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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 So 02.09.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | Berechne das folgende komplexe Kurvenintegral längs geschlossener Kurve [mm]\alpha[/mm] in [mm]\IC[/mm] mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes bzw. mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel.
[mm]\integral_{|z|=2}{\bruch{e^{z}}{z^{2} + z} dz}[/mm] |
Hi,
zu oben stehender Aufgabe habe ich auch die Lösung:
[mm]\integral_{|z|=2}{\bruch{e^{z}}{z^{2} + z} dz} = \integral_{|z|=2}{\bruch{e^{z}}{z} - \bruch{e^{z}}{z + 1} dz} = 2 \pi i(e^{0}-e^{-1}) = 2 \pi i(1-e^{-1})[/mm]
Was ich an der Lösung nur nicht versteh, wie ich auf die Zerlegung des Bruchs komme, also auf:
[mm] \integral_{|z|=2}{\bruch{e^{z}}{z} - \bruch{e^{z}}{z + 1} dz}[/mm]
Kann mir das jemand erklären?
Danke,
Jonas
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Hallo Jonas,
das ist ne Partialbruchzerlegung, würd' ich meinen:
Es ist doch [mm] \frac{e^z}{z^2+z}=\frac{e^z}{z(z+1)}=\frac{\red{A}}{z}+\frac{\blue{B}}{z+1}
[/mm]
Wenn du das mal löst, kommst du genau auf [mm] A=e^z [/mm] und [mm] B=-e^z
[/mm]
und das gibt genau die gewünschte Zerlegung
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 So 02.09.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
danke. Werd das so nochmal ausrechnen.
Danke,
Jonas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 So 02.09.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
so ich hab das mal probiert, aber irgendwas schein ich an der Partialbruchzelegung falsch zu machen :-(
Also ich berechne:
[mm]\bruch{e^{z}}{z(z+1)} = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z+1}[/mm]
[mm]e^{z} = A(z+1) + B(z)[/mm]
Dann wähl ich für z gleich die zwei Nullstellen, also z = -1 und z = 0 und erhalte damit:
[mm]e^{-1} = -B \Rightarrow B = - e^{-1}[/mm]
[mm]e^{0} = A \Rightarrow A = 1[/mm]
und damit erhalte ich:
[mm]\bruch{e^{z}}{z(z+1)} = \bruch{1}{z} - \bruch{e^{-1}}{z+1}[/mm]
aber das ist ja etwas ganz anderes als in von der Lösung:
[mm]\bruch{e^{z}}{z^{2} + z} = \bruch{e^{z}}{z} - \bruch{e^{z}}{z + 1}[/mm]
Kann mir jemand erklären was ich hier falsch gemacht hab?
Hab Donnerstag Prüfung :-/
Danke,
Jonas
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Hallo nochmal,
da haste dir aber was vieeeeel zu kompliziert gemacht:
>
> Also ich berechne:
> [mm]\bruch{e^{z}}{z(z+1)} = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z+1}[/mm]
>
> [mm]e^{z} = A(z+1) + B(z)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also [mm] e^z=(A+B)z+A
[/mm]
Nun nen Koeffizientenvergleich:
A+B=0 [mm] \wedge A=e^z
[/mm]
[mm] \Rightarrow B=-A=-e^z
[/mm]
Also insgesamt: [mm] \frac{e^z}{z^2+z}=\frac{e^z}{z}-\frac{e^z}{z+1}
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 So 02.09.2007 | | Autor: | Blech |
Falls Du Dich fragst, wo Deine Rechnung schiefgeht:
> so ich hab das mal probiert, aber irgendwas schein ich an
> der Partialbruchzelegung falsch zu machen :-(
>
> Also ich berechne:
> [mm]\bruch{e^{z}}{z(z+1)} = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z+1}[/mm]
>
> [mm]e^{z} = A(z+1) + B(z)[/mm]
>
> Dann wähl ich für z gleich die zwei Nullstellen, also z =
> -1 und z = 0 und erhalte damit:
A und B hängen hier von z ab, deswegen funktioniert es so nicht. Du kannst entweder wie in der anderen Antwort klammern um A und B richtig zu erhalten, oder schon vor der Partialbruchzerlegung ausklammer, also:
[mm]\frac{e^z}{z(z+1)}=e^z \cdot \left( \frac{1}{z(z+1)}\right) = [/mm]
Dann A und B für [mm] \frac{1}{z(z+1)} [/mm] berechnen, indem du wie oben z = -1 und z=0 setzt, und damit:
[mm]= e^z \left(\frac{1}{z} - \frac{1}{z+1}\right)[/mm]
> Kann mir jemand erklären was ich hier falsch gemacht hab?
> Hab Donnerstag Prüfung :-/
Viel Glück =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
danke, jetzt hab ich's verstanden 
Danke,
Jonas
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