Kurvenfit in Messpunkte legen < Matlab < Mathe-Software < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Di 10.05.2011 | | Autor: | Tom-chan |
Hallo freunde,
ich habe im labor diverse feder-masse-schwinger nach ihren eigenfrequenzen untersucht und wollte diese nun grafisch darstellen. da eine messreihe immer ein heidenaufwand ist, habe ich nur drei messreihen aufgenommen. gemessen wurde die resonanzfrequenz f eines dämpfers bei aufgebrachter masse m.
also habe ich nun 2 vektoren m und f mit jeweils 3 werten oder kurz gesagt: ich habe 3 messpunkte. ich würde jetzt gerne in matlab ein kurvenfit durch die 3 messpunkte legen wollen, so dass ich anhand der kurve gleich ablesen kann, welche werte für f ich bei gegebenem m erwarten kann. wenn ich mir den sachverhalt laienhaft aufmale, sieht die kurve schon ziemlich nach einer 1/x funktion aus, allerdings konnt ich die funktionsgleichung per hand leider nicht bestimmen.
also meine frage, wie bring ich matlab dazu eine schöne kurve durch meine 3 messpunkte (und darüber hinaus) zu legen?
danke euch schonmal im voraus und entschuldige mich gleich, da diese frage vermutlich wöchentlich gestellt wird.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo freunde,
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> ich habe im labor diverse feder-masse-schwinger nach ihren
> eigenfrequenzen untersucht und wollte diese nun grafisch
> darstellen. da eine messreihe immer ein heidenaufwand ist,
> habe ich nur drei messreihen aufgenommen. gemessen wurde
> die resonanzfrequenz f eines dämpfers bei aufgebrachter
> masse m.
>
> also habe ich nun 2 vektoren m und f mit jeweils 3 werten
> oder kurz gesagt: ich habe 3 messpunkte. ich würde jetzt
> gerne in matlab ein kurvenfit durch die 3 messpunkte legen
> wollen, so dass ich anhand der kurve gleich ablesen kann,
> welche werte für f ich bei gegebenem m erwarten kann. wenn
> ich mir den sachverhalt laienhaft aufmale, sieht die kurve
> schon ziemlich nach einer 1/x funktion aus, allerdings
> konnt ich die funktionsgleichung per hand leider nicht
> bestimmen.
>
> also meine frage, wie bring ich matlab dazu eine schöne
> kurve durch meine 3 messpunkte (und darüber hinaus) zu
> legen?
>
> danke euch schonmal im voraus und entschuldige mich gleich,
> da diese frage vermutlich wöchentlich gestellt wird.
Hallo Tom-chan,
habe ich das jetzt richtig verstanden: du hast 3 (in Worten: drei)
Messpunkte mit je 2 (zwei) Koordinaten und willst jetzt darauf
gründend eine statistische Auswertung machen und diese dann
auch gleich noch auf einen größeren Bereich ausdehnen ?
Falls ich richtig verstanden habe, würde ich sagen:
1.) wenn die Messungen auch noch mit Messfehlern behaftet
sind, kannst du von dieser Analyse kaum einen praktischen
Wert erwarten
3.) möglicherweise deuten theoretische Argumente darauf
hin, dass f und m wirklich in einer umgekehrten Proportion
stehen sollten. Dann machst du den Ansatz [mm] f=\frac{A}{m}
[/mm]
und kannst einen einigermaßen passenden Wert für A auch
ohne große Rechnung über den Daumen peilen ...
