Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \gamma:[0,2\pi]\to \IR^2, \gamma(t)=\vektor{cost+tsint \\ sint-tcost}
[/mm]
a) bestimme die Bogenlänge [mm] L(\gamma)
[/mm]
b)Bestimme [mm] \integral_{\gamma}^{}{|x|^2 ds} [/mm] |
[mm] \gamma(t)=\vektor{cost+tsint \\ sint-tcost}
[/mm]
[mm] \gamma'(t)=\vektor{-sint+tcost \\ cost+tsint}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+t^2}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1+t^2} dx}= [\bruch{1}{3}(1+t^2)^{\bruch{1}{3}}]
[/mm]
Stimmt meine Rechnung soweit?
wie bestimme ich b)? In meinem Skript habe ich dazu nichts finden können.
MfG
Mathegirl
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> [mm]\gamma:[0,2\pi]\to \IR^2, \gamma(t)=\vektor{cost+tsint \\ sint-tcost}[/mm]
>
> a) bestimme die Bogenlänge [mm]L(\gamma)[/mm]
> b)Bestimme [mm]\integral_{\gamma}^{}{|x|^2 ds}[/mm]
>
> [mm]\gamma(t)=\vektor{cost+tsint \\ sint-tcost}[/mm]
>
> [mm]\gamma'(t)=\vektor{-sint+tcost \\ cost+tsint}[/mm]
Das stimmt nicht. Bei den zweiten Summanden muss man die Produktregel anwenden. Dadurch vereinfacht sich das ganze immens.
>
> [mm]=\wurzel{1+t^2}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1+t^2} dx}= [\bruch{1}{3}(1+t^2)^{\bruch{1}{3}}][/mm]
Gleich für später: du integrierst dann über t. Also kommt am Ende auch eine echte Zahl heraus. Im Ergebnis ist also kein t mehr zu finden.
>
> Stimmt meine Rechnung soweit?
>
> wie bestimme ich b)? In meinem Skript habe ich dazu nichts
EDIT:
Ich sehe gerade, dass du nach ds integrieren sollst. Das deutet auf ein skalares Kurvenintegral hin. Da ist die Formel zur Berechnung:
[mm] \integral_{\gamma}{f(x) ds}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))*|\dot\gamma(t)| dt}
[/mm]
/EDIT
Die Berechnung für ein "normales" Kurvenintegral (2.ter Art) wäre:
[mm] \integral_{\gamma}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))*\dot\gamma(t) dt}
[/mm]
> finden können.
>
>
> MfG
> Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:16 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] \gamma:[0,2\pi]\to \IR, \gamma (t)=\vektor{cost+sint \\ sint-tcost}
[/mm]
a) Berechne die Bogenlänge [mm] L(\gamma)
[/mm]
b)Berechne [mm] \integral_{\gamma}^{}{|x|^2 ds}
[/mm]
[mm] \gamma:[0,2\pi]\to \IR, \gamma (t)=\vektor{cost+sint \\ sint-tcost} [/mm] |
[mm] a)\gamma'(t)=\vektor{tcos(t) \\ tsin(t)}
[/mm]
[mm] |\gamma'(t)|=\wurzel{t^2(cos^2t+sin^2t)}=t
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{t dt}=2\pi [/mm]
b) Das Wegintegral ist mir nicht bekannt. Wie berechne ich das?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
*lach* scheinen wohl noch einige aus meinem Kurs so wenig Plan wie ich zu haben.
Mathegirl hat wohl dort die falsche Ableitung gebildet!
Kurven- und Wegintegral ist klar. Mir ist unklar wie ich das bei |x| veranstalte oder noch besser wenn ein Quadrat dabei ist. [mm] |x|^2 [/mm] . Kann ich vom normalen Kurvenintegral ausgehen? oder welche Bedeutung hat hier das Quadrat?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Hallo noch einmal,
Setze mal alles in das Integral ein. Einfach stur einsetzen und dann löse mal diese Betragsklammer auf. Ist in diesem Falle recht einfach.
Hast du denn eine Vermutung, wie du es anstellen könntest? Das Quadrat ist auch ein guter Hinweis!
Tipp: Du kannst dir auch das ganze mal plotten lassen. Da hast du überhaupt mal eine Vorstellung, wie das ganze aussieht.
Noch einmal bezüglich deiner Frage: Ich denke du sollst vom skalaren ausgehen, denn die Integration lief über "ds". Das soll immer ein Hinweis auf ein skalares Kurvenintegral sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(x)ds}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma'(t))|\gamma(t)| dt} [/mm] dieses Kurvenintegral ist mir lediglich bekannt. Allerdings war hier immer die verkettung anzuwenden.
[mm] \integral_{a}^{b}{\vektor{cost+tsint \\ sint-tcost}|(tcost, tsint)| dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{(tcos^2t+tsin^2t) dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{(t) dt}
[/mm]
LG
heinze
|
|
|
| |
|
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(x)ds}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma'(t))|\gamma(t)| dt}[/mm]
Das glaube ich nicht. Das die Ableitung in f eingesetzt wird ist nicht korrekt. Vielleicht verschrieben?
> dieses Kurvenintegral ist mir lediglich bekannt. Allerdings
> war hier immer die verkettung anzuwenden.
Verkettung? Meinst du das, weil man [mm] \gamma(t) [/mm] in f einsetzt?
