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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 So 22.01.2006 | | Autor: | Runaway |
Hallo,
ich möchte über die drei Kreissegmente des Positiven Teils der Einheitssphäre integrieren.
Ich habe mir dafür überlegt, dass ich das Kurvenintegral in drei Stücke teile. Einmal für Theta von 0 bis [mm] \pi [/mm] /2 bei Phi = 0 (I).
Dann für Theta = [mm] \pi [/mm] /2 und Phi von 0 bis [mm] \pi [/mm] /2 (II) und schließlich
Theta von [mm] \pi [/mm] /2 bis 0 und Phi = [mm] \pi/2 [/mm] (III).
Wie wechsel ich aber jetzt das Koordinatensystem?
Denn ich habe das Kurvenintegral gegeben als:
[mm] \integral_{C}^{} [/mm] (P dx + Q dy + R dz)
Dafür habe ich mir überlegt:
[mm] \vektor{dx \\ dy \\ dz} [/mm] -> [mm] \vektor{dr \\ r dPhi \\ r Sin[theta] dTheta}
[/mm]
Und meine Vektorfunktion wäre:
[mm] \vektor{z \\ 1 \\ z}
[/mm]
Dann hätte ich als Integrale:
I:
[mm] \integral_{0}^{ \pi/2} [/mm] {Sin[theta] Cos[theta] dTheta}
II
[mm] \integral_{0}^{ \pi/2} [/mm] {1 dPhi}
III:
[mm] \integral_{\pi/2}^{0} [/mm] {Sin[theta] Cos[theta] dTheta}
Wo nur der zweite Teil übrig bleibt und [mm] \pi [/mm] /2 liefert.
Das kommt mir aber sehr falsch vor, da ich bestimmt nicht einfach so
die Koordinatensysteme wechseln darf...
Von daher wollte ich fragen wie man es korrekt machen würde.
Danke,
Runaway
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Sehe ich das richtig, daß du über die folgenden Kreisbögen integrieren willst:
(I) Viertelkreisbogen in der [mm]xy[/mm]-Ebene von [mm](1,0,0)[/mm] bis [mm](0,1,0)[/mm]
(II) Viertelkreisbogen in der [mm]yz[/mm]-Ebene von [mm](0,1,0)[/mm] bis [mm](0,0,1)[/mm]
(III) Viertelkreisbogen in der [mm]xz[/mm]-Ebene von [mm](0,0,1)[/mm] bis [mm](1,0,0)[/mm]
Da brauchst du dir doch keine komplizierten Kugelkoordinaten zu denken. Du kannst für jede Kurve eine eigene Parameterdarstellung nehmen. Und da die Kurven in den Koordinatenebenen liegen, wird das sogar noch besonders einfach:
(I) [mm]x = \cos{t} \, , \ \ \ y = \sin{t} \, , \ \ \ z = 0[/mm]
(II) [mm]x = 0 \, , \ \ \ y = \cos{t} \, , \ \ \ z = \sin{t}[/mm]
(III) [mm]x = \sin{t} \, , \ \ \ y = 0 \, , \ \ \ z = \cos{t}[/mm]
Der Parameter [mm]t[/mm] läuft jeweils von [mm]0[/mm] bis [mm]\frac{1}{2} \pi[/mm]. Und jetzt mußt du nur für jedes der drei Teilintegrale die Variablen [mm]x,y,z[/mm] und die Differentiale [mm]\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z[/mm] entsprechend substituieren. Und da das immer dasselbe Integrationsintervall ist, kannst du sogar versuchen, vor der Berechnung der [mm]t[/mm]-Integrale diese zu einem zusammenzufassen:
[mm]\int_0^{\frac{\pi}{2}}~\ldots~\mathrm{d}t + \int_0^{\frac{\pi}{2}}~\ldots~\mathrm{d}t + \int_0^{\frac{\pi}{2}}~\ldots~\mathrm{d}t \ = \ \int_0^{\frac{\pi}{2}}~\ldots~\mathrm{d}t[/mm]
Vielleicht wird es ja dadurch einfacher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 So 22.01.2006 | | Autor: | Runaway |
Danke sehr!!!!
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