Vielleicht so: [mm] A=\frac{m_1*f_1+m_2*f_2+m_3*f_3}{3} [/mm]
2.) falls du die 3 Messpunkte als fix gegeben betrachten und
einfach durch sie eine Kurve "in der Art einer 1/x - Funktion"
legen willst, dann kann das ganz leicht auch ohne Matlab etc.
getan werden. Du müsstest nur einen (den Umständen ange-
passten Ansatz) nehmen und ein kleines Gleichungssystem
auflösen. Natürlich wird der Ansatz [mm] f=\frac{1}{m} [/mm] nicht ausreichen,
aber z.B. einer der Form
[mm] f=\frac{A}{m+B}+C
[/mm]
Ob Letzteres allerdings Sinn macht, sollten auch theoretische
Betrachtungen zeigen, z.B. das richtige Verhalten für [mm] m\to0
[/mm]
oder für [mm] m\to\infty [/mm] . Möglicherweise ist aber ein anderer
Ansatz für die Gleichung sinnvoller.
LG Al-Chw.
Nachtrag:
Nachdem ich mir ein paar Formeln zur Physik von
Pendeln angeschaut habe, ist wohl der Ansatz [mm] f=\frac{A}{m}
[/mm]
kaum angebracht.
Bei einem gewöhnlichen Federpendel, an dem eine Masse
aufgehängt ist, würde der Ansatz [mm] f=\frac{A}{\sqrt{m}}
[/mm]
passen. Nun stellt sich aber noch die Frage: soll eigentlich
ein bestimmter mathematischer Zusammenhang erst
aufgrund der Experimente etabliert werden (angesichts
des dürftigen Datenmaterials ist das aber wohl zuviel
verlangt) oder soll nur zu einem schon bekannten
gesetzmäßigen Zusammenhang ein Parameterwert
geschätzt werden ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Tom-chan |
Danke erstmal für die Antwort.
ich gebe zu, 3 Messpunkte sind sehr dürftig. meine eigentliche messaufgabe bestand in der aufnahme der antwort eines (belasteten) dämpfers bei einer reinen sinuserregung. beim durchfahren der frequenzen wurde dann die beschleunigung bei der jeweiligen frequenz gemessen und aufgetragen. für diese kurve sind ca 100 messpunkte notwendig, am ende erhält man aber erwartungsgemäß einen typischen ein-massen-schwinger-frequenzverlauf mit einem ausgeprägten maximum - der resonanzfrequenz.
es stellte sich heraus, wie auch zu erwarten war, dass die resonanzfrequenz sich verschob bei veränderter aufgebrachter last.
ich habe im endeffekt diese messreihe für 3 verschiedene lasten durchgeführt. da nun im praxisnahen einsatz die massen auf dem dämpfer variieren, ist es nicht möglich, für jede masse das frequenzverhalten aufzunehmen. daher wollte ich eine erste graphische näherung machen, um ablesen zu können, bei welcher frequenz das maximum bei gegebener last ist.
also kurz und knapp: meine gesuchte funktion ist die kurve der maximalpunkte der frequenzverläufe in abhängigkeit von der masse.
der vermutlich "richtigste" ansatz: [mm] f=A/\wurzel{B*m}+C [/mm] führt per handrechnung in ein wurzeldesaster und per matlab zur lösung "explicit solutions could not be found".
diverse andere ansätze waren zwar lösbar, aber lieferten keine quantitativ richtigen lösungen.
nunja, langsam gehen mir die ideen aus und ich fürchte, ich werde um weitere messungen nicht herumkommen...
wenn dir noch was einfällt, immer her damit, ansonsten schonmal danke für deine mühen.
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Hallo Tom-chan,
> Danke erstmal für die Antwort.
>
> ich gebe zu, 3 Messpunkte sind sehr dürftig. meine
> eigentliche messaufgabe bestand in der aufnahme der antwort
> eines (belasteten) dämpfers bei einer reinen
> sinuserregung.
Ich kann mir die Versuchsanordnung noch nicht wirklich
klar vorstellen. Hättest du dazu z.B. eine Zeichnung ?
(selber machen, damit du sie hier auch reinstellen darfst)
> beim durchfahren der frequenzen wurde dann
> die beschleunigung bei der jeweiligen frequenz gemessen und
> aufgetragen. für diese kurve sind ca 100 messpunkte
> notwendig, am ende erhält man aber erwartungsgemäß einen
> typischen ein-massen-schwinger-frequenzverlauf mit einem
> ausgeprägten maximum - der resonanzfrequenz.