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\vektor{cost+tsint \\ sint-tcost}|(tcost, tsint)| dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a}^{b}{(tcos^2t+tsin^2t) dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a}^{b}{(t) dt}[/mm]
>
> LG
> heinze
[mm] \integral_{\gamma}{f(x) ds}=\integral_{a}^{b}f(\gamma(t))\cdot{}|\dot\gamma(t)| [/mm] dt
gehen wir davon aus.
[mm] \integral_{\gamma}{f(x) ds}=\integral_{0}^{2\pi}|cos(t)+tsin(t)|^2*||\gamma'(t)||dt=\integral_{0}^{2\pi}|cos(t)+tsin(t)|^2*t{}dt
[/mm]
...
P.S.: Kann es sein, dass du dich bei deiner Aufgabenstellung verschrieben hast? Das hat bei mir jetzt ziemlcih für Verwirrung gesorgt. Schaue bitte noch einmal bei dem Weg [mm] \gamma [/mm] nach. Sollte dort nicht: $ [mm] \gamma:[0,2\pi]\to \IR, \gamma (t)=\vektor{cost+tsint \\ sint-tcost} [/mm] $ stehen?
Wenn nicht, dann wäre alles was hier geschrieben wurde totaler Blödsinn.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
Sorry, ich bin heute sehr schusselig mit schreiben.
[mm] \gamma(t)=\vektor{cost+tsint \\ sint-tcost}
[/mm]
Und bei dem Kurvenintegral habe ich mich verschrieben.
[mm] \integral_{\gamma}{f(x) ds}=\integral_{0}^{2\pi}|cos(t)+tsin(t)|^2\cdot{}||\gamma'(t)||dt=\integral_{0}^{2\pi}|cos(t)+tsin(t)|^2\cdot{}t{}dt
[/mm]
[mm] |cos(t)+tsin(t)|^2 [/mm] hast du hier die nur die erste Funktion genommen?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
> Sorry, ich bin heute sehr schusselig mit schreiben.
>
> [mm]\gamma(t)=\vektor{cost+tsint \\ sint-tcost}[/mm]
>
> Und bei dem Kurvenintegral habe ich mich verschrieben.
> [mm]\integral_{\gamma}{f(x) ds}=\integral_{0}^{2\pi}|cos(t)+tsin(t)|^2\cdot{}||\gamma'(t)||dt=\integral_{0}^{2\pi}|cos(t)+tsin(t)|^2\cdot{}t{}dt[/mm]
>
> [mm]|cos(t)+tsin(t)|^2[/mm] hast du hier die nur die erste Funktion
> genommen?
Ja, man soll ja auch [mm] \gamma(t) [/mm] in f(x) einsetzen.
[mm] f(x)=|x|^2 [/mm] und daher...
>
>
> LG
> heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
ok, ich dachte mit f(x) wäre [mm] \vektor{cost+tsint \\ sint-tcost} [/mm] gemeint. Dann ist der erste Eintrag wohl f(x) und der zweite g(x).
Besten dank fürs Erklären!
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Hey heinze,
du hast doch einen Weg gegeben. Für t setzt du ja die Werte von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] ein. Dann erhältst du ja verschiedene Punkte. Also so etwas in der Form [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
Das erste ist die x-Stelle und der untere Eintrag ist die y-Stelle.
Anderes Beispiel:
Wenn du das Integral [mm] \integral_{\gamma}{(x+y)ds} [/mm] berechnen sollst, dann musst du beide Teile einsetzen.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> ok, ich dachte mit f(x) wäre [mm]\vektor{cost+tsint \\
sint-tcost}[/mm]
> gemeint. Dann ist der erste Eintrag wohl f(x) und der
> zweite g(x).
Nein, es ist [mm] \int_{\gamma}f(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{2\pi}f(x)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t [/mm] mit [mm] f(x)=|x|^2=\sqrt{x^2} [/mm] und [mm] x(t)=\cos{t}+t\sin{t} [/mm] und [mm] y(t)=\sin{t}-t\cos{t} [/mm]
Das kannst du jetzt einsetzen und integrieren.
> Besten dank fürs Erklären!
>
>
> LG
> heinze
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Mo 03.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo MontBlanc,
> Hallo,
>
> > ok, ich dachte mit f(x) wäre [mm]\vektor{cost+tsint \\
sint-tcost}[/mm]
> > gemeint. Dann ist der erste Eintrag wohl f(x) und der
> > zweite g(x).
>
> Nein, es ist
> [mm]\int_{\gamma}f(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{2\pi}f(x)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t[/mm]
> mit [mm]f(x)=|x|^2=\sqrt{x^2}[/mm]
Der Betrag wird aber noch einmal quadriert. hast du das beachtet, oder bin ich gerade völlig kirre im kopf?
> und [mm]x(t)=\cos{t}+t\sin{t}[/mm] und
> [mm]y(t)=\sin{t}-t\cos{t}[/mm]
>
> Das kannst du jetzt einsetzen und integrieren.
>
>
> > Besten dank fürs Erklären!
> >
> >
> > LG
> > heinze
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Mo 03.09.2012 | | Autor: | MontBlanc |
Woops! Du hast natürlich recht. Ich sitze leider gerade an flughafen und kanns jetzt nicht ordentlich editieren. Mach ich später! Danke für den Hinweis!
LG
|
|
|
|
