Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mo 12.01.2015 | | Autor: | Marie886 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das Kurvenintegral [mm] I=\int_C [/mm] f(x)dx mit dem Vektorfeld f(x)= f(x,y,z)= [mm] (4xz^2-3y^3z,-9xy^2z+2y, 4x^2z-3xy^3) [/mm] unabhängig vom speziellen Weg C mit dem Anfangspunkt A= (0,0,0) und dem Endpunkt B= (1,2,-1) ist und berechnen Sie I |
Hallo,
habe heute ein Kurvenintegral-Bsp. Bin folgendermaßen vorgegangen:
1.) Parametisieren von C:
f(x)= [mm] \begin{pmatrix} 4xz^2-3y^3z \\ -9xy^2z+2y\\ 4x^2z-3xy^3 \end{pmatrix}
[/mm]
mit der Formel: [mm] \bruch{\partial f_i}{\partial x_j}= \bruch{\partial f_j}{\partial x_i}, 1\le i\le j\le [/mm] n
habe ich bewiesen
- 9y^2z=-9y^2z
- [mm] 9xy^2=-9xy^2
[/mm]
[mm] 8xz-3y^3=8xz-3y^3
[/mm]
dass C wegunabhängig ist.
Somit ist x=y=z=t (kann man das so schreiben?)
der Weg ist: C: --> x(t)= [mm] \begin{pmatrix} t \\ 2t \\ -t \end{pmatrix}, [/mm] x'(t)= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
Als nächstes setze ich ins Integral ein:
[mm] \int_C=\integral_{0}^{1} [/mm] f(x(t)). x'(t) dt ( "." = inneres Produkt)
= [mm] \integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t*t^2-3t^3t \\ -9t*t^2t+2t\\ 4t^2t-3t*t^3 \end{pmatrix} [/mm] . [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] dt=
[mm] \integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -9t^4+2t\\ 4t^3-3t^4 \end{pmatrix} [/mm] . [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] dt=
[mm] \integral_{0}^{1} (4t^3*1-3t^4*1 [/mm] )+ [mm] (-9t^4*2+2t*2)+ (4t^3*(-1)-3t^4*(-1)) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}-24t^4+4t [/mm] dt=
[mm] \bruch{-24*t^5}{5}+ \bruch{4t^2}{2}|_0^1= [/mm]
Die Grenzen eingesetzt ergibt:
I= [mm] \bruch{-24*1^5}{5}+ \bruch{4*1^2}{2}-0 [/mm] =
I= [mm] \bruch{-48}{10}+ \bruch{20}{10}= \bruch{-28}{10}= \bruch{-14}{5} [/mm]
In meinen Unterlagen kommt aber 30 raus... und dort steht auch:
f(x(t))= [mm] \begin{pmatrix} 4*t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t^2\\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix}
[/mm]
Kann mir bitte jemand sagen wo mein Fehler liegt?
LG
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Hallo Marie886,
> Zeigen Sie, dass das Kurvenintegral [mm]I=\int_C[/mm] f(x)dx mit dem
> Vektorfeld f(x)= f(x,y,z)= [mm](4xz^2-3y^3z,-9xy^2z+2y, 4x^2z-3xy^3)[/mm]
> unabhängig vom speziellen Weg C mit dem Anfangspunkt A=
> (0,0,0) und dem Endpunkt B= (1,2,-1) ist und berechnen Sie
> I
> Hallo,
>
> habe heute ein Kurvenintegral-Bsp. Bin folgendermaßen
> vorgegangen:
>
> 1.) Parametisieren von C:
>
> f(x)= [mm] \begin{pmatrix} 4xz^2-3y^3z \\ -9xy^2z+2y\\ 4x^2z-3xy^3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> mit der Formel: [mm]\bruch{\partial f_i}{\partial x_j}= \bruch{\partial f_j}{\partial x_i}, 1\le i\le j\le[/mm]
> n
>
> habe ich bewiesen
> - 9y^2z=-9y^2z
> - [mm]9xy^2=-9xy^2[/mm]
> [mm]8xz-3y^3=8xz-3y^3[/mm]
>
> dass C wegunabhängig ist.