> es stellte sich heraus, wie auch zu erwarten war, dass die
> resonanzfrequenz sich verschob bei veränderter
> aufgebrachter last.
> ich habe im endeffekt diese messreihe für 3 verschiedene
> lasten durchgeführt. da nun im praxisnahen einsatz die
> massen auf dem dämpfer variieren, ist es nicht möglich,
> für jede masse das frequenzverhalten aufzunehmen. daher
> wollte ich eine erste graphische näherung machen, um
> ablesen zu können, bei welcher frequenz das maximum bei
> gegebener last ist.
> also kurz und knapp: meine gesuchte funktion ist die kurve
> der maximalpunkte der frequenzverläufe in abhängigkeit
> von der masse.
>
> der vermutlich "richtigste" ansatz: [mm]f=A/\wurzel{B*m}+C[/mm]
Meinst du [mm]f=\frac{A}{\wurzel{B*m}}+C[/mm]
oder [mm]f=\frac{A}{\wurzel{B*m}+C}[/mm] ?
(bei beiden Ansätzen könnte man sich übrigens einen
Parameter sparen - du hast also eventuell einen echten
Parameter zu wenig, um 3 Punkte exakt treffen zu können ...)
> führt per handrechnung in ein wurzeldesaster und per
> matlab zur lösung "explicit solutions could not be
> found".
Gib doch mal deine 3 Zahlenpaare an, damit wir das auch
konkret testen können !
> diverse andere ansätze waren zwar lösbar, aber lieferten
> keine quantitativ richtigen lösungen.
>
> nunja, langsam gehen mir die ideen aus und ich fürchte,
> ich werde um weitere messungen nicht herumkommen...
>
> wenn dir noch was einfällt, immer her damit, ansonsten
> schonmal danke für deine mühen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Tom-chan |
Ok, also nochmal en detail:
Der Aufbau sieht wie folgt aus (ms paint!):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Sinusgenerator bringt den Dämpfer samt Masse zum Schwingen in vertikale Richtung mit einer konstanten Beschleunigung von 1g=9,81m/s² bei jeder Frequenz. Der Sensor misst dann die Ausgangsbeschleunigung bei der jeweiligen Frequenz, so dass ich am Ende die Kurve des Federschwingers in einem Frequenz-Amplituden-Diagrmm habe.
Dies habe ich für 3 verschiedene Massen gemacht, das sieht dann umgesetzt etwa so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man erkennt, dass die Amplituden der Maximalwerte gleichgroß sind, aber die Lage der Resonanzfrequenz sich verschiebt bei veränderter Masse (was nach der allgemeinen Formel für Federschwinger auch logisch ist: [mm] omega=\wurzel{k/m} [/mm] ).
Meine eigentliche frage ist nun, wie sieht die Kurve aus, wenn die Masse bswp. 5kg ist und genauer gefragt interessiert mich vor allem die Lage der Resonanzfrequenz, die dann vermutlich sehr tieffrequent ausfallen müsste.
Der Versuch bestand nun darin, die Lage der Maximalpunkte in Abhängigkeit der Masse darzustellen. Bei 3 mageren Messpunkten sieht das dann natürlich recht unschön so aus (blau die Werte, rot die vermutete Kurve):
[Dateianhang nicht öffentlich]
So, also der Ansatz [mm] f=A/(\wurzel{B*m})+C [/mm] müsste von der theoretischen Seite her eine gute Lösung liefern, einzig die Koeffizienten bekomme ich nicht raus. Die Werte sind im Bild 3 nochmal dargestellt.
Ich erwarte nicht, dass ich eine perfekte Kurve bekomme, die meine Frage auf die 3. Kommastelle genau beantwortet, aber eine gute Näherung wäre wünschenswert.
