Kurvengleichung bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo,
habe noch eine weitere Hausaufgabe auf:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zunächst einmal, habe ich folgende Punkte berechnet (In Aufgabe 1, die sich mehr oder weniger darauf bezieht < https://matheraum.de/read?t=126678 ). Man braucht Aufgabe 1 aber nicht zu kennen, um dass hier zu bearbeiten, man braucht nur die Punkte.
T (0/0)
H [mm] (\bruch{2}{3}a/\bruch{4}{27}a^3)
[/mm]
W [mm] (\bruch{1}{3}a/\bruch{2}{27}a^3)
[/mm]
Fakt ist, ich habe nur einen Wende- und auch nur einen Hochpunkt (Und dass muss auch stimmen, da in Aufgabe 1 von "genau einem Wendepunkt [mm] W_{a}" [/mm] gesprochen wird)
In 3a und 3b spricht man aber jeweils von der Mehrzahl.
Wäre nett, wenn Ihr mir erklären könntet, wie man das berechnet.
Hinweis: Es gibt keine 1g, von der in der Aufgabenstellung 3a gesprochen wird, ich zeiche das einfach in ein neues Koordinatensystem. Das gleiche mache ich bei 3b.
3c) Hier muss ich doch einfach nur die beiden Kurvengleichungen gleichsetzen, daraus die Nullstellen bzw. Schnittpunkte berechnen, und diese Schnittpunkte als Integralgrenzen nehmen und dann das Integral ausrechnen, richtig?
Danke im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Also:
1.) Du hast doch in deinem Wende-und Hochpunkt jew. die Variable a! Das heißt du kannst für a jede beliebige Zahl [mm] \in \IR [/mm] + einsetzten! Also kriegst du auch dementsprechend viele Wende-bzw. Hochpunkte raus! Das ist wie bei der FunktionenSCHAR fa(x)! Setze mal ein paar Werte für a in den Wendepunkt ein (z.b. 1; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3) und zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem! Und, was stellst du fest??? ORTSKURVE der Wendepunkte!!! Die war in der 1.Aufgabe noch gar nicht verlangt, die hast du ja nur ausgerechnet, um nachzuweisen, dass alle Wndpkt und Hochpkte auf jew. einer Ursprungsgeraden liegen!
Kurz: Diese gefragten Kurvengleichungen in 3a) und b) sind genau die Ortskurven die wir in A1 ausgerechnet haben!
2.) mit " genau einem Wendepunkt Wa" war einfach gemeint, dass jede einzelne Funktion (zB. f mit a=2 genau einen Wendepunkt hat! Also
W( 2/3 / 16/27 ) ) Verstanden?
3.) Ich weiß nicht, ob du den Begriff der Ortskurve (oder auch Kurvengleichung wie in 3) verstanden hast! Deshalb versuch ich das nochmal zu erklären:
Gegeben ist ja eine SCHARfunktion! Das heißt man hat irgendeine Variable dabei! Setze z.B. bei fa(x)= [mm] a*x^2-x^3 [/mm] mal a=2 ein! Also [mm] 2*x^2-x^3 [/mm] ! Jetzt zeichnest du die Funktion grob, indem du einfach ein paar x-Werte einsetzt und damit die y-Werte ausrechnest! Wichtig: auch den Wendepunkt mit a=2 und damit x=2/3 und y= 16/17 ! -> Einzeichnen!
Jetzt müsstest du EINEN Graphen haben mit EINEM Wendepunkt!
Das selbe machst du jetzt noch zb. für a= 1; 1,5 ; 2,5 ; 3 und jew. wieder einige x-Werte (die selben wie für den 1. Graph! + Wendepunkt!)
Jetzt müsstest du 5!!! Graphen in deinem Koord.syst. haben mit jeweils einem Wendepunkt!
Wenn du jetzt alle 5 Wendepunkte miteinander verbindest bekommst du die ORTSKURVE oder KURVENGLEICHUNG der Wendepunkte, die ein neuer Graph beschreibt
Mach das mal, auch wenn es ein bisschen aufwendig ist! Dann müsste es klar sein!
(-> analog Hochpunkt)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi,
dann ist die Lösung bei 3a also [mm] y=2x^3 [/mm] und bei 3b [mm] y=\bruch{1}{2}x^3 [/mm] ?
Das sind die Ortskurven aus Aufgabe 1e.
