Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Di 24.02.2009 | | Autor: | Surfer |
Hallo habe eine Frage zu meinem Ansatz bei folgender Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und zwar würde ich die Kurve folgendermaßen parametrisieren, da es ein Kreis ist C: [ rcos [mm] \phi, [/mm] rsin [mm] \phi] [/mm] für [mm] r\in [/mm] [0,1] und [mm] \phi \in[0,2\pi] [/mm] .
g(C) wäre dann [mm] (r^{2} [/mm] - [mm] rsint\phi [/mm] , rcos [mm] \phi) [/mm] und C' wäre [mm] [-rsin\phi [/mm] , [mm] rcos\phi]
[/mm]
dann würde mein zu rechnendes Integral lauten:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(r^{2} - rsint\phi , rcos \phi) * ( -rsin\phi , rcos\phi) d\phi dr}
[/mm]
oder? wo liegt mein Fehler dass ich nicht aufs richtige Ergebnis komme?
lg Surfer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo habe eine Frage zu meinem Ansatz bei folgender
> Aufgabe:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> und zwar würde ich die Kurve folgendermaßen
> parametrisieren, da es ein Kreis ist C: [ rcos [mm]\phi,[/mm] rsin
> [mm]\phi][/mm] für [mm]r\in[/mm] [0,1] und [mm]\phi \in[0,2\pi][/mm] .
> g(C) wäre dann [mm](r^{2}[/mm] - [mm]rsint\phi[/mm] , rcos [mm]\phi)[/mm] und C' wäre
> [mm][-rsin\phi[/mm] , [mm]rcos\phi][/mm]
>
> dann würde mein zu rechnendes Integral lauten:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(r^{2} - rsint\phi , rcos \phi) * ( -rsin\phi , rcos\phi) d\phi dr}[/mm]
Wie kommst du denn auf ein Doppelintegral ??
Ein solches entstünde nur, falls du einen Integralsatz
verwenden würdest.
>
> oder? wo liegt mein Fehler dass ich nicht aufs richtige
> Ergebnis komme?
>
> lg Surfer
Hallo Surfer,
Die Randkurve K ist nicht ein Kreis, sondern ein
Dreiviertelkreis BA plus die Strecke von A(1/0) nach B(0/1) !
Wenn du das Kurvenintegral berechnen willst, musst du
also die Integration aufteilen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Surfer |
Ich habe da wahnsinnig Probleme dies zu sehen bei so Aufgaben wie weiss ich denn wie ich parametrisieren muss?
Gibts da nen Tip?
lg Surfer
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> Ich habe da wahnsinnig Probleme dies zu sehen bei so
> Aufgaben wie weiss ich denn wie ich parametrisieren muss?
> Gibts da nen Tip?
Hallo,
mach Dir zuerst eine Skizze von B.
Dann siehst Du den Rand ja.
Du siehst auch, daß er hier aus zwei Teilstücken zusammengesetzt ist.
Die Parametisierung vom Kreis mußt Du natürlich jederzeit im Reisegepäck mit Dir führen, und die Parameterdarstellung von Geraden kennst Du aus der Schule.
Aber i.a. kann Parametrisierung wirklich schwierig sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:13 Do 26.02.2009 | | Autor: | Surfer |
Hallo, ich habe jetzt gesehen, dass der Kreis ist klar, aber die Gerade die doch eigentlich die Gleichung y=1-x hat, hat die Parametrisierung [1-t,t] und das verstehe ich nicht ganz, das bedeutet doch ich gehe von x=1 in die linke Richtung, aber wieso ist dort y = t ? oder wie muss ich das interpretieren?
Das andere was ich nicht ganz verstehe ist der Umlaufsinn von [mm] [-3\pi [/mm] /2, 1] ?