Hoffe, der Sachverhalt ist nun klar. Dank Dir schonmal im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank für die Erläuterungen. Insbesondere wird klar,
dass deine Daten wohl schon recht gut sind, da ja für jede
der drei Massen eine umfangreiche Mess-Serie stattfand
und die Resonanzfrequenzen recht exakt bestimmt werden
können.
Durch neue Ansätze bin ich z.B. auf folgende Darstellungen
gestoßen:
$\ f(m)\ [mm] \approx\ 56400*(m+54)^{\,-0.8295}$
[/mm]
$\ f(m)\ [mm] \approx\ \frac{11270}{\sqrt{m+17.7}}\,-\,198$
[/mm]
Hinter diesen Approximationen steckt natürlich kaum
eine physikalische Rechtfertigung. Sie sollten nur Kurven
liefern, die deinen Daten recht gut angepasst sind und
den Kurvenverlauf qualitativ etwa richtig wiedergeben.
Bei der zweiten Formel habe ich versucht, wenigstens
die aus der Physik zu erwartende Quadratwurzel zu retten.
In beiden Formeln habe ich aber bei der Masse einen
additiven Korrekturterm eingefügt (so etwas könnte
man sich allenfalls bei genauer Untersuchung der
versuchsanordnung erklären), bei der zweiten einen
Korrekturterm bei der Frequenz.
Welche meiner beiden Formeln besser "passt", könnte
man mit einer weiteren Versuchsreihe z.B. mit m=70
herausfinden. In dieser Gegend unterscheiden sich
nämlich die Prognosen der Frequenz um etwa 30 von-
einander.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Do 12.05.2011 | | Autor: | Tom-chan |
Danke schonmal für die Hilfe.
Von deinen beiden Gleichungen, scheint aber die erste weit besser geeignet zu sein, da bei der zweiten ab einer Masse von knapp 3.3kg die Frequenz negativ wird, was natürlich nicht sein kann (und eigentlich ist für mich der Bereich ab 4kg erst interessant).
Wie bist du auf diese Gleichungen gekommen? Wies aussieht, werde ich wohl doch noch einige Messungen durchführen, was aber vermutlich nicht so lange dauern sollte, da ich jetzt ja schon eine Abschätzung habe, wo die Maxima liegen müssten. Somit könnte ich dann deine Iteration selbst durchführen um die Formel zu präzisieren.
Ich melde mich wieder, sobald ich neue Daten habe.
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> Danke schonmal für die Hilfe.
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> Von deinen beiden Gleichungen, scheint aber die erste weit
> besser geeignet zu sein, da bei der zweiten ab einer Masse
> von knapp 3.3kg die Frequenz negativ wird, was natürlich
> nicht sein kann (und eigentlich ist für mich der Bereich
> ab 4kg erst interessant).
Wie schon gesagt, hinter den Formeln stecken keine
physikalischen Überlegungen. Dass die Frequenz auch
für große Massen nicht negativ werden darf, ist eine
solche.
> Wie bist du auf diese Gleichungen gekommen?
Ich habe die vorherige Gleichung etwas modifiziert,
um 3 freie Parameter zu bekommen, mittels derer
man die Kurve an die 3 Messpunkte anpassen kann.
Mathematisch gäbe es dazu noch viele weitere Mög-
lichkeiten. Den eigentlichen Test, ob ein Modell wirklich
geeignet ist, müssten aber weitere physikalische
Überlegungen und weitere Messungen liefern.
Für eine Extrapolation auf über zehn mal größere Massen
als bisher kann ich auch für meine andere hergezauberte
Formel natürlich keinerlei Gewähr anbieten ...
> Wies aussieht,
> werde ich wohl doch noch einige Messungen durchführen, was
> aber vermutlich nicht so lange dauern sollte, da ich jetzt
> ja schon eine Abschätzung habe, wo die Maxima liegen
> müssten. Somit könnte ich dann deine Iteration selbst
> durchführen um die Formel zu präzisieren.