>
> Somit ist x=y=z=t (kann man das so schreiben?)
>
> der Weg ist: C: --> x(t)= [mm] \begin{pmatrix} t \\ 2t \\ -t \end{pmatrix},[/mm]
> x'(t)= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Als nächstes setze ich ins Integral ein:
>
> [mm]\int_C=\integral_{0}^{1}[/mm] f(x(t)). x'(t) dt ( "." = inneres
> Produkt)
>
> = [mm]\integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t*t^2-3t^3t \\ -9t*t^2t+2t\\ 4t^2t-3t*t^3 \end{pmatrix}[/mm]
> . [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] dt=
> [mm]\integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -9t^4+2t\\ 4t^3-3t^4 \end{pmatrix}[/mm]
> . [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] dt=
> [mm]\integral_{0}^{1} (4t^3*1-3t^4*1[/mm] )+ [mm](-9t^4*2+2t*2)+ (4t^3*(-1)-3t^4*(-1))[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}-24t^4+4t[/mm] dt=
> [mm]\bruch{-24*t^5}{5}+ \bruch{4t^2}{2}|_0^1=[/mm]
>
> Die Grenzen eingesetzt ergibt:
>
> I= [mm]\bruch{-24*1^5}{5}+ \bruch{4*1^2}{2}-0[/mm] =
>
> I= [mm]\bruch{-48}{10}+ \bruch{20}{10}= \bruch{-28}{10}= \bruch{-14}{5}[/mm]
>
> In meinen Unterlagen kommt aber 30 raus... und dort steht
> auch:
>
> f(x(t))= [mm]\begin{pmatrix} 4*t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t^2\\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand sagen wo mein Fehler liegt?
>
Bei der Berechung von f(x(t) hast Du den falschen Weg gewählt:
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 12.01.2015 | | Autor: | Marie886 |
muss ich dann
[mm] f(x)=\integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -9t^4+2t\\ 4t^3-3t^4 \end{pmatrix} [/mm]
aufleiten?
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Hallo Marie886,
> muss ich dann
>
> [mm]f(x)=\integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -9t^4+2t\\ 4t^3-3t^4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> aufleiten?
>
Benutze statt diese Wortes "auf..." das Wort "integrieren".
Für x ist der Weg [mm]t*\pmat{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] einzusetzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Di 13.01.2015 | | Autor: | Marie886 |
Gut, das habe ich nun gemacht, für alle x in meiner Funktion habe ich [mm] t\cdot{}\pmat{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] eingesetzt.
Bei mir kommt folgendes raus:
f(x)= [mm] \begin{pmatrix} 4* 1t* z^2-3y^3*z \\ -9*2t*y^2*z+2*y \\ 4*(-1t^2)*z-3*(-1t)*y^3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4* 1t* t^2-3t^3*t \\ -18t*t^2*t+2*t \\ 4*t^2*t-3*(-1t)*t^3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -18t^4+2t \\ 4t^3+3t^4 \end{pmatrix} [/mm]
Nun setze ich in meine Integralformel ein:
[mm] \int_C= \integral_{0}^{1} [/mm] f(x(t)).x'(t)dt= [mm] \begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -18t^4+2t \\ 4t^3+3t^4 \end{pmatrix} .\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}dt= \integral_{0}^{1}4t^-3t^4-36t^4+4t-4t^3-3t^4dt= [/mm]
[mm] -42t^4+4tdt= \bruch{-45t^5}{5}+\bruch{4t^2}{2}|_0^1= \bruch{-42}{5}+\bruch{2}{1}= -\bruch{84}{10}+\bruch{20}{10}= -\bruch{64}{10}= -\bruch{32}{5}
[/mm]
ich schätz, dass dies wieder nicht richtig ist?! Bitte nicht verzweifeln, dass tu ich bei diesem Beispiel schon für 2 
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Hallo Marie886,
> Gut, das habe ich nun gemacht, für alle x in meiner
> Funktion habe ich [mm]t\cdot{}\pmat{1 \\ 2 \\ -1}[/mm] eingesetzt.