Könnte mir das jemand an dem Beispiel mal bissl genauer interpretieren, vielleicht macht es dann bei mir auch vollends klick, hab zwar gestern einiges dazu gelesen und nach beispielen im Internet geschaut, aber wie gesagt, manchmal ist es klar, aber hier kann ich mir nur selber etwas zusammenreimen, aber genau weiss ich es nicht!
lg Surfer
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> Hallo, ich habe jetzt gesehen, dass der Kreis ist klar,
> aber die Gerade die doch eigentlich die Gleichung y=1-x
Hallo,
gut, jedenfalls ist die Geometrie jetzt schonmal klar.
Klar dürfte auch sein, daß wir das Integral nun in zwei Teile zerlegen.
> hat, hat die Parametrisierung [1-t,t] und das verstehe ich
> nicht ganz, das bedeutet doch ich gehe von x=1 in die linke
> Richtung, aber wieso ist dort y = t ? oder wie muss ich das
> interpretieren?
Ich übe gerade mit meinem Sohn für eine Mathematikprüfung, und wir haben gestern Dein Beispiel, nachdem ich es entdeckt hatte, flugs als Übungsaufgabe genommen.
Und genau an dieser von Dir benannten Stelle hatten wir eine lautstark ausgetragene Debatte...
Zunächst einmal würde einem die naheliegende Parametrisierung (t , 1-t) einfallen.
Nun stellt man fest:
t=0 --> [mm] \vektor{0\\1}
[/mm]
t= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] --> [mm] \vektor{\bruch{1}{2}\\\\bruch{1}{2} }
[/mm]
t=1 --> [mm] \vektor{1\\0}
[/mm]
Wenn man also so parametrisiert, und t von 0 bis 1 laufen läßt, wird das Geradenstück also in der verkehrten Richtung durchlaufen. Wir wollen bzw. sollen ja von rechts nach links.
Du müßtest also, wenn Du diese Parametrisierung verwenden möchtest, den Parameter t von 1 nach 0 laufen lassen, also [mm] \integral_{1}^{0} [/mm] berechnen.
Mir widerstrebt das in allerhöchstem Maße.
Wenn Du an die Parameterdarstellung der Geradengleichung denkst, dann siehst Du, daß Du diese Gerade durch die Punkte (0,1) und (1,0) auch schreiben kannst als [mm] \vektor{x\\y}=\vektor{1\\0} [/mm] + [mm] \lambda{ -1\\1}=\vektor{1-\lambda\\1} [/mm] , und hier sind wir bei der Parameterdarstellung Deiner Lösung, bei welcher die Kurve in der richtigen Richtung durchlaufen wird.
Du kannst das auch schnell haben, indem Du sagst: y=t . daraus ergibt sich dann x=1-t, aber ich finde, wenn man es sich mal mit der geläufigen Parameterdarstellung der Ebene, die man aus der Schule kennt, klarmacht, versteht man es besser. Ich jedenfalls.
> Das andere was ich nicht ganz verstehe ist der Umlaufsinn
> von [mm][-3\pi[/mm] /2, 1] ?
Bis 1? Quatsch.
Wir gehen jetzt zu dem angeknabberten Kreis. Die Kurve läuft los bei (0,1), also bei [mm] (cos(\pi/2), sin(\pi/2)), [/mm] sie geht bei fortschreitendem Winkel links herum bis zum Punkt
(1, [mm] 0)=(cos(2\pi), sin(2\pi)).
[/mm]
Wenn man mag, kann man das auch schreiben als [mm] [-3\pi[/mm] [/mm] /2, [mm] \red{0}], [/mm] ich mag's lieber positiv.
> Könnte mir das jemand an dem Beispiel mal bissl genauer
> interpretieren, vielleicht macht es dann bei mir auch
> vollends klick,
Ein Bildchen wirst Du ja haben. Wandere mit den Parametern die Kurve entlang, dann solltest Du es verstehen.
Gruß v. Angela
hab zwar gestern einiges dazu gelesen und
> nach beispielen im Internet geschaut, aber wie gesagt,
> manchmal ist es klar, aber hier kann ich mir nur selber
> etwas zusammenreimen, aber genau weiss ich es nicht!
>
> lg Surfer
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