> Ich melde mich wieder, sobald ich neue Daten habe.
Darauf bin ich gespannt. Bei einer größeren Anzahl von
Datenpunkten wird man dann natürlich nicht versuchen,
durch immer kompliziertere Formeln das Datenmaterial zu
reproduzieren, sondern eine geeignete Approximation
zu finden.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Do 12.05.2011 | | Autor: | chrisno |
Soll die Diskussion zur Physik verschoben werden?
Die Formel für die Resonanzfrequenz ist [mm] $\omega_m [/mm] = [mm] \sqrt{\bruch{D}{m}-\bruch{k^2}{2m^2}}$. [/mm] Da D und k hier nicht vorliegen, würde ich die als Parameter zum Anpassen nehmen.
Wahrscheinlich kann man D und k aber schon aus den einzelnen Messreihen erhalten. Nun muss ich aber Schluss machen.
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> Soll die Diskussion zur Physik verschoben werden?
> Die Formel für die Resonanzfrequenz ist [mm]\omega_m = \sqrt{\bruch{D}{m}-\bruch{k^2}{2m^2}}[/mm].
> Da D und k hier nicht vorliegen, würde ich die als
> Parameter zum Anpassen nehmen.
> Wahrscheinlich kann man D und k aber schon aus den
> einzelnen Messreihen erhalten. Nun muss ich aber Schluss
> machen.
Hallo chrisno,
sehr herzlichen Dank für diese Unterstützung. Mit etwas
Hilfe aus der Physik lässt sich möglicherweise die vorlie-
gende Frage zur Zufriedenheit aller Beteiligten beantworten.
Ich hatte zwar auch schon daran gedacht, dass neben m
vielleicht auch [mm] m^2 [/mm] in der Formel auftreten könnte - aller-
dings ohne wirkliche physikalische Begründung dahinter,
weil ich die genaue Funktionsweise des Resonators nach
wie vor nicht durchschaue ...
Nun habe ich deine Formel mal ausprobiert und finde (bei
Benützung von 2 Messpunkten für die 2 Parameter D und k)
trotzdem keine Lösung. Deshalb eine Frage: bist du sicher,
dass
a) deine Formel dem Experiment entspricht, das Tom-chan
hier untersuchen will ?
b) dass in der Formel unter der Wurzel wirklich ein Minus-
zeichen steht ?
Und: wo kann ich mich über diese Formel schlau machen ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Do 12.05.2011 | | Autor: | chrisno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich denke wirklich, hier sollten noch mehr Physiker reinschauen.
1. Mit der Beschreibung des Experiments kann ich noch wenig anfangen.
- Bei einer Schwingung gibt es keine konstante Beschleunigung. Was mit g(f) = konst gemeint ist, verstehen ich nicht. Vielleicht die maximale Beschleunigung, die vom Antrieb ausgeht?
- An der Feder ist offenbar ein Sensor angebracht. Ich vermute an dem Ende, an dem die Zusatzmasse aufliegt. Dieser Sensor soll auch Beschleunigungen messen. Dann misst er vielleicht auch die maximale Beschleunigung.
- Wenn man so zwei Messungen hat, gibt es dann auch die Informationen zum Phasenunterschied zwischen den beiden Signalen. Die helfen auch bei der Berechnung.
2. Die "konstante" Beschleunigung des Antriebs übersetze ich in eine konstante Antriebskraft für eine bestimmte Masse $F = m cdot a$ wobei hier a in vielfachen von $g = 9,81 m/s^2$ angegeben wird.
3. Die Beschleunigung der Zusatzmasse übersetze ich in "Auslenkung" wobei das genau genommen nicht richtig ist. Da muss ich meinen Beitrag korrigieren. Prinzipiell sind da aber Resonanzkurven wiedergegeben. Die einfache Formel ist $\omega = \sqrt{\bruch{D}{m}}$.