>
> Bei mir kommt folgendes raus:
>
> f(x)= [mm]\begin{pmatrix} 4* 1t* z^2-3y^3*z \\ -9*2t*y^2*z+2*y \\ 4*(-1t^2)*z-3*(-1t)*y^3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4* 1t* t^2-3t^3*t \\ -18t*t^2*t+2*t \\ 4*t^2*t-3*(-1t)*t^3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -18t^4+2t \\ 4t^3+3t^4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun setze ich in meine Integralformel ein:
>
> [mm]\int_C= \integral_{0}^{1}[/mm] f(x(t)).x'(t)dt= [mm]\begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -18t^4+2t \\ 4t^3+3t^4 \end{pmatrix} .\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}dt= \integral_{0}^{1}4t^-3t^4-36t^4+4t-4t^3-3t^4dt=[/mm]
> [mm]-42t^4+4tdt= \bruch{-45t^5}{5}+\bruch{4t^2}{2}|_0^1= \bruch{-42}{5}+\bruch{2}{1}= -\bruch{84}{10}+\bruch{20}{10}= -\bruch{64}{10}= -\bruch{32}{5}[/mm]
>
> ich schätz, dass dies wieder nicht richtig ist?! Bitte
> nicht verzweifeln, dass tu ich bei diesem Beispiel schon
> für 2
>
Leider ist das wieder nicht richtg.
Ersetze in f(x,y,z) x durch t, y durch 2t und z durch -t.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 13.01.2015 | | Autor: | Marie886 |
Ok, danke!
YESS! and finally:
Schreibe dir mal meine Schritte:
f(x)= [mm] \begin{pmatrix} 4*t*(-t^2)-3*(2t^30*(-t)) \\ -9*t*(2t^2)*(-t)+2*(2t) \\ 4*t^2*(-t)-3*t*(2t^3)\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t \\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \int_C= \integral_{0}^{1} [/mm] f(x(t).x'(t)dt= [mm] \integral_{0}^{1}\begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t \\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}dt=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}\begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 72t^4+8t \\ 4t^3+24t^4 \end{pmatrix}dt= \integral_{0}^{1} 4t^3+24t^4+72t^4+8t+4t^3+24t^4dt=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1} 8t^3+120t^4+8tdt= \bruch{8t^4}{4}+\bruch{120t^5}{5}+\bruch{8t^2}{2}|_0^1= \bruch{8}{4}+\bruch{120}{5}+\bruch{8}{2}=\bruch{2}{1}+\bruch{120}{5}+\bruch{4}{1}=\bruch{20}{10}+\bruch{240}{10}+\bruch{40}{10}= \bruch{300}{10}=30
[/mm]
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Hallo Marie886,
> Ok, danke!
>
> YESS! and finally:
>
> Schreibe dir mal meine Schritte:
>
> f(x)= [mm] \begin{pmatrix} 4*t*(-t^2)-3*(2t^30*(-t)) \\ -9*t*(2t^2)*t+2*(2t) \\ 4*t^2*(-t)-3*t*(2t^3)\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm] \begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t \\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\int_C= \integral_{0}^{1}[/mm] f(x(t).x'(t)dt=
> [mm]\integral_{0}^{1}\begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t \\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}dt=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 72t^4+8t \\ 4t^3+24t^4 \end{pmatrix}dt= \integral_{0}^{1} 4t^3+24t^4+72t^4+8t+4t^3+24t^4dt=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1} 8t^3+120t^4+8tdt= \bruch{8t^4}{4}+\bruch{120t^5}{5}+\bruch{8t^2}{2}|_0^1= \bruch{8}{4}+\bruch{120}{5}+\bruch{8}{2}=\bruch{2}{1}+\bruch{120}{5}+\bruch{4}{1}=\bruch{20}{10}+\bruch{240}{10}+\bruch{40}{10}= \bruch{300}{10}=30[/mm]
>
Alles richtig.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mo 12.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Einfacher gehts, wenn Du eine Stammfunktion F von f berechnest. Dann ist
[mm] $\int_C [/mm] f(x)dx=F(B)-F(A)$
FRED
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weiß leider echt nicht wie ich auf das Ergebnis meines "Vorrechners" komme. Wenn ich die Funktion aufleite kommen ja fast nur Brüche raus...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 14.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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