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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, stecke gerade an folgender Kurvenintegralaufgabe:
Gegeben Sei die Funktion
f: [mm] \IR^{2} [/mm] \ {(2,0)} [mm] \to \IR: (x_{1},x_{2})\mapsto \bruch{x_{1}}{(x_{1}-2)^{2} + x_{2}^{2}}
[/mm]
Weiter sei K die obere Hälfte eines Kreises um (2,0) mit radius 2. berechnen Sie das Kurvenintegral [mm] \integral_{}^{}_{K}{f(s) ds}
[/mm]
Jetzt kann ich doch das eigentlich mit reelen Werten machen oder über Polarkoordinaten oder? Was ist der bessere Weg?
lg Surfer
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> Hallo, stecke gerade an folgender Kurvenintegralaufgabe:
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> Gegeben Sei die Funktion
> f: [mm]\IR^{2}[/mm] \ {(2,0)} [mm]\to \IR: (x_{1},x_{2})\mapsto \bruch{x_{1}}{(x_{1}-2)^{2} + x_{2}^{2}}[/mm]
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> Weiter sei K die obere Hälfte eines Kreises um (2,0) mit
> radius 2. berechnen Sie das Kurvenintegral
> [mm]\integral_{}^{}_{K}{f(s) ds}[/mm]
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> Jetzt kann ich doch das eigentlich mit reelen Werten machen
> oder über Polarkoordinaten oder?
Reell bleibts in jedem Fall.
> Was ist der bessere Weg?
Keine Ahnung, aber in Polarkoordinaten geht es jedenfalls sehr gut. Sei etwa [mm] $x_1=2\cos(\varphi)+2, x_2 [/mm] = [mm] 2\sin(\varphi)$, $\varphi=0\ldots \pi$, [/mm] dann ist das Linienelement $ds = [mm] 2d\varphi$ [/mm] und daher das gesuchte Integral:
[mm]\integral_{}^{}_{K}{f(s) ds}=\integral_0^\pi \frac{2\cos(\varphi)+2}{(2\cos\varphi)^2+(2\sin\varphi)^2}\;2\,d\varphi=\integral_0^\pi\left(\cos(\varphi)+1\right)\; d\varphi=\ldots[/mm]
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