- Diese Formel gilt für den Fall, dass als Resonanz das Maximum der Energieübertragung bezeichnet wird.
- Die Formel $\omega = \sqrt{\bruch{D}{m}-\bruch{k^2}{2m^2}}$ gilt für den Fall, dass als Resonanz das Maximum der Amplitude bezeichnet wird.
- Die Formel, die wir brauchen, ist nicht dabei. Die nämlich gibt die Frequenz an, bei der das Maximum der Beschleunigung als Resonanz bezeichnet wird. So auf die Schnelle habe ich sie nicht gefunden.
Zu Lösen ist die Differentialgleichung: $m\bruch{d^2x}{dt^2} + k\bruch{dx}{dt}+Dx = F \cos(\omega t)}$
dabei ist m die schwingende Masse, k die geschwindigkeitsproportionale Dämpfung, D die Federkonstante und F die Amplitude der antreibenden Kraft (Stichwort "Erzwungene Schwingungen").
Die Lösung x(t) muss zweimal abgeleitet und dann das Maximum bestimmt werden. Daraus ergibt sich dann die Gleichung für die Resonanzfrequenz. Das hat immer noch den Haken, dass die geschwindigkeitsproportionale Dämpfung nur gut bei "kleinen" Geschwindigkeiten (Stokessche Reibung) ist.
4. Deine Frage nach der Masse $m_0$ ist berechtigt. Eine Möglichkeit die zu erhalten wäre:
- die Federkonstante bestimmen (das sollte möglich sein, aber auch eigentlich in der Anleitung des Geräts stehen)
- Ohne die periodische Anregung die Schwingungsfrequenz der unbelasteten Feder messen, die wahrscheinlich aber zu hoch liegt. Daher gelingt es wohl eher, die Schwingungsfrequenzen für mehrere Massen zu bestimmen. Doch wenn das das Gerät nicht anbietet, wird das auch nicht einfach sein.
5. Es liegen nur zwei Messpunkte vor. Das Maximum zu 31,5 g ist ja nicht wirklich bestimmt.
Es muss also noch eine weitere Messung durchgeführt werden. Die sollte aber im relevanten Bereich liegen. Warum ist es nicht möglich, einmal für 5 kg zu messen?
6. Ich verstehe also das ganze Vorhaben noch nicht.
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> Danke schonmal für die Hilfe.
>
> Von deinen beiden Gleichungen, scheint aber die erste weit
> besser geeignet zu sein, da bei der zweiten ab einer Masse
> von knapp 3.3kg die Frequenz negativ wird, was natürlich
> nicht sein kann (und eigentlich ist für mich der Bereich
> ab 4kg erst interessant).
> Wie bist du auf diese Gleichungen gekommen? Wies aussieht,
> werde ich wohl doch noch einige Messungen durchführen, was
> aber vermutlich nicht so lange dauern sollte, da ich jetzt
> ja schon eine Abschätzung habe, wo die Maxima liegen
> müssten. Somit könnte ich dann deine Iteration selbst
> durchführen um die Formel zu präzisieren.
> Ich melde mich wieder, sobald ich neue Daten habe.
Hallo Tom-chan,
du nanntest m einmal eine "aufgebrachte Masse". Für die
Aufstellung einer korrekten Formel wäre der Fall m=0
natürlich besonders wichtig. Ist es möglich, das Experiment
auch mit m=0 durchzuführen und damit auf eine Frequenz
f(0) zu kommen ?
Nach den physikalischen Formeln, die wir bisher betrachtet
haben, würde m=0 natürlich zu einer unendlichen Frequenz
führen und damit das Experiment auch unmöglich sein.
Ich vermute aber sehr, dass außer der eigentlich betrachteten
Experimentiermasse m im Experiment auch noch weitere
Massen eine Rolle spielen !
Liefere uns also wenn möglich auch für m=0 eine dazu
gehörige Resonanzfrequenz !
LG Al-Chw.
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