Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei das Vektorfeld v(x,y):=(-y,x) auf [mm] \IR² [/mm] und [mm] 0<\alpha<\bruch{\pi}{2}. [/mm] Berechne das Integral von v entlang folgender Wege:
(a) [mm] \gamma(t):=e^t(cos(t),sin(t)) [/mm] (für [mm] t\in [0,\alpha])
[/mm]
(b) [mm] \beta:[-1,1]\to\IR² [/mm] gegeben als Zusammensetzung der beiden Strecken von (1,0) nach (0,0) und von (0,0) nach [mm] e^\alpha (cos(\alpha),sin(\alpha)). [/mm] |
In meinem Skriptum steht folgende Formel:
[mm] \integral_{\gamma}{dt}
[/mm]
Kann mir jemand bitte einfach erklären, wie man solche Aufgaben löst. Ich verstehs einfach nicht. Danke
|
|
| |
|
Hallo steffi.24,
> Gegeben sei das Vektorfeld v(x,y):=(-y,x) auf [mm]\IR²[/mm] und
> [mm]0<\alpha<\bruch{\pi}{2}.[/mm] Berechne das Integral von v
> entlang folgender Wege:
>
> (a) [mm]\gamma(t):=e^t(cos(t),sin(t))[/mm] (für [mm]t\in [0,\alpha])[/mm]
>
> (b) [mm]\beta:[-1,1]\to\IR²[/mm] gegeben als Zusammensetzung der
> beiden Strecken von (1,0) nach (0,0) und von (0,0) nach
> [mm]e^\alpha (cos(\alpha),sin(\alpha)).[/mm]
> In meinem Skriptum
> steht folgende Formel:
>
> [mm]\integral_{\gamma}{dt}[/mm]
>
Die richtige Formel lautet doch:
[mm]\integral_{\gamma}{dt}[/mm]
> Kann mir jemand bitte einfach erklären, wie man solche
> Aufgaben löst. Ich verstehs einfach nicht. Danke
Setze die Parametrisierung in das Vektorfeld ein
unn bilde das Skalarprodukt mir [mm]\dot{\gamma}(t)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ist [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] e^t(-sin(t),cos(t)) [/mm] ? Oder wie rechne ich das aus?
Ich weiß nicht wie man den Punkt über dem [mm] \gamma [/mm] macht. LG
|
|
|
| |
|
Was muss ich hier für [mm] v(\gamma(t)) [/mm] einsetzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] \gamma/t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) [/mm] mit
[mm] \gamma_1(t)=e^t*cos(t) [/mm] und [mm] \gamma_2(t)=e^tsin(t)
[/mm]
Mit v(x,y)=(-y,x) ist dann
[mm] v(\gamma(t))=(-\gamma_2(t), \gamma_1(t)))= (-e^tsin(t),e^t*cos(t))
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Das heißt ich suche jetzt [mm] \integral_{0}^{\alpha}<(-e^t sin(t),e^t [/mm] cos(t)), [mm] (-e^t [/mm] sin(t),e^tcos(t))>
Wenn ich das vereinfache, komme ich auf [mm] \integral_{0}^{\alpha}{2e^2t -2e^t sin(t)+2e^t cos(t) +1}
[/mm]
Hier komme ich nicht mehr weiter.Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt ich suche jetzt [mm]\integral_{0}^{\alpha}<(-e^t sin(t),e^t[/mm]
> cos(t)), [mm](-e^t[/mm] sin(t),e^tcos(t))>
Dein [mm] \gamma' [/mm] ist falsch !
FRED
> Wenn ich das vereinfache, komme ich auf
> [mm]\integral_{0}^{\alpha}{2e^2t -2e^t sin(t)+2e^t cos(t) +1}[/mm]
>
> Hier komme ich nicht mehr weiter.Lg
|
|
|
|
