}[/mm]
> hallo,
> also ich habe bei meiner kurvendiskussion so komische
> werte raus, das ich einfach mal fragen wollte ob jemand
> gucken kann was ich falsch gemacht habe... wäre sehr lieb!
>
> ableitungen:
> f'(x) = (2x-2) [mm]\* e^{x}[/mm] + [mm](x^{2}-2x+1) \* e^{x}[/mm]
> = [mm](-1+x^{2}) \* e^{x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f''(x) = 2x [mm]\* e^{x}[/mm] + [mm](-1+x^{2}) \* e^{x}[/mm]
> = [mm](2x - 1 + x^{2}) * e^{x}[/mm]
> achsenschnittpunkte:
> f(0) = [mm]e^{0}[/mm] = 1
> [mm]S_{y}[/mm] (0/1)
Das ist zwar so richtig, aber du solltest nicht f(0) = [mm] e^{0} [/mm] schreiben, weil da kann man als Leser verwirrt werden, sondern lieber einmal ganz ausschreiben oder gleich das Ergebnis hin:
f(0) = [mm] (0^{2}-2*0+1)*e^{0} [/mm] = 1
oder
f(0) = 1
Aber so etwas halbes finde ich nicht so schön - ist aber Ansichtssache, Punktabzug gäbe es nicht.
> f(x) = 0 :
> ( [mm]x^{2}[/mm] - 2x +1) [mm]e^{x}[/mm] = 0
> [mm]x^{2}[/mm] - 2x +1 = 0 , da [mm]e^{x} \not=[/mm] 0, für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> [mm]S_{x}[/mm] (1/0)
. Genau. Man könnte eventuell noch erwähnen, dass hier eine doppelte Nullstelle vorliegt, weil die Funktion f(x) = [mm] (x-1)^{\red{2}}*e^{x} [/mm] lautet 
> Extrempunkte:
>
> f'(x) = 0 :
> [mm](-1+x^{2}) \* e^{x}[/mm] = 0
> [mm](-1+x^{2})[/mm] = 0 , da [mm]e^{x} \not=[/mm] 0, für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> x=1
Hier fehlt aber noch eine Lösung! Aus
[mm] x^{2} [/mm] - 1 = 0 [mm] \gdw x^{2} [/mm] = 1
ergibt sich nämlich
x = [mm] \pm [/mm] 1
wegen dem Quadrat! Somit gibt es noch eine weitere Extremstelle zu untersuchen, nämlich -1 !
> f''(1) [mm]\approx[/mm] 5,44 > 0
Ich weiß zwar nicht, wie ihr das im Unterricht gemacht habt, aber ich finde es schöner und exakter und besser ... wenn man das ausrechnet und es mit e hinschreibt:
f''(1) = 2*e > 0
> T (1/0)
Aber: Noch den zweiten Extrempunkt untersuchen!
> Verhalten im Unendlichen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\to\infty[/mm]
Hier schreibt man ein Gleichheitszeichen!
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} = \infty[/mm]
[mm] \infty [/mm] als Ergebnis ist aber richtig .
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}\to[/mm] 0,
> da [mm]e^{x}[/mm] im Unendlichen das Verhalten bestimmt.
[mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} = [/mm] 0
. Begründung schultechnisch sicher ok.
> Wendepunkte:
>
> f''(x) = 0 :
> (2x - 1 + [mm]x^{2}) \* e^{x}[/mm] = 0
> 2x - 1 + [mm]x^{2}[/mm] = 0 ; da [mm]e^{x} \not=[/mm] 0, für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> [mm]x^{2}[/mm] +2x-1 = 0
>
> x= -1 [mm]\pm \wurzel{2}[/mm]
> x [mm]\approx[/mm] 0,414 [mm]\vee[/mm] x [mm]\approx[/mm]
> -2,414
Wunderbar . Bei den nachfolgenden Berechnungen des y-Werts macht es wahrscheinlich wirklich Sinn, die Wurzeln mit durch gerundete Dezimalzahlen zu ersetzen, weil sonst auch nur Kauderwelsch raus kommt
> f(0,414) [mm]\approx[/mm] 0,52
>
> WP (0,414/0,52)
.
Du brauchst deine Errungenschaften nicht zu verstecken: Schreibe
[mm] f(\sqrt{2}-1) \approx [/mm] 0,52
[mm] WP(\sqrt{2}-1/0,52)
[/mm]
> f(-2,414) [mm]\approx[/mm] 1,043
>
> WP (-2,414/1,043)
>
> ... irgendwas stimmt da nicht....
> hm^^
Wie oben für die x-Werte ruhig die Wurzeln benutzen. Wieso rundest du hier plötzlich auf 3 Stellen nach dem Komma?
Falsche Bedenken! Alles, was du ausgerechnet hast stimmt! Nur die Extremstelle noch ergänzen
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mo 03.11.2008 | | Autor: | abi09-.- |
dankeschön, das war sehr hilfreich xD
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