Also sind die Aufgaben 1e und 3a / 3b quasi identisch (abgesehen davon, dass man bei 1e noch weiterrechnen musste)?
Bezüglich 3c: Darauf bist Du leider nicht eingegangen, ist der Rechenweg, den ich oben im ersten Beitrag vorgeschlagen habe, der Richtige?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Sa 11.02.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo SuperTTT,
> Hi,
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> dann ist die Lösung bei 3a also [mm]y=2x^3[/mm] und bei 3b
> [mm]y=\bruch{1}{2}x^3[/mm] ?
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Das sind die Ortskurven aus Aufgabe 1e.
Das ist korrekt. Die Frage bei Aufgabe 1e war aber etwas anders. Da solltest du zeigen, dass bei jeder Kurve [mm] G_f_a [/mm] der Hochpunkt und Wendepunkt auf einer Geraden durch den Ursprung liegen. (Die Ortskurven sind ja auch keine Geraden) Ich gebe dir bei deiner Aufgabe 1 noch genauere Erläuterungen.
> Also sind die Aufgaben 1e und 3a / 3b quasi identisch
eben nicht.
> (abgesehen davon, dass man bei 1e noch weiterrechnen
> musste)?
>
> Bezüglich 3c: Darauf bist Du leider nicht eingegangen, ist
> der Rechenweg, den ich oben im ersten Beitrag vorgeschlagen
> habe, der Richtige?
Genau.
Sorry, ich hatte deinen Lösungsweg so verstaanden, dass du die Schnittpunkte von [mm] G_f_a [/mm] und [mm] K_1 [/mm] bestimmen wolltest.
Gruß
Sigrid
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Tut mir Leid, dass ich auf diese Aufgabe nicht eingegangen bin! Habs vergessen!
1.) SuperTTT, du wolltest doch die beiden Kurvengleichungen ( also die Ortskurven) gleichstellen und dann die schnittpunkte bilden, oder?
In der Aufgabe ist aber der Flächeninhalt zwischen fa(x)!!! und der einen Ortskurve (ich weis jetzt nicht mehr, ob W(x) oder H(x) ) gefragt, nicht zwischen W(x) und H(x) ! Oder???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Sigrid,
Wenn ich jetzt bei der 3c W(x)=Hx) setze, dann habe ich ja:
[mm] 2x^3=\bruch{1}{2}x^3
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}x^3=0
[/mm]
[mm] x^3=0
[/mm]
x=0
Jetzt habe ich ja nur einen Schnittpunkt. Ich brauche aber doch 2 für das Integral. Was mache ich denn jetzt? *blödfrag*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Habe gerade den Hinweis von Schneeflocke nochmal gelesen, stimmt ja, ich muss fa(x) = W(x) setzen!
Melde mich gleich nochmal mit meinem Ergebnis.
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Tschuldigung wenn ich dazwischen funke, aber deshalb hab ich ja die Mitteilung zu sigrids antwort geschrieben!
Lies dir nochmal die 3c durch!
Gesucht ist NICHT der Flächeninhalt zw. H(x) und W(x) sondern der zwischen fa(x) und W(x) !!!
Deshalb kriegst du da auch nur einen Schnittpunkt raus! zw. H(x) und W(x) existiert nämlich gar kein Flächeninhalt in begrenzten Grenzen!
Du musst also fa(x) = W(x) setzen! [ W(x) ist ja K1 ]
Dann müsstest du zwei Schnittpunkte rausbekommen IN ABHÄNGIGKEIT VON a !!!!! Dementsprechend müsste auch der Flächeninhalt in Abhängigkeit von a sein!
Hoffe das stimmt so!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi,
ja, habe ich inzwischen auch bemerkt (siehe Mitteilung). 
Ich habe jetzt:
fa(x)=W(x)
[mm] ax^2-x^3=2x^3
[/mm]
[mm] ax^2-3x^3=0
[/mm]
[mm] x^2(a-3x)= [/mm] 0
a-3x=0
[mm] x=\bruch{1}{3}a
[/mm]
x=0
Und diese beiden Werte muss ich jetzt als Integralwerte nehmen? Stelle ich mir ja etwas komisch vor mit dieser a-Abhängigkeit...
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Genau! Bilde einfach die Grenzen und setze 1/3*a und 0 als Grenzen ein! Dann kriegst du halt als Flächeninhalt keine Zahl, sondern ein Term mit der Variablen a raus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Ok, ich habe also:
[mm] A=\integral_{0}^{1/3a}{f(x)=ax^2-3x^3 dx}
[/mm]
[mm] A=[1/3ax^3-3/4x^4]
[/mm]
[mm] A=(1/9a^2x^3 [/mm] - [mm] 1/4ax^4)-(0)
[/mm]
[mm] A=1/9a^2x^3 [/mm] - [mm] 1/4ax^4
[/mm]
Ist das jetzt das Endergebnis?
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Das Integral hast du richtig gebildet!
Die Stammfunktion ist auch richtig! Aber du musst jetzt im nächsten Schritt die Grenzen in x!!! einsetzten, nicht einfach reinmultiplizieren, so wie du's gemacht hast!
Die 0 hast du richtig eingesetzt! Jetzt noch Grenze 1/3*a einsetzen!
Also hast du dann:
A= [ [mm] (1/3*a*(1/3*a)^3 [/mm] - [mm] 3/4*(1/3*a)^4) [/mm] - (0) ]
-> Vereinfache so weit wie möglich, dann hast du den Flächeninhalt in Abhängigkeit von a (kein x darf mehr vorkommen!) Denn jetzt hast du für ein beliebiges a (z.b 3) einen best. Flächeninhalt! (feste Zahl)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Ok, ich habe jetzt als Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{81}a^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{108}a
[/mm]
Hast Du das auch?
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Also ich weiß ja nicht, wie du das rechnest, vielleicht kannst du ja noch ein paar Zwischenschritte angeben, aber ich hab was anderes raus:
Du hast doch jetzt: A = [mm] 1/3*a*(1/3*a)^3 [/mm] - [mm] 3/4*a*(1/3*a)^4 [/mm] - 0 , oder?
Jetzt ziehe ich die Potenz in die Klammer:
1/3*a* [mm] (1/27*a^3) [/mm] - 3/4*a* [mm] (1/81*a^4) [/mm]
Jetzt reinmultiplizieren:
[mm] 1/81*a^4 [/mm] - [mm] 3/324*a^5
[/mm]
[mm] 1/81*a^4 [/mm] ausklammern:
A= [mm] 1/81*a^4 [/mm] * ( 1- 3/4*a) -> Das wäre mein Endergebnis!
Kannst du das nachvollziehen?
Vielleicht schreibst du mir mal, wie du das gerechnet hast!?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi,
Du machst glaube ich einen Fehler.
[mm] 1/3\cdot{}a\cdot{}(1/3\cdot{}a)^3 [/mm] - [mm] 3/4\cdot{} [/mm] a [mm] \cdot{}(1/3\cdot{}a)^4
[/mm]
Das rot markierte a. Das gehört da meiner Meinung nach nicht hin. Schau Dir das bitte mal an.
Ich habe jetzt als Ergebnis:
[mm] A=(\bruch{1}{81}a^4 [/mm] - [mm] \bruch{1}{108}a^4) [/mm] - (0)
[mm] A=\bruch{1}{324}a^4
[/mm]
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I'm so sorry!
Du hast Recht! Das a war zu viel! Hat sich da einfach reingeschmuggelt! :)
Wenn du das a in der Klammer von meinem Endergebnis weglässt, kommt das selbe raus, wie du hast! Lass dich von mir nicht irritieren! :) Du hast Recht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Alles klar, danke Dir!
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Ich habe hier behauptet, dass die Ortskurven die Ursprungsgeraden sind! Das ist natürlich quatsch! Man sieht ja an den Funktionsgleichungen, dass W(x) und H(x) keine Geraden sind! Tut mir Leid!
Also vergesse, das ich in 1.) und 3.) bei meiner Antwort Ortskurve=Ursprungsgerade geschrieben hab! Sorry, wenn ich dich verwirrt hab!
Zu deiner letzten Frage noch: Wir haben bei 1e) nur die Ortskurven bestimmt, um besser zeigen zu können, dass W und H auf diesen Ursprungsgeraden liegen! Das war ja der Vorschlag von dem, der vor mir geantwortet hatte! Ich hab das versucht weiterzuführen, glaube aber, dass man letztendlich doch nicht W(0) =0 setzten kann um zu zeigen, dass W auf einer Ursprunsgeraden liegt!
Ich hoffe sigrid kann dir da nochmal helfen! sie wollte ja nochmal auf die 1e) eingehen, soweit ich das verstanden hab!
ich überdenke das auch nochmal! :) Sorry!!!
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